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文档简介

3．1微分中值定理

3．2函数单调性与曲线的凹凸性3．3函数的极值与最值3．4函数图形的描绘3．5洛必达法则3．6泰勒（Taylor)公式Ch3导数的应用函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.1费马(Fermat)引理费马(Fermat)引理且证

(1)

可微函数f(x)的极值点必定是它的驻点.但函数的驻点未必是极值点!例如,不是极值点情形Fermat引理说明2柯西(Cauchy)中值定理柯西定理的几何意义:注意:弦的斜率切线斜率曲线上到弦AB的距离最远点处的切线平行于AB

AB弦的方程：曲线上点M(g(x),f(x))到AB弦的距离为柯西定理证明分析曲线上到弦AB的距离最远点处的切线平行于AB

柯西定理证明作辅助函数对任意x

有；

由费马引理知，例１证特别地，在Cauchy中值定理中取3拉格朗日

(Lagrange)中值定理拉格朗日中值公式例２证注意:L-公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.拉格朗日中值定理又称有限增量定理.微分中值定理拉格朗日中值公式的有限增量公式形式：增量Dy的精确表达式定理1证

例3证定理2证令，再由定理1即可证得！4罗尔定理(Rolle)定理证在拉格朗日定理中令.

几何解释:例4验证Rolle定理对函数f(x)=sinx在[0,]上的正确性。解

例5证例6例7证例１证例8例9设f(x)在[a,b]上可微，且ab>0，求证：(a<ξ<b)证明例10

思考证解费马(1601–1665)法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好.他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大贡献.他特别爱好数论,他提出的费马大定理:至今尚未得到普遍的证明.他还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中提炼出来的.拉格朗日(1736–1813)法国数学家.他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百余年来,数学中的许多成就都直接或间接地溯源于他的工作,他是对分析数学产生全面影响的数学家之一.柯西(1789–1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是为巴黎综合学校编写的《分析教程》,《无穷小分析概论》,《微积分在几何上的应用》等,有思想有创建,响广泛而深远.对数学的影他是经典分析的奠

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