广东省广州市2026届高三下学期一模数学试卷

广东省广州市2026届高三下学期一模数学试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题1．若，则(

)A. B. C. D.答案：C解析：因为，则，所以.2．集合的子集个数为(

)A.3 B.4 C.7 D.8答案：D解析：解不等式得，则集合，有3个元素，则集合A的子集个数为.3．已知函数，则(

)A. B.0 C. D.2答案：B解析：因为，所以，所以，故选B.4．函数的最小正周期是(

)A. B. C. D.答案：C解析：因为，所以最小正周期为.5．已知向量，，向量满足，则的取值范围是(

)A. B. C. D.答案：A解析：设.已知，，所以.则，即.因表示点到原点的距离，而点是直线上的点，故的最小值即为原点到直线的距离，因为点在直线上，所以可无限大，所以的取值范围是.6．函数在区间上的极值点个数为(

)A.4 B.5 C.6 D.7答案：A解析：由函数，可得，令，即，可得或，因为，可得，当时，，所以，单调递增；当时，，所以，单调递减；当时，，所以，单调递增；当时，，所以，单调递增；当时，，所以，单调递减；当时，，所以，单调递增，所以在上递增，在上递减，在上递增，在上递增，在上递减，在上递增，其中两侧函数的单调性相同，可得不是函数的极值点，所以在区间的极值点为，共有4个.故选：A.7．已知抛物线的焦点为F，圆与C交于A，B两点，若直线AM与直线BM的斜率之积为，则(

)A.3 B. C.4 D.5答案：C解析：解法一：由题意知，由对称性知直线AM与直线BM关于x轴对称，所以.不妨设点A在第一象限，如图，则.设，则，，又，所以，得或（舍去）.又，所以，得，故，选C.解法二：因为抛物线与圆（圆心在x轴上）均关于x轴对称，所以圆M与抛物线C的交点A，B关于x轴对称，设，则，所以，又点在圆M上，所以，所以，得或（舍去），下同解法一.8．在正三棱柱中，，，点D是平面ABC上的动点，则的最小值是(

)A. B. C. D.答案：B解析：如图，连接AD，因为平面，平面ABC，所以.因为，所以.因为，即，所以，当且仅当点D在线段AC上时等号成立，因此当点D在线段AC上时，取得最小值，此时令，则，.令，，则，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以当点D为AC的中点时，取得最小值，故选B.二、多项选择题9．某自动流水线生产的一种新能源汽车零配件产品的质量X（单位：g）服从正态分布，且，.从该流水线上随机抽取4件产品，这4件产品中质量X在区间上的件数记为，则(

)A. B.C. D.答案：ABD解析：A（√）因为，，所以，所以.B（√）.错误项分析：C（×），.D（√）.故选ABD.10．已知，则下列命题正确的是(

)A.，B.，C.，D.，答案：BC解析：对于A：已知，则，根据和角公式：，故A错误；对于B：利用和差化积公式：，因为且，所以，则对任意的x，y成立，故B正确；对于C：已知，，不妨设，则，因为，，且，所以，又因为余弦函数在上单调递减，所以，两边同乘正数得：，即，故C正确；对于D：因为，所以原不等式等价于，两边同时除以2，得：当时：，两边除以正数，得，因为，所以，，此时不等式成立；当时：，两边除以负数，不等号方向改变，得，但的最大值为1，不可能大于1，此时不等式不成立，故D错误.11．已知曲线C的方程为，集合，若对任意的，都存在，使得成立，则称曲线C为曲线.下列方程所表示的曲线为曲线的是(

