安徽省六安市2026届高三数学上学期1月第五次月考试题含解析

安徽省六安2025-2026学年高三上学期第五次月考（1月）

数学试题

一、单选题

1．已知集合A{x|2x≤4}，Bx|x13，则AB（）

A．2,2B．（,4)C．（,4]D．（2,4)

2．命题“x0，x2x10”的否定是（）

A．x0，x2x10B．x0，x2x10

C．x0，x2x10D．x0，x2x10

22

3．圆x1y12关于直线xy20对称的圆的方程为（）

2222

A．x1y32B．x1y32

2222

C．x1y32D．x1y32

4．如图为函数yfx在6,6上的图象，则fx的解析式只可能是（）

A．fxlnx21xcosxB．fxlnx21xsinx

C．fxlnx21xcosxD．fxlnx21xsinx

31

5．已知ABC角A，B，C的对边分别为a，b，c，A60，D为BC上一点，且AD3，ADABAC，

44

则b3c的最大值是（）

A．2B．4C．6D．8

x2y2

6．如图，点F1,F2分别是椭圆C：1（ab0）的左、右焦点，过F1的直线交椭圆C于A,B两点，

a2b2

π

且|FA|2|FB|，FAF，则C的离心率为（）

11122

1

A．3B．7C．5D．5

5393

π

7．已知，tantan3，则cos的值为（）

4

2222

A．B．C．D．

6226

2*

8．已知数列an满足a11，an1anan，nN，则

111

2025

①an是递增数列；②annn2；③a20262；④1．

a11a21an1

其中正确结论的个数为（）

A．3B．2C．1D．0

二、多选题

9．已知直线l:m2x+m1y2m10mR，圆C:x2y22x4y40，则（）

A．动直线l经过定点0,1B．圆心C到直线l的最大距离为5

C．当直线l与圆C有两个不同的交点时，m10或m2D．圆C与圆O:x2y24有两条公切线

y2x2

10．已知双曲线C：1的上、下焦点分别为F1，F2，A，B为双曲线上的两点，O为坐标原点，

6436

则（）

A．若AF117，则AF21或33

B．若A在双曲线的上支，P(1,10)，则APAF1的最小值为40116

C．存在点A，B，使得AOB90

D．该双曲线存在以Q(9,8)为中点的弦AB

11．正方体ABCDA1B1C1D1棱长为2，E、F分别为AB、BC的中点，P、Q分别为线段A1C1、BB1上的动

点，M为ABCD所在平面内的动点，则下列结论中正确的是（）

A．三棱锥APQC的体积为定值

2

B．若平面D1EF交CC1于点N，则C1NCN

4

C．若Q为BB中点，AM、QM与平面ABCD所成的角相等，则△MAB面积的最大值为

113

D．若M点到平面D1EF的距离等于DM的长，则M点轨迹为椭圆

三、填空题

5i

12．i是虚数单位，则的值为.

1i

13．经过点M2,1，并且与圆x2y26x8y240相切的直线方程是.

x2y2π

14．已知椭圆C:1的左、右焦点分别为F1,F2，经过F1且倾斜角为0的直线l与椭圆交于

432

A,B两点（其中点A在x轴上方）．将平面xOy沿x轴向上折叠，使二面角AF1F2B为直二面角，如图所

152

示，折叠后A,B在新图形中对应点记为A,B，若|AB|，则sin=.

7

四、解答题

15．在ABC中，内角A､B､C的对边分别为a,b､c，且满足sinACsinBsinCsin2Asin2C.

(1)求角A的大小：

(2)若a21,ABC的周长为521，求ABC的边BC上的高.

