2020年初赛参考试题

2020年师范技能大赛暨说题比赛试题本试卷共1页，共3题，每题40分，满分120分。考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、学号填写在答题纸上．2．所有的答案请写在答题纸上．3．解题注重数学思维，突出思想和方法，书写清晰、整洁、条理．4．试题解析从题意、思路、思想、推广、价值等角度书写．5．考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回．一、已知正方形ABCD和等腰Rt△BEF,EF=BE，∠BEF=90°,按图1放置，使点F在BC上，取DF的中点G，连EG﹑CG.（1）探索EG﹑CG的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）将图1中△BEF绕B点顺时针旋转45°得图2，连结DF，取DF的中点G，问（1）中的结论是否成立，请说明理由。（3）将图1中△BEF绕B点转动任意角度（旋转角在0到90°之间）得图3，连结DF,取DF的中点G,问（1）中的结论是否成立，请说明理由。图3图1图2

图3图1图2本题涉及正方形、三角形全等、等腰直角三角形、中点的知识，考查的是几何图形识别、分析、添辅助线以及推理的基础知识和基本技能。分析：先回顾：本题中出现条件有中点，引导学生回忆涉及中点知识的性质：直角三角形中线的性质；中位线的性质。第（1）是特殊位置，学生经过观察能发现基本图形：直角三角形斜边上的中线，从而得出结论。解：(1)EG=CG,EG⊥CG在Rt△FCD中∵G为DF的中点∴CG=FD/2同理在Rt△DEF中EG=FD/2………3分∴CG=EG∴∠EGF=2∠BDF,∠CGF=2∠CDF∴∠EGC=∠EGF+∠CGF=2(∠BDF+∠CDF)=2∠BDC=90°∴EG⊥CG………7分第（2）小题通过旋转到特殊位置，可发现EF‖CD，如果延长EG交CD于M，问题就可以解决。解：(2)（1）中结论仍然成立，即EG=CG,EG⊥CG延长EG交CD与H∵BE⊥EF∴EF//CD………10分∵G为DF中点∴△FEG≌△DHG∴EF=DH，EG=GH………14分∵△BEF为等腰Rt△∴BE=EF∴BE=DH………16分∵CD=BC∴CE=CH∴△ECH为等腰Rt△………19分∵EG=CH∴CG垂直平分EH∴△ECG为等腰Rt△∴EG=CG且EG⊥CG………22分第（3）小题从特殊过渡到一般，难度增大了。由于CG是△OGC的边，于是去构造有EG的三角形和它全等，由于O是等腰直角三角形的斜边中点，所以可找△BEF斜边的中点M，连接MG,EG,就出现了△MEG,可证△OGC≌△MEG，那么可以解决问题了。(3)解：（1）中结论仍然成立，EG=CG,EG⊥CG分析由于CG是△OGC的边，于是去构造有EG的三角形和它全等，由于O是等腰直角三角形的斜边中点，所以可找△BEF斜边的中点M，连接MG,EG,就出现了△MEG,可证△OGC≌△MEG，那么可以解决问题了。连接AC，BD交于O点，取BF的中点M，连EM、MG、OG则EM=OG=BF/2，MG=BD/2=OC………25分∵MG//BD，OG//BF∴∠GMF=∠DOG………30分∴∠EMG=∠GOC∴△EMG≌△GOC∴EG=GC，∠EGM=∠OCG………36分∵MG⊥OC∴∠EGC=90即EG=CG,EG⊥CG………40分二、在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆上的点到点的距离的最大值为3.(1)求椭圆的方程；(2)在椭圆上，是否存在点，使得直线与圆相交于不同的两点、，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及对应的的面积；若不存在，请说明理由.（1）【解法一】：，……………3分，即椭圆的方程可写为.…………7分设为椭圆上任意给定的一点，………………10分.……………14分由题设存在点满足，则 ，.………………16分当时，由于，此时取得最大值.，…………………20分.故所求椭圆的方程为.…22分【解法二】：设为椭圆上任意给定的一点，…………………10分.…………14分ⅰ）若，由，即……………16分ⅱ）时，由.……20分解得，所以.故所求椭圆的方程为.………22分（2）【解法一】：存在点满足要求，使的面积最大.假设直线与圆相交于不同的两点、，则圆心到的距离，故.（由此可知点在圆外）因为点，所以，于是.，……26分………………30分==.………………33分上式等号成立当且仅当，.因此，当时，等号成立.……36分所以满足要求的点恰有四个，其坐标分别为.此时对应的诸三角形的面积均达到最大值.…40分【解法二】：假设点存在，则有.……………26分……30分=.………………...33分当且仅当，即时，等号成立.由解得………36分.此时对应的诸三角形的面积均达到最大值.………………40分【解法三】：假设点存在，则有，…………………26分，……30分当时，等号成立.……33分由，解得…………36分.此时对应的诸三角形的面积均达到最大值.……40分三、已知数列{}中，=4，=，问：是否存在自然数，使得当时，＜2；当时，＞2.证明你的结论.解：由=4，=可以得到：=，=12，，=－，=0，=.由此猜想：存在自然数，使得当时，＜2；当时，＞2．……15分首先验证，当1，2，3，…，9时，＞2．由已知条件=解得=，然后由=4出发，计算这个数列的第6项到第1项：=，=，=，=，==，=，显然，当时，＞2．…………20分再用数学归纳法证明：时，＜2．时，，猜想成立．…………25分⑵假设当()时，猜想成立，即＜2，那么当