高二数学上学期期末真题分类汇编《直线与圆的方程》含答案

高中数学专题02直线与圆的方程（5种经典基础练+5种优选提升练）直线的倾斜角与斜率（共15题）一．选择题（共8小题）1．（2023秋•丰城市校级期末）直线的倾斜角为A． B． C． D．2．（2023秋•信宜市期末）直线的斜率为A． B． C． D．3．（2023秋•锦州期末）经过两点，的直线的倾斜角为，则的值为A． B．1 C．3 D．44．（2023秋•广州期末）下列直线中，倾斜角最大的是A． B． C． D．5．（2023秋•临渭区校级期末）已知直线，下列说法正确的是A．倾斜角为 B．倾斜角为 C．方向向量可以是 D．方向向量可以是6．（2023秋•响水县校级期末）已知，，过点的直线与线段不相交，则直线斜率的取值范围是A．或 B． C． D．或7．（2023秋•洪山区校级期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是A．， B． C． D．8．（2023秋•福州期末）已知，，若直线经过点，且与线段有交点，则的斜率的取值范围为A．，， B．， C．，， D．，二．多选题（共3小题）9．（2023秋•新华区校级期末）已知直线，直线，则A．当时，与的交点是 B．直线与都恒过 C．若，则 D．，使得平行于10．（2023秋•电白区期末）如果，，那么直线经过A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．（2023秋•九江期末）已知两条平行直线．若直线被，截得的线段长为，则直线的倾斜角可能是A． B． C． D．三．填空题（共3小题）12．（2023秋•泸县校级期末）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角．13．（2023秋•长宁区校级期末）直线的斜率的取值范围为，，则其倾斜角的取值范围是．14．（2023秋•沙市区校级期末）直线经过点，且倾斜角为直线的倾斜角的一半，则的方程为．四．解答题（共1小题）15．（2023秋•汉台区期末）已知两点，．（Ⅰ）求直线的斜率和倾斜角；（Ⅱ）求直线在轴上的截距．直线的方程（共15题）一．选择题（共9小题）1．（2023秋•道里区校级期末）过点，的直线方程是A． B． C． D．2．（2023秋•南阳期末）已知直线过点，且在轴上的截距为在轴上的截距的2倍，则直线的方程为A． B． C．或 D．或3．（2023秋•丰台区期末）已知点在由直线，和所围成的区域内（含边界）运动，点在轴上运动．设点，则的最小值为A． B． C． D．4．（2023秋•武强县校级期末）若直线与直线平行，则实数的取值为A．1或 B． C．1 D．05．（2023秋•南关区校级期末）已知直线，，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．（2023秋•金华期末）过点且与直线垂直的直线方程是A． B． C． D．7．（2023秋•江汉区校级期末）张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点与点重合，点与点重合，则A．4046 B．4047 C．4048 D．40498．（2023秋•海淀区校级期末）已知直线恒过定点，直线恒过定点，且直线与交于点，则点到点的距离的最大值为A．4 B． C．3 D．29．（2023秋•重庆期末）如图，已知两点，，从点射出的光线经直线上的点反射后再射到直线上，最后经直线上的点反射后又回到点，则直线的方程为A． B． C． D．二．多选题（共1小题）10．（2023秋•宝安区期末）下面说法中错误的是A．经过定点，的直线都可以用方程表示 B．经过定点，的直线都可以用方程表示 C．经过定点的直线都可以用方程表示 D．经过任意两个不同的点，，，的直线都可以用方程表示三．填空题（共3小题）11．（2023秋•新化县期末）经过，两点的直线的方程为．12．（2023秋•临川区校级期末）过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程．13．（2023秋•南关区校级期末）唐代诗人李颀的《古从军行》中两句诗为：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从处出发，河岸线所在直线方程为．则“将军饮马”的最短总路程为．四．解答题（共2小题）14．（2023秋•盐田区校级期末）已知菱形中，，，边所在直线过点．求：（1）边所在直线的方程；（2）对角线所在直线的方程．15．（2023秋•亭湖区校级期末）已知直线的倾斜角为，且这条直线经过点．（1）求直线的方程；（2）若直线恒过定点，求点到直线的距离．直线的交点坐标与距离公式（共11题）一．选择题（共4小题）1．（2023秋•龙岩期末）已知直线的法向量为，且经过点，则原点到的距离为A． B． C． D．2．（2023秋•西固区校级期末）已知直线与平行，则与的距离为A． B． C． D．3．（2023秋•贵阳期末）点，，点在轴上，则的最小值为A． B．5 C．4 D．4．（2023秋•南阳期末）点为两条直线和的交点，则点到直线的距离最大为A． B． C． D．5二．填空题（共5小题）5．（2023秋•巴楚县校级期末）已知点与点之间的距离为5，则实数的值为．6．（2023秋•湖北期末）点到直线的距离最大值是．7．（2023秋•房山区期末）已知直线，，，则与的交点坐标为；若直线，，不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值．8．（2023秋•麒麟区校级期末）已知两个定点，，是坐标系原点，轴于点，是线段上任意一点，轴于点，于点，与相交于点，则点与点之间的距离的最大值和最小值的和等于．9．（2023秋•宿迁期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值且的点所形成的图形是圆，后来，人们把这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知点到两个定点，的距离之比为2，则的取值范围为．三．解答题（共2小题）10．（2023秋•郑州期末）已知等腰的一个顶点在直线上，底边的两端点坐标分别为，．（Ⅰ）求边上的高所在直线方程；（Ⅱ）求点到直线的距离．11．（2023秋•宝山区校级期末）已知，直线，直线．（1）若，求与之间的距离；（2）若与的夹角大小为，求直线的方程．圆的方程（共14题）一．选择题（共4小题）1．（2023秋•咸阳期末）已知半径为3的圆的圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为A． B． C． D．2．（2023秋•青岛期末）过三点，，的圆交轴于，两点，则A． B． C． D．3．（2023秋•石家庄期末）若圆心坐标为的圆被直线截得的弦长为，则该圆的一般方程为A． B． C． D．4．（2023秋•三水区期末）已知方程表示一个圆，则实数取值范围是A．，， B．， C．，， D．二．多选题（共1小题）5．（2023秋•拉萨期末）已知圆，则下列说法正确的是A．点在圆内 B．圆关于对称 C．半径为1 D．直线与圆相切三．填空题（共4小题）6．（2023秋•青羊区校级期末）在平面直角坐标系中，有，，，四点，若它们在同一个圆周上，则．7．（2023秋•湖北期末）已知圆的圆心在直线上，且过点、，则圆的一般方程为．8．（2023秋•诸暨市期末）已知的圆心坐标为，半径为，则．9．（2023秋•吉安期末）若二元二次方程表示圆，则实数的取值范围是．四．解答题（共5小题）10．（2023秋•汕尾期末）已知点，，，直线与轴交于点．（1）求点的坐标；（2）求的外接圆的标准方程．11．（2023秋•苏州期末）在平面直角坐标系中，已知四边形为平行四边形，，，．（1）设线段的中点为，直线过且垂直于直线，求的方程；（2）求以点为圆心、与直线相切的圆的标准方程．12．（2023秋•徐州期末）已知直线，，直线过点且与垂直．（1）求直线的方程；（2）设分别与，交于点，，为坐标原点，求过三点，，的圆的方程．13．（2023秋•新化县期末）已知圆．（1）求圆的标准方程，并写出圆的圆心坐标和半径；（2）若直线与圆交于，两点，且，求的值．14．（2023秋•衡阳县期末）已知圆经过和两点，且与轴的正半轴相切．（1）求圆的方程；（2）若圆与圆关于直线对称，求圆的方程．直线与圆、圆与圆的位置关系（共16题）一．选择题（共9小题）1．