2021-2022数学分析1期末试题及答案

ADDINCNKISM.UserStyle本题分数40得分本题分数40得分一、基础题（每题4分，共40分）叙述关于极限limx用“ε−δ语言”解释函数f(x)在区间I上不一致连续.求极限limn指出函数f(x)=|设f‘(1)=2，求设x=2t−t2,y=3t−t设y=xsinx,x设f(x)二阶可导，y=ef(x),求设f(x)=xsinx,求写出函数f(x)=(x−1)lnx,在

本题分数本题分数12得分二、求下列极限（每题6分，共12分） limlim本题分数本题分数36得分三、证明题（7分）用极限的ε−δ定义证明limx(7分）证明：f(x)=sin4x(6分）证明不等式2πx<sin(6分）设f(x)在[a,b]上可导(a>0),求证：存在ξf'((10分）叙述并证明“Heine-Borel有限覆盖定理”.本题分数12得分本题分数12得分四、设f(x)=x·arctanx,讨论2021-2022学年第一学期《数学分析I》考试试题参考答案（本试卷由学支教员董家华整理，答案仅供参考。如遇答案有误，请和学支教员部成员联系，学支会及时进行订正，感谢您的使用）基础题设函数f在U(−∞limx→−∞f(x)存在设函数f在区间I上有定义.f(x)在区间I上不一致连续虽然|x'−x''|limn====0另解：limLagrange==0当x=nπ时，f(x)=当x≠nπ时，由于|且limx故x=nπ，n=0,±1,5,limL'Hôpital==66,d7,对等式两边取对数⇒等式两边对x求导⇒8,对等式两边取对数⇒等式两边对x求导⇒等式两边对x求导⇒故d9,由leibniz公式得ff10, f'(x)=f(n)f'f(n)f(x)=f(1)+f'(x)(x−1)+f''(1)=(x−1)二、求下列极限n<<由于lim由迫敛性得：limlimL'Hôpital==0三、证明题∀|证毕f(x)在[0,1]内为连续函数，由一致连续性定理得 f(x)在[0,1]上一致连续∀只要|x’−x’’|<|sinLagrange定理<1故f(x)在(1,∞综上：f(x)在[0,∞设f'(x)=cosf''(x)=−sin因此f(x)为(0,π故f(x)进而sin证毕。f(x)在[a,b]上可导，由Lagrangef(a)−f(b)=f'(ξ)设g(x)=x2,显然g(x)在[a,b]上可导，由f(b)−f(a)g(b)−g(a)故f'(ξ)(b−a)进而f((海涅—博雷尔(Heine-Borel)有限覆盖定理)设H为闭区间[a,b]的一个(无限)开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖[a,b]证：用反证法假设定理的结论不成立，即不能用H中有限个开区间来覆盖[a,b].将[a,b]等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖.记这个子区间为[a1,b1],则[a1,b1]C[a,b],且b1−a1=12(b−a).再将[b即{[an,bn]}是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H中有限个开区间来覆盖.由区间套定理，存在唯一的一点覆盖，故存在开区间(α,β)∈H,使ξ∈(α,B).于是，由定理7.1推论，当n充分大时，有[an这表明[a,b。]只需用H中的一个开区间(α,β)就能覆盖，与挑选[an“不能用H中有限个开区间来覆盖”相矛盾.从而证得必存在属于H的有限个开区间能覆盖[a,b].四，f(x)=xf'(x)=arctanx+f'(0)=0f''(x)=设渐近线y