16．在五面体ABCDEF中，CD平面ADE，EF平面ADE．

(1)求证：AB//CD；

2

(2)若AB2AD2EF2，CD3,ADE90，点D到平面ABFE的距离为，求平面ADE与平面BCF

2

3

夹角的余弦值．

17．记数列an的前n项和为Tn，且a11,anTn1(n2)．

(1)求数列an的通项公式；

12n

(2)设m为整数，且对任意nN*，m，求m的最小值．

a1a2an

18．已知F1,0，动点P到点F的距离比到直线l：x2的距离小1，记动点P的轨迹为，A,B,C为上

三个不同的点．

(1)求的方程；

(2)若AF1，且F为ABC的垂心，求ABC的面积；

(3)若A(1,2)，ABAC，ADBC交BC于点D，求FD的最小值．

n

19．记aia1a2an．已知函数f(x)和g(x)的定义域都为D，若存在x1,x2,,xmD，使得

i1

m

[f(x)g(x)]xxi0，当且仅当xxi,i1,2,,m时等号成立，则称f(x)和g(x)在D上“m次缠

i1

绕”.

(1)已知f(x)sinx和g(x)cosx在(0,2π)上“2次缠绕”，设x1x2，求x1,x2的值；

xx

(2)设fxx,gxaeae，若f(x)和g(x)在实数集R上“3次缠绕”，求a的取值范围；

(3)记所有定义在区间(a,b)上的函数组成集合A，证明：给定mN*，对任意F(x)A，都存在

f(x),g(x)A，使得F(x)f(x)g(x)，且f(x)和g(x)在(a,b)上“m次缠绕”.

4

参考答案

1．B

【详解】集合A{x|2x4}{x|x2}．

由x13得2x4，所以B{x|2x4}，

故AB{x|x4}．

故选：B

2．B

【详解】命题“x0，x2x10”是存在量词命题，其否定是全称量词命题，

所以所求的否定是：x0，x2x10.

故选：B

3．D

22

【详解】圆x1y12的圆心为1,1，半径为2，

设点1,1关于直线xy20的对称点为a,b，且直线xy20的斜率为1，

a1b1

20

22a1

所以，解得，即所求圆的圆心坐标为1,3，

b1b3

11

a1

2222

故圆x1y12关于直线xy20对称的圆的方程为x1y32.

故选：D.

4．C

【详解】对于B.f(x)的定义域为R，且f(x)ln((x)21x)sin(x)

ln(x21x)sinxln(x21x)sinxf(x)，故f(x)为偶函数；

对于D.f(x)的定义域为R，且f(x)ln((x)21x)sin(x)

ln(x21x)sinxln(x21x)sinxf(x)，故f(x)为偶函数；

由图象，可知yfx为奇函数，故排除B、D；

π

对于A.当0x时，则2，而cosx0，此时fx0，由图像知道排除A；

2ln(x1x)ln10

故选：C.

5

5．D

2

31231

【详解】由ADABAC，则ADABAC，

4444

92123913

3ABACABAC，即3c2b2bccos60，

1616816168

整理得b29c23bc48，

2

2b3c

b3c483bc，又3bc，

2

2

2b3c2

b3c48，即b3c64，

4

b3c8，当且仅当b3c时，等号成立，

所以b3c的最大值为8.

故选：D.

6．D

【详解】

连接BF2，设BF1m，则AF12m，AF22a2m，BF22am，

π222

因为FAF，所以在△AFF中，由勾股定理得AFAFFF，

122121212

222

即2m2a2m2c，①

△222

在ABF2中，由勾股定理得ABAF2BF2，

222

即3m2a2m2am，

a

整理得m，

3

22

a22222

将m代入①式得a2aa2c，整理得5a9c，

333

6

c255

所以离心率e.

a293

故选：D

7．A

π

【详解】∵，tantan3，

4

tantan3

∴tan1，

1tantan1tantan

sinsin

∴tantan2，即2，即sinsin2coscos①，

coscos

π2

∵coscos，∴coscossinsin②，

42

22

联立①②解得coscos,sinsin，

63

222

∴coscoscossinsin.

636

故选：A.

8．A

22

【详解】对于①：易知an0，否则与a10矛盾，由an1anan，得an1anan0，

所以an1an，所以数列an是递增数列，故①正确；

222

对于②：由①的判断知anan1a2a11，所以anan1，由an1anan，得an1anan，

22

所以ananan1an1an2a2a1a1an1a1a1n11n，

22

当n2时，an1anannnnn12n1n1，因此annn2，故②正确；

a

2n1

对于③：由an1anananan1，得an1，

an

由于a112，当n2时，ana11，所以an12，故n2时，

anan1a2n1

ana1an11an21a111111112，

an1an2a1

2025

所以a20262，故③错误；

1111111

2

对于④：由an1anananan1，得，即，

an1anan1anan1an1anan1

111111111

所以

a11a21an1a1a2a2a3anan1

7

111

11，故④正确．

a1an1an1

故选：A.