（2023秋•电白区期末）已知点在圆内，则直线与圆的位置关系是A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定2．（2023秋•天河区期末）直线与圆的位置关系是A．相离 B．相交 C．相切 D．位置关系与有关3．（2023秋•湖北期末）设为正实数，若圆与圆相外切，则的值为A．4 B．6 C．24 D．264．（2023秋•南通期末）圆和圆的位置关系为A．相离 B．相交 C．外切 D．内切5．（2023秋•让胡路区校级期末）若直线与圆相切，则实数的值为A． B．1或 C．或3 D．6．（2023秋•越城区校级期末）若直线与相离，则点与圆的位置关系为A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定7．（2023秋•郴州期末）德国数学家米勒曾提出最大视角问题：已知点，是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当在何处时，最大？结论是：当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大．人们称这一命题为米勒定理．在平面直角坐标系内，已知，，点是直线上一动点，当最大时，点的坐标为A． B． C． D．8．（2023秋•哈尔滨期末）已知，直线与的交点在圆上，则的最大值是A． B． C． D．9．（2023秋•阳江期末）直线与圆交于，两点，则的取值范围为A． B． C． D．二．多选题（共1小题）10．（2023秋•青羊区校级期末）设直线与直线交于点，已知点，则下列结论正确的是A．当时，点在圆上 B．当时， C．当时，点在直线上 D．当时，的最小值为2三．填空题（共2小题）11．（2023秋•大通县期末）已知圆，过圆外一点作的两条切线，切点分别为，，若，则．12．（2023秋•郑州期末）写出圆与圆的一条公切线方程．四．解答题（共4小题）13．（2023秋•安宁区校级期末）已知圆和圆．（1）试判断两圆的位置关系；若相交，求出公共弦所在的直线方程；（2）若直线过点且与圆相切，求直线的方程．14．（2023秋•丰城市校级期末）已知△的三个顶点分别为，，，直线经过点．（1）求△外接圆的方程；（2）若直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程．15．（2023秋•绵阳期末）已知直线，圆．（1）试判断直线与圆的位置关系，并加以证明；（2）若直线与圆相交于，两点，求的最小值及此时直线的方程．16．（2023秋•赣州期末）已知圆，点．（1）若，过的直线与相切，求的方程；（2）若上存在到的距离为1的点，求的取值范围．点到直线的距离及平行直线间的距离（共2题）1．（2022秋•喀什地区期末）已知直线与直线．（1）求经过直线与的交点，且与直线垂直的直线的方程．（2）求分别到直线与的距离．2．（2023秋•安宁区校级期末）已知直线和直线．（1）试判断，能否平行，若平行，请求出两平行线之间的距离；（2）若原点到距离最大，求此时的直线的方程．两条直线平行、垂直与方程的关系（共2题）1．（2022秋•广河县校级期末）已知直线过点，为坐标原点．（1）若与垂直，求直线的方程；（2）若直线与平行，求直线的方程．2．（2023秋•安宁区校级期末）已知直线和直线．（1）试判断，能否平行，若平行，请求出两平行线之间的距离；（2）若原点到距离最大，求此时的直线的方程．圆的方程与圆的性质（共10题）1．（2023秋•吕梁期末）已知圆．（1）求的取值范围；（2）当取最小正整数时，若点为直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，求线段的最小值．2．（2023秋•郑州期末）已知圆的圆心为，过直线上一点作圆的切线，且切线段长的最小值为2．（Ⅰ）求圆的标准方程；（Ⅱ）若圆与圆相交于，两点，求两圆公共弦的长．3．（2023秋•湖州期末）已知圆，直线．（1）若直线与圆交于不同的两点，，当时，求的值；（2）若时，点为直线上的动点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，求四边形的面积的最小值．4．（2023秋•大连期末）已知圆的圆心坐标为，与直线交于，两点，且．（Ⅰ）求圆的标准方程；（Ⅱ）求过点的圆的切线方程．5．（2023秋•吉林期末）如图，第25届中国机器人及人工智能大赛总决赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含地界和内部），长为12米，在边上距离点5米的处放置一只机器犬，在距离点2米的处放置一个机器人，机器人行走的速度为，机器犬行走的速度为，若机器犬和机器人在场地内沿着直线方向同时到达场地内某点，则机器犬将被机器人捕获，点叫成功点．（1）求在这个矩形场地内成功点的轨迹方程；（2）若为矩形场地边上的一点，若机器犬在线段上都能逃脱，问点应在何处？6．（2023秋•天津期末）已知圆经过点和，且圆心在直线上，（Ⅰ）求圆的标准方程；（Ⅱ）过点作圆的切线，求直线的方程．7．（2023秋•通州区期末）已知圆，点．（Ⅰ）求圆的圆心坐标及半径；（Ⅱ）求过点的圆的切线方程．8．（2022秋•灌南县期末）已知圆，抛物线的焦点坐标为．（1）过圆外一点作直线与圆相切于点，且，求点的轨迹方程；（2）过点与圆相切的直线交抛物线于，两点，求．9．（2023秋•固原期末）已知圆心为的圆经过两点，且圆心在直线上．（1）求圆的方程；（2）若直线与圆交于，两点，的面积是，求的值．10．（2022秋•萍乡期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，点在椭圆上，，．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知是直线上的一点，是否存在这样的直线，使得过点的直线与椭圆相切于点，且以为直径的圆过点？若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由．点与圆、直线与圆的关系（共14题）1．（2023秋•鼓楼区校级期末）已知圆，直线．（1）若直线与圆相切，求的值；（2）当时，已知为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为，，当切线长最短时，求弦所在直线的方程．2．（2023秋•洛阳期末）已知圆．（1）若直线过定点，且与圆相切，求的方程；（2）若圆的半径为1，圆心在直线上，且与圆外切，求圆的方程．3．（2023秋•玄武区校级期末）在平面直角坐标系中，已知半径为4的圆与直线相切，圆心在轴的负半轴上．（1）求圆的方程；（2）若直线与圆相交于，两点，且的面积为8，求直线的方程．4．（2023秋•郑州期末）已知圆的圆心为，过直线上一点作圆的切线，且切线段长的最小值为2．（Ⅰ）求圆的标准方程；（Ⅱ）若圆与圆相交于，两点，求两圆公共弦的长．5．（2023秋•太原期末）已知圆的方程为，点在圆内．（1）求实数的取值范围；（2）求过点且与圆相切的直线的方程．6．（2023秋•宝安区期末）已知和定点，由外一点向引切线，切点为，且满足．（1）求动点的轨迹方程；（2）求线段长的最小值．7．（2023秋•通州区期末）已知圆，点．（Ⅰ）求圆的圆心坐标及半径；（Ⅱ）求过点的圆的切线方程．8．（2023秋•济南期末）已知圆与轴相切，且与轴正半轴相交所得弦长为，且圆心在直线上．（1）求圆心的坐标；（2）若圆与直线相切，且与圆相外切，判断是否存在符合题目要求的圆．9．（2023秋•宁河区期末）已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上．（Ⅰ）求圆的标准方程；（Ⅱ）若过点且平行于的直线与圆相交于，两点，求弦的长．10．（2023秋•闵行区校级期末）已知定点，圆．（1）求圆心到点的距离；（2）若以为圆心，为半径的圆与圆有两个不同公共点，求的取值范围．11．（2023秋•甘肃期末）已知直线和圆．（1）判断直线和圆的位置关系，并求圆上任意一点到直线的最大距离；（2）过直线上的点作圆的切线，切点为，求证：经过，，三点的圆与圆的公共弦必过定点，并求出该定点的坐标．12．（2023秋•成都期末）圆经过点和点，且圆心在直线上．（1）求圆的标准方程；（2）过点，作圆的两条切线，切点分别为，，求直线的方程及原点到直线距离最大时的值．13．（2023秋•峡江县校级期末）已知圆的圆心为，且，，圆与轴、轴分别交于，两点（与坐标原点不重合），且线段为圆的一条直径．