)A. B. C. D.答案：ABD解析：令，，，等价于过定点且与直线平行或重合的直线与曲线有交点Q，对于A：如下图，，如图示，其中任意点P在曲线上运动，都存在一点Q，使直线平行或重合，满足题设，对于B：如下图，且，如图示，其中任意点P在曲线上运动，都存在一点Q，使直线平行或重合，满足题设，对于C：如下图，，，则，若与曲线相切且P为切点，则，故，此时令，则，即，故，即有与相切于，如图示，此时不存在一点Q，使直线平行或重合，不满足，对于D：如下图，，，如图示，其中任意点P在曲线上运动，都存在一点Q，使直线平行或重合，满足题设，三、填空题12．已知椭圆（）的离心率为，则_____________.答案：4解析：显然，，故，解得.13．已知函数为奇函数，当时，（），若在上单调递增，则a的取值范围是______.答案：解析：因为函数为奇函数，所以关于点中心对称，又在上单调递增，则在区间上也单调递增，又当时，（），对称轴为，当时，的图象开口向下，且，此时在区间上单调递减，不合题意，所以，解得，所以实数a的取值范围是.14．某公园里有一块边长分别为30米，40米，50米的三角形草坪（记为），点D，E在的边上，线段DE把草坪分成面积相等的两部分.如果沿DE铺设灌溉水管，则水管的最短长度为_____________米.答案：20解析：由知为直角三角形，的面积.不妨设，，.①当D在BC上，E在AC上时，如图1，设，，则，，，当且仅当时等号成立.②当D在AC上，E在AB上时，如图2，设，，则的面积，又，所以，，当且仅当时等号成立，所以.③当D在BC上，E在AB上时，如图3，设，，则的面积，又，所以，，当且仅当时等号成立，所以.综上，水管的最短长度为20米.四、解答题15．已知数列的首项，且满足.(1)证明：数列为等比数列；(2)若数列的前n项和小于120，求n的最大值.答案：(1)证明见解析(2)14解析：（1）令，则，于是，结合已知有，所以，即.因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列.即数列为等比数列.（2）由（1）知，，则，则，令，整理得，而在上单调递增，且，所以，n的最大值为14.16．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面，点E是棱的中点.(1)求证：；(2)若点B到平面的距离为，求平面与平面夹角的余弦值.答案：(1)证明见解析(2)解析：（1）取的中点F，连接，因为点E是棱的中点，所以，又因为平面，且平面，所以，因为，所以，由底面为菱形，且，可得为等边三角形，因为F是的中点，所以，又因为，且平面，所以平面，因为平面，所以.（2）取的中点M，连接，因为F是的中点，可得，因为，所以，又因为平面，且平面，所以，，以A为坐标原点，以所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设，可得，，，，，所以，，，设平面的法向量为，可得，令，可得，所以，因为点B到平面的距离为，可得，则，解得，所以，所以，且.又因为平面与y轴所在直线垂直，所以平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为，可得，所以平面与平面夹角的余弦值.17．甲、乙进行射击比赛，两人依次轮流对同一目标进行射击，直至有人命中目标，比赛结束，命中目标者获胜.假设甲每次射击命中目标的概率均为（），乙每次射击命中目标的概率均为（），各次射击结果互不影响.(1)若甲先射击，甲第2次射击且获胜的概率为p，求p（用，表示）；(2)若乙先射击，且乙获胜的概率恒大于甲获胜的概率，求的最小值.参考公式：若，则.答案：(1)(2)解析：（1）甲第2次射击且获胜，即甲第1次未命中，乙第1次未命中，甲第2次命中.所以.（2）设乙先射击并获胜的概率为，甲获胜的概率为.乙获胜的情况为：乙第1次射击并命中，概率为；第1轮甲乙均未命中，乙第2次射击并命中，概率为；第2轮甲乙均未命中，乙第3次射击并命中，概率为；…第n轮甲乙均未命中，乙第次射击并命中，概率为；这是一个首项为，公比为的无穷等比数列，所以.甲获胜的情况为：第1轮乙未命中，甲命中，概率为；第2轮乙未命中，甲命中，概率为；第3轮乙未命中，甲命中，概率为；…第n轮乙未命中，甲命中，概率为；这是一个首项为，公比为的无穷等比数列，所以.由题意知，恒成立，即恒成立，因为，，所以，所以恒成立，即.因为，所以，，所以.所以的最小值为.18．已知函数.(1)若，求的单调区间；(2)若有且仅有1个零点，求a的值；(3)若存在a，使得对任意恒成立，证明：.答案：(1)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)1(3)证明见解析；解析：（1）当时，，定义域为，求导得到，令，则当时，所以在内单调递减，且，即在内单调递减，且，所以当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减；综上所述，单调递增区间为，单调递减区间为.（2）因为有且仅有1个零点，所以方程有且仅有1个解，即有且仅有1个解，令，，则，令，则，所以在区间上单调递增，又因为，所以当时，，即，单调递减；当时，，即，单调递增；所以函数在处取得极小值也是最小值，当时，，时，，因为有且仅有1个解，所以.（3）因为对任意恒成立，所以，即，因此，要证，只需证明即可，对函数求导得到，令，则，所以在区间单调递减，即在区间单调递减，存在唯一极大值点，满足，即，在内函数单调递增，内函数单调递减，所以当时取得极大值也是最大值.因此，令，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，故在时取得最大值，因此，所以，所以，故得证.19．已知双曲线（，）的焦点到其渐近线的距离为，点在C上.（1）求C的方程.（2）点A，B分别在C的两条渐近线上运动，且，线段AB的中点为M.（i）设，，求的最大值；（ii）设，，点M不在x轴上，若，求的取值范围.答案：（1）（2）（i）4（ii）解析：（1）设双曲线C的右焦点坐标为，一条渐近线方程为，因为双曲线C的焦点到其渐近线的距离为，所以.又点在C上，所以，解得，所以C的方程为.（2）设，，，（i）解法一：双曲线C的渐近线方程为，不妨设点A在直线上，点B在直线上，则，.因为线段AB的中点为M，所以，.因为，所以，即，得，整理得，则点M的轨迹为椭圆，其上、下焦点分别为，，根据椭圆的定义得，则，当且仅当时等号成立，所以的最大值为4.解法二：双曲线C的渐近线方程为，不妨设点A在直线上，点B在直线上.若直线AB的斜率不存在，则直线AB的方程为，此时点M的坐标为或.若直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为，由，得.由，得.则.由，得.由M是AB的中点，得，，消去k，m，得①.又点和满足方程①，当时，点M的坐标为，此时满足方程①.所以点M的轨迹方程为，其上、下焦点分别为，，根据椭圆的定义得，则，当且仅当时等号成立，所以的最大值为4.（ii）解法一：由于，且，则点M在第一象限或第四象限.由椭圆的对称性，不妨设点M在第一象限.方法一：则，，又，所以，整理得（*），又，所以（**）.根据题意，得，即关于的方程在上有解.设，则其图象的对称轴为直线，，所以，即，解得，又，所以.由（**）得，则，得，由（*）得，代入得，又，所以，