2025年分班考试压轴题及答案

2025年分班考试压轴题及答案某城市交通管理部门为优化早高峰时段（7:00-9:00）的北向车道流量调控，建立了如下流量模型：设时间t（单位：分钟，t=0对应7:00，t∈[0,120]），流量Q(t)（单位：辆/分钟）满足以下条件：（1）当t∈[0,30)时，Q(t)为二次函数，且在t=20时取得最小值200辆/分钟，t=0时流量为300辆/分钟；（2）当t∈[30,90]时，Q(t)为一次函数，且t=30时流量与前一段连续，t=90时流量达到峰值600辆/分钟；（3）当t∈(90,120]时，Q(t)满足Q(t)=Q(180−t)（即关于t=90对称）。问题：（1）求t∈[0,30)时Q(t)的解析式；（2）求t∈[30,90]时Q(t)的解析式，并判断该时段内流量是否单调递增；（3）计算7:00-9:00期间北向车道的总车流量（结果保留整数）；（4）研究表明，当流量超过450辆/分钟时，车道会出现轻度拥堵。求早高峰时段内发生轻度拥堵的时长；（5）为缓解拥堵，管理部门计划在t=60时启用可变车道（将部分南向车道转为北向），假设启用后t≥60时的流量模型变为Q’(t)=Q(t)+k(60−t)（k>0为调整系数），要求调整后t∈[60,120]时段内流量最大值不超过580辆/分钟，求k的最小整数值。答案（1）设t∈[0,30)时，Q(t)的二次函数解析式为顶点式Q(t)=a(t−h)²+k。由题知，t=20时取得最小值200，故h=20，k=200，即Q(t)=a(t−20)²+200。代入t=0时Q(0)=300，得300=a(0−20)²+200，解得a=100/400=0.25。因此，t∈[0,30)时，Q(t)=0.25(t−20)²+200=0.25t²−10t+300。（2）t∈[30,90]时，Q(t)为一次函数，设为Q(t)=mt+n。由t=30时流量与前一段连续，得Q(30)=0.25×30²−10×30+300=0.25×900−300+300=225辆/分钟。又t=90时Q(90)=600，代入一次函数得方程组：225=30m+n，600=90m+n。解得m=(600−225)/(90−30)=375/60=6.25，n=225−30×6.25=225−187.5=37.5。因此，t∈[30,90]时，Q(t)=6.25t+37.5。由于一次项系数m=6.25>0，故该时段内流量单调递增。（3）总车流量需分段积分计算：①t∈[0,30)时，Q(t)=0.25t²−10t+300，积分得：∫₀³⁰(0.25t²−10t+300)dt=[(0.25/3)t³−5t²+300t]₀³⁰=(0.25/3×27000−5×900+300×30)−0=(2250−4500+9000)=6750辆。②t∈[30,90]时，Q(t)=6.25t+37.5，积分得：∫₃₀⁹⁰(6.25t+37.5)dt=[(6.25/2)t²+37.5t]₃₀⁹⁰=(3.125×8100+37.5×90)−(3.125×900+37.5×30)=(25312.5+3375)−(2812.5+1125)=28687.5−3937.5=24750辆。③t∈(90,120]时，由Q(t)=Q(180−t)，令s=180−t，则s∈[60,90)，Q(t)=Q(s)=6.25s+37.5=6.25(180−t)+37.5=1162.5−6.25t。积分得：∫₉₀¹²⁰(1162.5−6.25t)dt=[1162.5t−(6.25/2)t²]₉₀¹²⁰=(1162.5×120−3.125×14400)−(1162.5×90−3.125×8100)=(139500−45000)−(104625−25312.5)=94500−79312.5=15187.5辆。总车流量=6750+24750+15187.5≈46688辆。（4）分三段求解Q(t)>450的t范围：①t∈[0,30)时，0.25t²−10t+300>450化简得0.25t²−10t−150>0→t²−40t−600>0解方程t²−40t−600=0，判别式Δ=1600+2400=4000，根为t=(40±√4000)/2=20±10√10≈20±31.62。正根≈51.62>30，故此区间无拥堵。②t∈[30,90]时，6.25t+37.5>450解得t>(450−37.5)/6.25=412.5/6.25=66，故t∈(66,90]，时长=90−66=24分钟。③t∈(90,120]时，1162.5−6.25t>450解得t<(1162.5−450)/6.25=712.5/6.25=114，故t∈(90,114)，时长=114−90=24分钟。总拥堵时长=24+24=48分钟。（5）调整后t≥60时，Q’(t)=Q(t)+k(60−t)（k>0），需保证t∈[60,120]时Q’(t)≤580。①t∈[60,90]时，Q(t)=6.25t+37.5，故Q’(t)=6.25t+37.5+k(60−t)=(6.25−k)t+37.5+60k。若k<6.25，斜率为正，最大值在t=90，Q’(90)=(6.25−k)×90+37.5+60k=562.5−90k+37.5+60k=600−30k；若k≥6.25，斜率为负或0，最大值在t=60，Q’(60)=6.25×60+37.5=412.5≤580（恒成立）。②t∈(90,120]时，Q(t)=1162.5−6.25t，故Q’(t)=1162.5−6.25t+k(60−t)=1162.5+60k−(6.25+k)t。斜率为