（1）求证：的面积为定值；（2）若直线经过圆的圆心，设是直线上的一个动点，过点作圆的切线，，切点为，，求线段长度的最小值．14．（2023秋•固原期末）已知圆心为的圆经过两点，且圆心在直线上．（1）求圆的方程；（2）若直线与圆交于，两点，的面积是，求的值．圆与圆的关系（共3题）1．（2023秋•洛阳期末）已知圆．（1）若直线过定点，且与圆相切，求的方程；（2）若圆的半径为1，圆心在直线上，且与圆外切，求圆的方程．2．（2023秋•拉萨期末）已知，．（1）当时，与相交于，两点，求直线的方程；（2）若与相切，求的值．3．（2021秋•江苏期末）已知圆，点，．（1）若，半径为1的圆过点，且与圆相外切，求圆的方程；（2）若过点的两条直线被圆截得的弦长均为，且与轴分别交于点，，，求．专题02直线与圆的方程（5种经典基础练+5种优选提升练）直线的倾斜角与斜率（共15题）一．选择题（共8小题）1．（2023秋•丰城市校级期末）直线的倾斜角为A． B． C． D．【分析】由直线的方程可得斜率等于，设直线的倾斜角为，则，，由此解得的值．【解答】解：直线的斜率等于，设直线的倾斜角为，则，，解得，故选：．【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，以及倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，属于基础题．2．（2023秋•信宜市期末）直线的斜率为A． B． C． D．【分析】由已知先化成斜截式，进而可求直线的斜率．【解答】解：由可得，故直线的斜率为．故选：．【点评】本题主要考查了直线的倾斜角与斜率关系，属于基础题．3．（2023秋•锦州期末）经过两点，的直线的倾斜角为，则的值为A． B．1 C．3 D．4【分析】根据两点斜率公式求解即可．【解答】解：经过两点，的直线的斜率为，又直线的倾斜角为，所以，解得．故选：．【点评】本题主要考查直线的倾斜角，属于基础题．4．（2023秋•广州期末）下列直线中，倾斜角最大的是A． B． C． D．【分析】求出各选项中的直线倾斜角，再比较大小即得．【解答】解：直线的斜率为，倾斜角为；直线的斜率为，倾斜角为，直线的斜率为，倾斜角为；直线的斜率为1，倾斜角为，直线的倾斜角最大．故选：．【点评】本题考查直线的倾斜角等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．（2023秋•临渭区校级期末）已知直线，下列说法正确的是A．倾斜角为 B．倾斜角为 C．方向向量可以是 D．方向向量可以是【分析】根据直线的方程可得斜率，然后逐一求解得答案．【解答】解：直线的方程为，直线的斜率，又，直线的倾斜角为，故正确，错误；若直线的方向向量为，则斜率为，与题意矛盾，故错误；若直线的方向向量为，则斜率为，与题意矛盾，故错误．故选：．【点评】本题考查直线的方程，考查直线的倾斜角、斜率及方向向量的关系，是基础题．6．（2023秋•响水县校级期末）已知，，过点的直线与线段不相交，则直线斜率的取值范围是A．或 B． C． D．或【分析】根据，，三点的坐标，写出直线、的斜率，再由直线与线段无交点，得解．【解答】解：因为，，，所以直线的斜率，直线的斜率，因为直线过点与线段不相交，所以，即的取值范围是．故选：．【点评】本题考查直线的斜率与倾斜角，考查运算求解能力，属于基础题．7．（2023秋•洪山区校级期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是A．， B． C． D．【分析】根据斜率与倾斜角的关系，建立关于的表达式，利用正弦函数的值域算出的取值范围，进而可得倾斜角的取值范围．【解答】解：根据题意，有以下两种情况：①当时，直线方程为，斜率不存在，此时的倾斜角；②当时，可得直线的斜率，因为且，所以或，可得或．综上所述，，即的取值范围是．故选：．【点评】本题主要考查直线的斜率与倾斜角、正弦函数的性质等知识，属于基础题．8．（2023秋•福州期末）已知，，若直线经过点，且与线段有交点，则的斜率的取值范围为A．，， B．， C．，， D．，【分析】直接利用直线与线段有交点的条件建立关系式，进一步求出直线的斜率的取值范围．【解答】解：已知，，若直线经过点，且与线段有交点，如图所示：故，，则的斜率的取值范围为，．故选：．【点评】本题考查的知识要点：直线的斜率，直线与线段有交点的条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题．二．多选题（共3小题）9．（2023秋•新华区校级期末）已知直线，直线，则A．当时，与的交点是 B．直线与都恒过 C．若，则 D．，使得平行于【分析】将代入，联立两直线方程即可求得交点的坐标，判断出的真假；分别求出两条直线过的定点的坐标，判断出的真假；由两直线垂直时的斜率之积为，解得的值，判断出的真假；讨论斜率存在和斜率不存在两种情况；由两直线平行得到关于的方程，解方程可得值，再代入验证两直线是否重合，即可判断出的真假．【解答】解：对于，当时，，，联立，解得，所以交点为，所以正确；对于，将的方程整理可得：，可得直线恒过定点，整理直线，令，解得，可得直线过定点，所以正确；对于，由可得，解得，所以正确；对于，由可得，解得或2，当时，，，两直线重合，不符合题意，当时，，，两直线重合，不符合题意，故错误．故选：．【点评】本题考查两条直线平行的性质的应用及直线恒过定点的求法，两条直线的交点的求法，属于基础题．10．（2023秋•电白区期末）如果，，那么直线经过A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】由直线的方程求出斜率和在轴上的截距，可得结论．【解答】解：直线，即，，，直线的斜率，在轴上的截距，故直线经过第一、三、四象限，故选：．【点评】本题主要考查确定直线位置的几何要素，属于基础题．11．（2023秋•九江期末）已知两条平行直线．若直线被，截得的线段长为，则直线的倾斜角可能是A． B． C． D．【分析】先算出两条直线之间的距离，然后根据锐角三角函数的定义算出直线和、的夹角，再结合直线、的倾斜角算出直线的倾斜角．【解答】解：根据题意，直线直线与的距离，根据直线被，截得的线段长为，可知直线和、的夹角满足，所以，因为直线、的倾斜角满足，，，所以．因此，直线的倾斜角可能是，或，即直线的倾斜角可能是或．故选：．【点评】本题主要考查平行线间的距离公式、直线的斜率与倾斜角等知识，考查了计算能力，属于中档题．三．填空题（共3小题）12．（2023秋•泸县校级期末）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角．【分析】由直线的方向向量求得直线的斜率，由斜率即可求得倾斜角．【解答】解：记直线的倾斜角为，由题知，又，，所以，即．故答案为：．【点评】本题考查直线的方向向量、倾斜角等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13．（2023秋•长宁区校级期末）直线的斜率的取值范围为，，则其倾斜角的取值范围是，，．【分析】由斜率的定义及正切函数的性质，即可求得结果．【解答】解：设直线的倾斜角为，，，设直线的斜率为，因为，，当时，则，，当时，则，．故倾斜角的范围为，，．故答案为：，，．【点评】本题考查由直线的斜率的范围求倾斜角的范围的方法，分类讨论的思想，属于基础题．14．（2023秋•沙市区校级期末）直线经过点，且倾斜角为直线的倾斜角的一半，则的方程为．【分析】根据直线的倾斜角，算出直线的倾斜角的正切，从而利用直线方程的点斜式列式，算出直线的方程．【解答】解：根据题意，可得直线的倾斜角满足，且，所以，可知直线的倾斜角，斜率，因为经过点，所以直线的方程为，即．故答案为：．【点评】本题主要考查直线的方程、直线的斜率与倾斜角、特殊三角形函数的值等知识，属于基础题．四．解答题（共1小题）15．（2023秋•汉台区期末）已知两点，．（Ⅰ）求直线的斜率和倾斜角；（Ⅱ）求直线在轴上的截距．【分析】（Ⅰ）根据题意，由直线的斜率公式计算可得的值，求解即可；（Ⅱ）根据题意，由（Ⅰ）的结论求出直线的方程，求解即可．【解答】解：（Ⅰ）根据直线的斜率为，倾斜角为，，由点，，得斜率，则，得．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直线的斜率，则其方程为，即，令，得，所以直线在轴上的截距为1．【点评】本题考查了直线方程与直线的斜率和截距问题，是基础题．直线的方程（共15题）一．选择题（共9小题）1．（2023秋•道里区校级期末）过点，的直线方程是A． B． C． D．【分析】写出直线的两点式方程，化为一般式即可．【解答】解：由题意可得直线的两点式方程为：，化为一般式可得：故选：．【点评】本题考查直线的两点式方程，属基础题．2．（2023秋•南阳期末）已知直线过点，且在轴上的截距为在轴上的截距的2倍，则直线的方程为A． B． C．或 D．或【分析】法（1）分直线过原点和不过原点两种情况讨论，当直线不过原点时，设直线的截距式方程，将点的坐标代入，可得直线的方程；法（2）由题意设直线在，轴的交点坐标，分和两种情况讨论，求出直线的方程．【解答】解：法（1）由题意直线过原点时，则直线的方程为，即，当直线不过原点时，设直线的方程为，将点代入直线的方程可得：，解得，此时直线的方程为，整理可得；故选：．法（2）由题意设与轴的交点为，则其与轴的交点为，当时，过原点，斜率为，可得直线的方程为，即方程为；当时，斜率为，故方程为，即．故选：．【点评】本题考查直线方程的求法，属于基础题．3．（2023秋•丰台区期末）已知点在由直线，和所围成的区域内（含边界）运动，点在轴上运动．设点，则的最小值为A． B． C． D．【分析】求出关于轴的对称点的坐标，进而求出线段和的最小值．【解答】解：如图，作出可行域（含边界），其中点，，，设点关于轴的对称点为，则，过垂直于直线的直线方程为，联立，可得，，即时，即，，三点共线时．故选：．【点评】本题考查点关于轴的对称点的坐标的求法，线段和的最小值的求法，属于基础题．4．（2023秋•武强县校级期末）若直线与直线平行，则实数的取值为A．1或 B． C．1 D．0【分析】利用直线一般式方程平行条件即可直接求解．【解答】解：因为直线与直线平行，所以，所以，当时，两直线方程分别为，重合，不符合题意．故选：．【点评】本题考查了直线平行条件的应用，属于基础题．5．（2023秋•南关区校级期末）已知直线，，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据已知条件，结合直线平行的性质，即可求解．【解答】解：直线，，，则，解得或，当时，两直线不重合，符合题意，当时，两直线重合，不符合题意，舍去，故，故“”是“”的充要条件．故选：．【点评】本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．6．（2023秋•金华期末）过点且与直线垂直的直线方程是A． B． C． D．【分析】由题意设所求的直线方程，将点的坐标代入，可得参数的值，即求出所求直线的方程．【解答】解：设与直线的垂直的直线方程为：，将点代入可得，解得，即．故选：．【点评】本题考查与已知直线垂直的直线方程的求法，属于基础题．7．（2023秋•江汉区校级期末）张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点与点重合，点与点重合，则A．4046 B．4047 C．4048 D．4049【分析】设点，，，，利用轴对称的性质，可知直线与直线互相平行，从而列式算出本题答案．【解答】解：设点，，，，根据题意，若线段的垂直平分线为，则、关于直线对称，且、也关于直线对称．所以，，可知，可得，即，整理得．故选：．【点评】本题主要考查轴对称的性质、两条直线平行与方程的关系等知识，属于基础题．8．（2023秋•海淀区校级期末）已知直线恒过定点，直线恒过定点，且直线与交于点，则点到点的距离的最大值为A．4 B． C．3 D．2【分析】首先求点的坐标，并判断两条直线的位置关系，则点到点的距离的最大值等于点到圆心的距离与半径之和即点到线段中点距离与半径之和．【解答】解：设，由直线，可得，由直线，可得，因为直线与直线满足，所以，所以点在以为直径的圆上，所以点到点的距离的最大值等于点到圆心的距离与半径之和即点到线段中点距离与半径之和，由，，得中点为，半径为1，所以点到点的距离的最大值为．故选：．【点评】本题考查直线与圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．9．（2023秋•重庆期末）如图，已知两点，，从点射出的光线经直线上的点反射后再射到直线上，最后经直线上的点反射后又回到点，则直线的方程为A． B． C． D．【分析】由光线的性质得，直线经过点关于轴的对称点，也经过点关于直线的对称点，求出两个对称点坐标，即可得到直线的方程．【解答】解：由光线的性质得，直线经过点关于轴的对称点，直线也经过点关于直线的对称点，设为，直线的斜率为，所以直线的方程为，所以，解得，所以点关于直线的对称点为，所以直线过点，，所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即．故选：．【点评】本题主要考查了点关于直线的对称点问题，考查了求直线的一般方程，属于中档题．二．多选题（共1小题）10．（2023秋•宝安区期末）下面说法中错误的是A．经过定点，的直线都可以用方程表示 B．经过定点，的直线都可以用方程表示 C．经过定点的直线都可以用方程表示 D．经过任意两个不同的点，，，的直线都可以用方程表示【分析】根据直线方程的各种形式及其适用范围，对各项逐一判断，即可得到本题的答案．【解答】解：当直线的斜率不存在时，经过定点，的直线不能用方程表示，故项不正确；当直线的斜率为0时，经过定点，的直线不能用方程表示，故项不正确；经过定点的直线为轴时，不能用方程表示，故项不正确；对于点，，，，当且时，可以用方程表示，整理得，当或时，直线与直线也包含在中，因此，经过任意两个不同的点，，，的直线都可以用方程表示，项正确．故选：．【点评】本题主要考查了直线的基本量与基本形式等知识，考查概念的理解能力，属于基础题．三．填空题（共3小题）11．（2023秋•新化县期末）经过，两点的直线的方程为．【分析】由，的坐标，可得直线的斜率，代入直线的方程，可得直线的方程．【解答】解：因为，，可得斜率为，所以直线的方程为：．故答案为：．【点评】本题考查过两点的方程的求法，属于基础题．12．（2023秋•临川区校级期末）过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程或．【分析】分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为0时，设出该直线的方程为，把已知点坐标代入即可求出的值，得到直线的方程；第二：当所求直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为，把已知点的坐标代入即可求出的值，得到直线的方程，综上，得到所有满足题意的直线的方程．【解答】解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为0时，设该直线的方程为，把代入所设的方程得：，则所求直线的方程为即；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时，设该直线的方程为，把代入所求的方程得：，则所求直线的方程为即．综上，所求直线的方程为：或．故答案为：或【点评】此题考查学生会根据条件设出直线的截距式方程和点斜式方程，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题．13．（2023秋•南关区校级期末）唐代诗人李颀的《古从军行》中两句诗为：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从处出发，河岸线所在直线方程为．则“将军饮马”的最短总路程为．【分析】首先利用点关于线的对称求出点，进一步利用两点间的距离公式的应用求出的长．【解答】解：设军营所在位置为，如图所示：若将军从处出发，河岸线所在直线方程为，故点关于对称点的坐标，所以，解得；即．故．即“将军饮马”的最短总路程为．故答案为：．【点评】本题考查的知识要点：点关于线的对称，两点间的距离公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．四．解答题（共2小题）14．（2023秋•盐田区校级期末）已知菱形中，，，边所在直线过点．求：（1）边所在直线的方程；（2）对角线所在直线的方程．【分析】（1）由直线过点，，求出直线的斜率，由点斜式求出直线的方程；因为菱形的对边平行，所以可设直线的方程，将点代入可得参数的值，进而求出直线的方程；（2）求出线段的中点及直线的斜率，由菱形的对角线互相垂直平分可得直线的方程．【解答】解：（1）因为边所在直线过点，所以直线的方程为：，即，在菱形中可知，所以设直线的方程为，将点代入，所以，所以直线的方程为：；（2）由题意可得线段的中点，，即，，因为菱形的对角线互相垂直平分，所以直线的斜率为，所以所在的直线方程为，即．【点评】本题考查直线的平行和垂直的性质的应用，属于基础题．15．（2023秋•亭湖区校级期末）已知直线的倾斜角为，且这条直线经过点．（1）求直线的方程；（2）若直线恒过定点，求点到直线的距离．【分析】（1）先求出直线的斜率，再结合直线的点斜式方程，即可求解；（2）先求出定点，再结合点到直线的距离公式，即可求解．【解答】解：（1）直线的倾斜角为，，，则，故直线的斜率为，这条直线经过点，则直线的方程为，即；（2）直线，即，令，解得，故定点，，点到直线的距离为．【点评】本题主要考查恒过定点的直线，属于基础题．直线的交点坐标与距离公式（共11题）一．选择题（共4小题）1．（2023秋•龙岩期末）已知直线的法向量为，且经过点，则原点到的距离为A． B． C． D．【分析】根据题意，求出直线方程，再利用点到直线距离公式即可求解．【解答】解：根据题意，直线的法向量为，所以直线的斜率为，又直线过点，所以直线的方程为：，即，则原点到的距离．故选：．【点评】本题考查平面向量的应用，注意利用向量计算点到直线距离的方法，属于基础题．2．（2023秋•西固区校级期末）已知直线与平行，则与的距离为A． B． C． D．【分析】直线与平行，即可得到，然后利用平行线之间的距离公式求解即可．【解答】解：直线与平行，可得，则由两平行直线的距离公式可得，则与的距离为，故选：．【点评】本题考查两平行直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题．3．（2023秋•贵阳期末）点，，点在轴上，则的最小值为A． B．5 C．4 D．【分析】数形结合即可求解．【解答】解：已知，，点在轴上，如图取关于轴的对称点，连接交轴于点，此时．所以的最小值是5．故选：．【点评】本题主要考查对称点的求解以及两点间的距离公式，考查计算能力，属于基础题．4．（2023秋•南阳期末）点为两条直线和的交点，则点到直线的距离最大为A． B． C． D．5【分析】首先利用方程组求出交点的坐标，进一步求出直线恒过点定点，最后求出两点间的距离的值．【解答】解：，解得，故；直线，整理得，故直线恒过点，故点到直线的最大距离．故选：．【点评】本题考查的知识要点：直线的交点坐标的求法，点到直线的距离公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．二．填空题（共5小题）5．（2023秋•巴楚县校级期末）已知点与点之间的距离为5，则实数的值为或．【分析】由已知条件直接利用两点间距离公式能求出的值．【解答】解：与点之间的距离为5，，解得或．故答案为：或．【点评】本题考查两点间距离公式的应用，是基础题．6．（2023秋•湖北期末）点到直线的距离最大值是．【分析】先求出直线所过定点，再结合两点之间的距离公式，即可求解．【解答】解：直线，过定点，故点到直线的距离最大值是：，故答案为：．【点评】本题主要考查点到直线的距离公式，属于基础题．7．（2023秋•房山区期末）已知直线，，，则与的交点坐标为；若直线，，不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值．【分析】根据题意，将直线与的方程组成方程组，解之即可得到它们的交点坐标；直线，，不能围成三角形，有两种情况：三条直线交于同一点，或其中有两条直线平行且被第三条直线所截．从而建立关于的等式，算出符合要求的实数的值．【解答】解：由，解得，可知直线与的交点坐标为；若直线，，不能围成三角形，则有以下三种情况：①三条直线交于同一点，此时直线经过与的交点，可得，解得．②，此时的斜率与相等，即，解得．③，此时的斜率与相等，即，解得．综上所述，实数的值为或或．故答案为：；（答案不唯一）．【点评】本题主要考查直线的方程及其应用、两条直线平行与方程的关系等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．8．（2023秋•麒麟区校级期末）已知两个定点，，是坐标系原点，轴于点，是线段上任意一点，轴于点，于点，与相交于点，则点与点之间的距离的最大值和最小值的和等于3．【分析】由题意可得线段的方程，设的坐标，可得的坐标，进而可得线段的方程，由题意解出点的坐标，代入两点间的距离公式，可得的表达式，再由参数的范围，可得的最大值及最小值，进而求出结果．【解答】解：因为，，可得线段的方程为，，，设，，，由题意可得，所以线段的方程为，，，令，可得，即，所以，，，所以的最大值为2，最小值为1，所以．故答案为：3．【点评】本题考查直线方程的求法及两点间的距离公式的应用，属于基础题．9．（2023秋•宿迁期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值且的点所形成的图形是圆，后来，人们把这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知点到两个定点，的距离之比为2，则的取值范围为．【分析】首先求点的轨迹方程，再根据的几何意义，转化为直线与圆有交点，即可求解．【解答】解：由题意可知，，即，整理为，所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，因为表示圆上的点与定点连线的斜率，设，即，如图可知，直线与圆有交点，则，解得．故答案为：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，动点的轨迹方程的求法，属于中档题．三．解答题（共2小题）10．（2023秋•郑州期末）已知等腰的一个顶点在直线上，底边的两端点坐标分别为，．（Ⅰ）求边上的高所在直线方程；（Ⅱ）求点到直线的距离．【分析】（Ⅰ）求出线段的中点为，，，从而边上的高所在直线的斜率，由此能求出边上的高所在直线方程．（Ⅱ）联立，得，再求出直线的方程，由此能求出点到直线的距离．【解答】解：（Ⅰ）等腰的一个顶点在直线上，底边的两端点坐标分别为，，线段的中点为，，，边上的高所在直线的斜率，边上的高所在直线方程为，整理得边上的高所在直线方程为．（Ⅱ）联立，得，，直线的方程为，整理得，点到直线的距离为．【点评】本题考查直线的斜率、中点坐标公式、直线方程、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11．（2023秋•宝山区校级期末）已知，直线，直线．（1）若，求与之间的距离；（2）若与的夹角大小为，求直线的方程．【分析】（1）由题意，根据两直线平行的性质，求得值，再根据两平行直线间的距离公式，计算求得结果．（2）由题意，根据直线的法向量的定义、两直线的夹角公式，先求出值，可得直线的方程．【解答】解（1）因为，所以，求得，故与之间的距二．（2）设直线的一个法向量为，直线的一个法向量为，因为与的夹角大小为，所以，解得或，故直线的方程，即或，所以直线的方程为或．【点评】本题主要考查两直线平行的性质，两平行直线间的距离公式，直线的法向量、两直线的夹角公式，属于中档题．圆的方程（共14题）一．选择题（共4小题）1．（2023秋•咸阳期末）已知半径为3的圆的圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为A． B． C． D．【分析】设圆心坐标，由对称知识求出圆心的坐标为，由此能求出半径为3的圆的标准方程．【解答】解：设圆心坐标，由圆心与点关于直线对称，得到直线与垂直，结合的斜率为1得直线的斜率为，所以，化简得①，再由的中点在直线上，得到，化简得②联解①②，可得，，圆心的坐标为，半径为3的圆的标准方程为．故选：．【点评】本题考查圆的标准方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对称知识的合理运用．2．（2023秋•青岛期末）过三点，，的圆交轴于，两点，则A． B． C． D．【分析】根据已知条件，先求出圆的方程，再令，解得，即可求解．【解答】解：过三点，，的圆，圆心分别在直线，的直线上，故圆心坐标为，故半径，故圆的方程为，令，解得，，故．故选：．【点评】本题主要考查圆的方程的求解，属于基础题．3．（2023秋•石家庄期末）若圆心坐标为的圆被直线截得的弦长为，则该圆的一般方程为A． B． C． D．【分析】根据题意，设圆的半径为，求出圆心到直线的距离，由直线与圆的位置关系可得的值，即可得圆的标准方程，变形可得答案．【解答】解：根据题意，设圆的半径为，圆心坐标为，到直线的距离，该圆被直线截得的弦长为，则有，则圆的方程为，变形可得，故选：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及直线与圆相交的性质，属于基础题．4．（2023秋•三水区期末）已知方程表示一个圆，则实数取值范围是A．，， B．， C．，， D．【分析】根据题意，将圆的方程化为标准形式，根据建立关于的不等式，解之即可得到本题的答案．【解答】解：圆的方程化为标准形式，可得，所以，解得或，即实数取值范围是，，．故选：．【点评】本题主要考查圆的方程及其性质、一元二次不等式的解法等知识，考查了计算能力，属于基础题．二．多选题（共1小题）5．（2023秋•拉萨期末）已知圆，则下列说法正确的是A．点在圆内 B．圆关于对称 C．半径为1 D．直线与圆相切【分析】把圆的方程化为标准方程后，再逐项验证即可．【解答】解：圆的标准方程为：，圆心为，半径为1，．因为，所以点在圆外，故错误；．因为，即圆心不在直线上，故错误；．由圆的标准方程知，半径为1，故正确；．因为圆心为到直线的距离为，与圆的半径相等，故直线与圆相切，故正确．故选：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，方程思想，考查点到线的距离，属基础题．三．填空题（共4小题）6．（2023秋•青羊区校级期末）在平面直角坐标系中，有，，，四点，若它们在同一个圆周上，则2或4．【分析】设所求圆的方程为，将点、、的坐标分别代入圆的方程，求得，，，再将点的坐标代入所得的圆的方程，求解即可．【解答】解：设过，，的圆的方程为，将点、、的坐标分别代入圆的方程，得，解得：，，，所以圆的方程为，将点的坐标代入圆的方程，得，解得或4，故答案为：2或4．【点评】本题考查圆的一般方程，考查方程思想与待定系数法的运用，考查运算求解能力，属于中档题．7．（2023秋•湖北期末）已知圆的圆心在直线上，且过点、，则圆的一般方程为．【分析】先求出线段的中垂线所在直线的方程，再将其与已知直线联立求得圆心的坐标，及圆的半径，然后写出圆的标准方程，并化成一般方程，即可．【解答】解：因为点、，所以的中点坐标为，直线的斜率为，由垂径定理知，直线的斜率为，所以直线的方程为，即，联立，解得，，即，所以圆的半径为，所以圆的标准方程为，化成一般方程为．故答案为：．【点评】本题考查圆的一般方程的求法，熟练掌握两条直线的垂直关系，圆的标准方程是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．8．（2023秋•诸暨市期末）已知的圆心坐标为，半径为，则0．【分析】首先求圆心和半径，即可求解的值．【解答】解：将方程整理为标准方程可得：，则圆心为，半径，所以，，，则．故答案为：0．【点评】本题考查圆的性质的应用，属于基础题．9．（2023秋•吉安期末）若二元二次方程表示圆，则实数的取值范围是．【分析】根据圆方程的判断方法：形如的方程表示圆的条件为，列出不等式，解之即可．【解答】解：二元二次方程表示圆，，故，解得．故答案为：．【点评】本题主要考查圆的一般方程，考查运算求解能力，属于基础题．四．解答题（共5小题）10．（2023秋•汕尾期末）已知点，，，直线与轴交于点．（1）求点的坐标；（2）求的外接圆的标准方程．【分析】（1）先求出直线的斜率，用点斜式求直线的方程，可得点的坐标．（2）由题意，的外接圆是以线段为直径的圆，求出圆心和半径，可得的外接圆的方程．【解答】解：（1）根据点，，，故直线的斜率，所以直线的方程为．因为点在轴上，令，得，所以点的坐标为．（2）由题意，点，，，由，可得的外接圆是以线段为直径的圆．又中点为，所以外接圆的圆心为，半径为，所以的外接圆的方程为．【点评】本题主要考查直线的斜率，用点斜式求直线的方程，求圆的标准方程的方法，属于中档题．11．（2023秋•苏州期末）在平面直角坐标系中，已知四边形为平行四边形，，，．（1）设线段的中点为，直线过且垂直于直线，求的方程；（2）求以点为圆心、与直线相切的圆的标准方程．【分析】（1）利用中点坐标公式算出点的坐标，然后根据平行四边形的性质、垂直的两条直线的斜率关系，算出直线的斜率，进而求出直线的方程；（2）根据算出点的坐标，然后由斜率关系证出，得到点到的距离等于，进而可得所求圆的标准方程．【解答】解：（1）根据，，可得的中点为．由、，得，因为四边形为平行四边形，所以，得，而直线，可知直线的斜率为，所以直线的方程为，整理得．（2）设，根据，，，可得，，结合，得，，，即，根据，，得，即，所以点到的距离为，因此，以点为圆心且与直线相切的圆的标准方程为．【点评】本题主要考查直线的基本量与基本形式、平面直角坐标系内两条直线的位置关系、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．12．（2023秋•徐州期末）已知直线，，直线过点且与垂直．（1）求直线的方程；（2）设分别与，交于点，，为坐标原点，求过三点，，的圆的方程．【分析】（1）直接利用直线的垂直求出直线的斜率，进一步利用点斜式求出直线的方程；（2）利用直线间的关系建立方程组，进一步求出和的坐标，最后利用圆的一般式求出圆的方程，【解答】解：（1）直线，，直线过点且与垂直，故直线的斜率，故直线的方程为，整理得．（2）由于分别与，交于点，，故，解得，故；同理，解得，故．由于圆经过点，，，设圆的方程为，故，解得，故圆的方程为．【点评】本题考查的知识要点：直线的方程的求法，圆的方程的求法，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．13．（2023秋•新化县期末）已知圆．（1）求圆的标准方程，并写出圆的圆心坐标和半径；（2）若直线与圆交于，两点，且，求的值．【分析】（1）配方得到圆的标准方程，得到圆心坐标和半径；（2）由垂径定理得到圆心到直线距离，从而根据点到直线距离公式得到方程，求出答案．【解答】解：（1）由，得，则圆的标准方程为，圆的圆心坐标，半径为；（2）由，得圆心到直线的距离为，则圆心到直线的距离，得或．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．14．（2023秋•衡阳县期末）已知圆经过和两点，且与轴的正半轴相切．（1）求圆的方程；（2）若圆与圆关于直线对称，求圆的方程．【分析】（1）设出圆的标准方程，代入、的坐标算出参数、，即可得到答案；（2）根据轴对称的性质建立关系式，算出点的坐标，进而可得圆的方程．【解答】解：（1）根据题意设圆的方程为，即，其中．将，两点的坐标代入方程，可得，解得，．因此，圆的标准方程为；（2）因为圆与圆关于对称，所以两个圆的圆心关于对称，且半径相等．设圆的圆心坐标为，，由（1）知圆的圆心为，结合直线，其斜率，可得，解得即，因此，圆的方程为．【点评】本题主要考查圆的方程及其性质、直线与圆的位置关系、轴对称点的性质等知识，属于中档题．直线与圆、圆与圆的位置关系（共16题）一．选择题（共9小题）1．（2023秋•电白区期末）已知点在圆内，则直线与圆的位置关系是A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定【分析】先求圆心到直线的距离，通过关系判断点与圆的位置关系．【解答】解：点是圆内不同于原点的一点，，圆心到直线的距离，．故直线和圆相离．故选：．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，点与圆的位置关系，是基础题．2．（2023秋•天河区期末）直线与圆的位置关系是A．相离 B．相交 C．相切 D．位置关系与有关【分析】由圆的方程找出圆心坐标与半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离，比较与的大小即可得到直线与圆的位置关系．【解答】解：由题设知圆心到直线的距离，而，圆的半径，所以直线与圆的位置关系是相离．故选：．【点评】本小题主要考查圆的参数方程及直线与圆的位置关系的判断，以及转化与化归的思想方法，圆心到直线的距离为，当，直线与圆相离；当，直线与圆相切；当，直线与圆相交，属于基础题．3．（2023秋•湖北期末）设为正实数，若圆与圆相外切，则的值为A．4 B．6 C．24 D．26【分析】由两个圆的方程，可得圆心坐标及半径，再由两圆外切，可得圆心距等于两个半径之和，求出的值．【解答】解：圆的圆心坐标，半径为；圆的圆心坐标为，半径，要使两圆外切，则，，所以．故选：．【点评】本题考查两圆外切的充要条件的应用，属于基础题．4．（2023秋•南通期末）圆和圆的位置关系为A．相离 B．相交 C．外切 D．内切【分析】根据题意，分析两个圆的圆心和半径，求出圆心距，分析可得答案．【解答】解：根据题意，圆，其圆心为，半径为，圆，其圆心为，半径为，圆心距，有，故两圆外切．故选：．【点评】本题考查圆与圆的位置关系，涉及圆的标准方程，属于基础题．5．（2023秋•让胡路区校级期末）若直线与圆相切，则实数的值为A． B．1或 C．或3 D．【分析】根据题意，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，列出方程，即可求解．【解答】解：由圆可化为，可得圆心坐标为，半径为，因为直线与圆相切，可得圆心到直线的距离等于半径，可得，解得或．故选：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，是基础题．6．（2023秋•越城区校级期末）若直线与相离，则点与圆的位置关系为A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定【分析】由题设及点线距离公式有，进而可得，即可判断位置关系．【解答】解：由题设到直线的距离，即，所以点在圆内．故选：．【点评】本题考查点到直线的距离公式的应用及点与圆的位置关系的判断方法，属于基础题．7．（2023秋•郴州期末）德国数学家米勒曾提出最大视角问题：已知点，是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当在何处时，最大？结论是：当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大．人们称这一命题为米勒定理．在平面直角坐标系内，已知，，点是直线上一动点，当最大时，点的坐标为A． B． C． D．【分析】根据题意，设的外接圆的圆心为，得到，求得，得到圆心，再求得直线的方程，联立方程组，即可求解．【解答】解：由点，，可得线段的垂直平分线的方程为，设的外接圆的圆心为，其中，且圆的半径为，因为直线与圆相切，可得，又由，所以，解得或（舍去），即圆心，又由，可得，解得，则直线的方程为，即，联立方程组，解得，，即点的坐标为．故选：．【点评】本题考查直线与圆的关系、垂径定理定理等基础知识，考查运算求解能力，属中档题．8．（2023秋•哈尔滨期末）已知，直线与的交点在圆上，则的最大值是A． B． C． D．【分析】求得点的轨迹方程，由题意可得，可求的取值范围，进而可求最大值．【解答】解：由直线，的方程知直线过定点，直线过定点，又，所以，即，所以点在以为直径的圆上，即在圆上，又在圆上，所以圆与圆有交点，即，又，所以，即的取值范围是．故选：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆与圆的位置关系，属中档题．9．（2023秋•阳江期末）直线与圆交于，两点，则的取值范围为A． B． C． D．【分析】直线经过圆心时，弦长取得最大值，当直线时取得量小值．【解答】解：由题意可得直线过定点，圆的圆心，半径．，所以在圆的内部，当直线经过圆心时，，当直线时，，综上，的取值范围是，．故选：．【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，圆中的弦长问题，属中档题．二．多选题（共1小题）10．（2023秋•青羊区校级期末）设直线与直线交于点，已知点，则下列结论正确的是A．当时，点在圆上 B．当时， C．当时，点在直线上 D．当时，的最小值为2【分析】设，当时，根据题意推导出，从而判断出、两项的正误；当时，可得，由此判断出项的正误；先根据点在直线上，求出点关于直线的对称点，然后利用轴对称的性质、两点间的距离公式，求出的最小值，即可判断出项的正误．【解答】解：设直线与直线交于点，对于，当时，，由得①，由得②．①②相乘，得，即，整理得，所以点在圆上，故项正确；对于，当时，，可得，，所以，故项正确；对于，当时，直线与的方程相加，得，即，所以点在直线上，故正确；对于，当时，点在直线上，设点关于的对称点为，，则，解得，即．所以，即的最小值大于2，故项错误．故选：．【点评】本题主要考查直线的方程、圆的方程与轴对称的性质、两点间的距离公式等知识，属于中档题．三．填空题（共2小题）11．（2023秋•大通县期末）已知圆，过圆外一点作的两条切线，切点分别为，，若，则1．【分析】结合切线长定理可得为等边三角形，即可得．【解答】解：由圆，可得圆心坐标为，半径，由、为圆切线，故，又因为，所以，又因为，所以为等边三角形，所以．故答案为：1．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题．12．（2023秋•郑州期末）写出圆与圆的一条公切线方程（答案不唯一）．．【分析】根据题意，求出两圆的圆心与半径，进而得出圆心距等于它们的半径之和，可得两圆外切，然后利用直线与圆相切的性质，求出两圆的公切线方程．【解答】解：圆，圆心为，半径，圆，圆心为，半径，因为圆心距，所以，两圆外切．因此，圆与圆的方程相减，整理得，即为两圆的内公切线方程，由两圆半径相等，都等于，可知它们的外公切线与平行，根据，设圆与圆的外公切线方程为，即，则点到外公切线的距离，解得，即两圆的外公切线方程为和．综上所述，两圆的公切线有三条：、和．故答案为：（答案不唯一）．【点评】本题主要考查圆的方程及其性质、两圆的位置关系及其应用，属于中档题．四．解答题（共4小题）13．（2023秋•安宁区校级期末）已知圆和圆．（1）试判断两圆的位置关系；若相交，求出公共弦所在的直线方程；（2）若直线过点且与圆相切，求直线的方程．【分析】（1）将两圆化成标准方程，可得它们的圆心坐标和半径，计算出圆心距并比较其与、的大小关系，可得两圆的位置关系是相交；将两圆的一般式方程相减，消去平方项可得关于、的二次一次方程，即为两圆公共弦所在直线方程；（2）求出圆心到直线的距离等于半径，可求解直线的方程．【解答】解：（1）圆圆心，半径，圆的圆心，半径，，圆心距，得两圆的位置关系是相交；圆和圆．圆和圆的方程两边对应相减，化简得，即为两圆公共弦所在直线方程．（2）设切线方程为，即，圆心到切线的距离等于半径2，，解得或，切线方程为，即，或所以，所求的直线的方程是，或．【点评】本题给出两圆的一般式方程，求两圆的位置关系并求它们的公切线方程，着重考查了圆的标准方程和一般方程、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．14．（2023秋•丰城市校级期末）已知△的三个顶点分别为，，，直线经过点．（1）求△外接圆的方程；（2）若直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程．【分析】（1）先判断三角形的形状为等腰直角三角形，则圆心为斜边的中点，半径为斜边的一半可以得到圆的方程；（2）先根据弦长求出弦心距，再考虑直线斜率是否存在，分别判断直线是否符合要求，最后得到两条直线方程．【解答】解：（1）因为，，，所以，，所以，所以，又因为，所以△是等腰直角三角形，所以的圆心是的中点，即圆心，半径，所以的方程为；（2）因为圆的半径为2，当直线截圆的弦长为时，圆心到直线的距离为，①当直线与轴垂直时，此时直线斜率不存在，直线为，与圆心的距离为1，满足条件；（2）当直线的斜率存在时，设，即，则圆心到直线的距离为，解得，此时直线的方程为，即，综上可知，直线的方程为或．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．15．（2023秋•绵阳期末）已知直线，圆．（1）试判断直线与圆的位置关系，并加以证明；（2）若直线与圆相交于，两点，求的最小值及此时直线的方程．【分析】（1）先判断出直线恒过定点，然后根据点在圆内部，判断出直线与圆的位置关系；（2）由圆的性质，可知当与直线垂直时，弦长最小，由此求出直线的斜率，进而得到的最小值及此时直线的方程．【解答】解：（1）直线，整理得，所以直线经过与的交点，由解得，可得直线恒过定点．因为，所以点在圆内部，可知直线与圆相交；（2）圆，圆心为，半径，由圆的性质，可知当与直线垂直时，弦长最小，此时，所以当取最小值时，直线的斜率，可得直线的方程为，即．由圆心到直线的距离为，可知，所以弦长的最小值为4，相应直线的方程为．【点评】本题主要考查圆的方程及其性质、直线与圆的位置关系及其应用，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．16．（2023秋•赣州期末）已知圆，点．（1）若，过的直线与相切，求的方程；（2）若上存在到的距离为1的点，求的取值范围．【分析】（1）对直线的斜率是否存在加以讨论，根据直线与圆的位置关系列式运算，可得直线的方程；（2）若圆上存在到点的距离为1的点，则圆心到的距离满足，由此解得的取值范围．【解答】解：（1）当时，圆，化成标准方程为，所以圆心为，半径．①当的斜率不存在时，的方程为，即，与圆相切，符合题意；②当的斜率存在时，设的方程为，即，圆心到的距离，解得，此时直线的方程为，即．综上所述，直线的方程为或．（2）整理得圆，圆心，半径，则圆心到的距离，若圆上存在到的距离为1的点，则，即，解得，所以的取值范围为．【点评】本题主要考查圆的方程及其性质、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．点到直线的距离及平行直线间的距离（共2题）1．（2022秋•喀什地区期末）已知直线与直线．（1）求经过直线与的交点，且与直线垂直的直线的方程．（2）求分别到直线与的距离．【分析】（1）联立直线与的方程，可解出交点坐标为，代入方程，即可得到；（2）根据点到直线的距离即可求出．【解答】解：（1）联立直线与的方程，解得，交点为．因为直线与直线垂直，则可设直线的方程为，代入点，可得，，所以，直线的方程为；（2）由已知可得，点到直线，即直线的距离为，点到直线的距离为．【点评】本题考查了直线的方程，直线的垂直关系，点到直线的距离，属于中档题．2．（2023秋•安宁区校级期末）已知直线和直线．（1）试判断，能否平行，若平行，请求出两平行线之间的距离；（2）若原点到距离最大，求此时的直线的方程．【分析】（1）由两直线平行可以求得的值，再利用两平行线间的距离公式求解即可；（2）根据直线恒过定点，当时，原点到距离最大，求解即可．【解答】解：（1）若直线和直线平行，则，且，解得，所以直线，直线，直线与直线的距离．（2）直线恒过定点，因为时，原点到距离最大，此时直线的斜率为0，直线的斜率不存在，所以直线的方程为．【点评】本题考查两条直线的位置关系及两平行线之间的距离，是中档题．两条直线平行、垂直与方程的关系（共2题）1．（2022秋•广河县校级期末）已知直线过点，为坐标原点．（1）若与垂直，求直线的方程；（2）若直线与平行，求直线的方程．【分析】（1）根据垂直关系可得直线斜率，利用直线点斜式可整理得到直线方程；（2）根据平行关系可假设直线方程，代入所过点坐标即可求得结果．【解答】解：（1），直线与垂直，，又直线过点，直线方程为：，即；（2）由题意可设直线方程为：，又直线过点，，解得：，直线方程为：．【点评】本题考查两条直线平行及两条直线垂直的性质的应用，属于基础题．2．（2023秋•安宁区校级期末）已知直线和直线．（1）试判断，能否平行，若平行，请求出两平行线之间的距离；（2）若原点到距离最大，求此时的直线的方程．【分析】（1）由两直线平行可以求得的值，再利用两平行线间的距离公式求解即可；（2）根据直线恒过定点，当时，原点到距离最大，求解即可．【解答】解：（1）若直线和直线平行，则，且，解得，所以直线，直线，直线与直线的距离．（2）直线恒过定点，因为时，原点到距离最大，此时直线的斜率为0，直线的斜率不存在，所以直线的方程为．【点评】本题考查两条直线的位置关系及两平行线之间的距离，是中档题．圆的方程与圆的性质（共10题）1．（2023秋•吕梁期末）已知圆．（1）求的取值范围；（2）当取最小正整数时，若点为直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，求线段的最小值．【分析】（1）为圆的方程，即，然后求解；（2）由题意可得圆，则，又，然后求解．【解答】解：（1）已知圆．则为圆的方程，即，即或，即的取值范围为，，；（2）当取最小正整数时，则，即圆，点为直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，则，又，则，即线段的最小值为．【点评】本题考查了圆的方程，重点考查了圆的性质及点到直线的距离公式，属中档题．2．（2023秋•郑州期末）已知圆的圆心为，过直线上一点作圆的切线，且切线段长的最小值为2．（Ⅰ）求圆的标准方程；（Ⅱ）若圆与圆相交于，两点，求两圆公共弦的长．【分析】（Ⅰ）求出圆心到直线的距离，然后利用最短切线长、半径、三者满足的勾股定理求出半径即可；（Ⅱ）两圆的方程相减得到公共弦所在直线，然后利用弦长公式求解．【解答】解：（Ⅰ）圆心到直线的距离，又最短切线长，所以圆的半径，所以圆的方程为；（Ⅱ）圆与圆的方程相减得：，圆心到该直线的距离为，所以弦的长为．【点评】本题考查圆的标准方程的求法，切线方程的求法以及公共弦长的计算，属于中档题．3．（2023秋•湖州期末）已知圆，直线．（1）若直线与圆交于不同的两点，，当时，求的值；（2）若时，点为直线上的动点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，求四边形的面积的最小值．【分析】（1）由题意可得圆到直线的距离为，则，然后求解；（2）由圆的性质可得，则四边形的面积为，然后结合点到直线的距离公式求解．【解答】解：（1）已知圆，直线．又直线与圆交于不同的两点，，当时，则圆到直线的距离为，则，即，则的值为；（2）若时，直线．点为直线上的动点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，则，则四边形的面积为，又，则，则四边形的面积的最小值为．【点评】本题考查了圆的方程，重点考查了圆的性质及点到直线的距离公式，属中档题．4．（2023秋•大连期末）已知圆的圆心坐标为，与直线交于，两点，且．（Ⅰ）求圆的标准方程；（Ⅱ）求过点的圆的切线方程．【分析】（1）利用圆的弦长公式求出半径即可；（2）由弦长可得圆心到直线的距离，进而可得，再由直线与圆相切的性质即可得解．【解答】解：（1）由题意圆心为，直线，所以圆心到直线的距离，又因为，设圆的半径为，根据勾股定理，所以，解得，所以原的标准方程为；（2）易知点不在圆上，①当所求切线的斜率存在时，设切线方程为，即，由圆心到切线的距离等于半径得，解得，所以所求切线的方程为；②当所求切线的斜率不存在时，切线方程为；综上，所求切线的方程为或．【点评】本题考查点到直线的距离公式的应用，以及弦长公式的应用，属于中档题．5．（2023秋•吉林期末）如图，第25届中国机器人及人工智能大赛总决赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含地界和内部），长为12米，在边上距离点5米的处放置一只机器犬，在距离点2米的处放置一个机器人，机器人行走的速度为，机器犬行走的速度为，若机器犬和机器人在场地内沿着直线方向同时到达场地内某点，则机器犬将被机器人捕获，点叫成功点．（1）求在这个矩形场地内成功点的轨迹方程；（2）若为矩形场地边上的一点，若机器犬在线段上都能逃脱，问点应在何处？【分析】（1）建立平面直角坐标系，设成功点，可得，转化为关于，的方程即可；（2）当线段与（1）中的圆相切时，，得出，即可求得点横坐标的取值范围．【解答】解：（1）如图，分别以，所在直线为，轴，建立平面直角坐标系，则，，设成功点，可得，即，化简得，因为点需在矩形场地内，所以，故所求轨迹方程为；（2）当线段与（1）中的圆相切时，，所以，所以，若机器犬在线段上都能逃脱，则点横坐标的取值范围是．【点评】本题考查动点轨迹问题，属于中档题．6．（2023秋•天津期末）已知圆经过点和，且圆心在直线上，（Ⅰ）求圆的标准方程；（Ⅱ）过点作圆的切线，求直线的方程．【分析】（Ⅰ）设圆的方程为，构造方程组求解即可；（Ⅱ）分存在和不存在两种情况，结合直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径求解即可．【解答】解：（Ⅰ）设圆的方程为，圆经过两点，，且圆心在直线上，，解得，故圆的方程为．（Ⅱ）当存在时，设过点的直线方程为，即，所以，即，即，即，此时，即；当不存在时，此时过点的直线与轴垂直，即，此时直线与圆相切，综上：所求直线方程为或．【点评】本题考查圆的方程的应用，属于中档题．7．（2023秋•通州区期末）已知圆，点．（Ⅰ）求圆的圆心坐标及半径；（Ⅱ）求过点的圆的切线方程．【分析】（Ⅰ）将圆的方程化成标准式，即可求出