9．BCD

【详解】对于A：将直线l方程进行变换可得2xy1mxy20，

2xy10x1

则有，解得.所以直线l经过定点1,1，所以A错误；

xy20y1

22

对于B：圆的方程变换为x1y21，设P(1,1)，

易知当CPl时，圆心C到直线的距离最大，最大距离为|CP|=5，

211

直线CP斜率为，所以直线l的斜率为2，此时l:2xy10，m0，所以B正确；

112

m2+2m22m1m5

d1

对于C：当直线l与圆C相交时，圆心C1,2到直线l的距离222，

m2m12m2m5

化简得m28m200，解得m10或m2，C正确；

22

对于D：两圆心间距离为5，由153可知圆C与圆O:xy4相交，所以有两条公切线，D正确；

故选：BCD.

10．BD

【详解】选项A：由双曲线的定义知AF1AF216，若AF117，解得AF21或33，

但，故，所以A错误；

AF2minca2AF233

22

选项B：APAF1APAF216PF216(10)(1010)1640116，

当P、A、F2共线时，等号成立，所以B正确；

对于C：当直线AB斜率不存在时，即点A，B关于x轴对称，

8

44

因为双曲线的渐近线方程为yx，1，结合正切函数性质可知，此时AOB90，不满足题意.

33

当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为ykxm，Ax1,y1，Bx2,y2，

与双曲线联立整理得36k264x272kmx36m223040，

72km36m22304

则x1x2，xx.

36k2641236k264

若AOB90，则OAOB，所以OAOB0，即x1x2y1y20.

22

又y1y2kx1mkx2mkx1x2kmx1x2m

36m2230472km2304k264m2

k2kmm2，

36k26436k26436k264

36m223042304k264m22304k228m22304

所以xxyy.

121236k26436k26436k264

22

因为2304k28m23040，所以x1x2y1y20（矛盾），

所以不存在点A，B，使得AOB90，故C错误；

，

选项D：设Ax1,y1,Bx2,y2，若Q(9,8)为AB中点，则x1x2=18y1y2=16，

y2x2y2x2

因为A，B在C上，所以111，221，

64366436

2222

y1x1y2x22222

两式相减得0，即36(y1y2)64x1x2，

64366436

也即36(y1y2)(y1y2)64(x1x2)(x1x2)，

y1y264(x1x2)6418

所以kAB2，

x1x236(y1y2)3616

所以直线AB方程为y2x10，

与双曲线方程联立，消去y，整理得5x290x810，

2

此时Δ90458164800，即直线AB与双曲线有2个交点，所以D正确.

故选：BD.

11．ACD

【详解】如图：

9

对于A：设点Q到平面ACC1A1的距离为h，

11

则VVSh，且S22222，

APQCQAPC3APCAPC2

平面

又BB1//AA1C1C，所以h与点B到平面AA1C1C的距离相等，故h2，

所以三棱锥APQC的体积为定值，故A正确；

对于B：如图1，延长EF交DC的延长线于点G，连接D1G交CC1于点N，则点N为平面D1EF与CC1的交

点．

因为EF//AC，AE//CG，所以四边形AEGC为平行四边形，所以CGAE1．

CNCD

又CG//CD，所以1112，故CN2CN，故B错误；

11CNCG1

对于C：易知A1MA为A1M与平面ABCD所成的角，QMB为QM与平面ABCD所成的角，由Q为B1B中

点，A1MA=QMB知AM2BM，

以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，

如图：

设A(1,0),B(1,0),M(x,y)，

22

则x1y22x1y2，

2

5216

可得点M的轨迹方程为：xy（y0），

39

10

144

所以S2，故C正确；

MAB233

对于D:方法一：以D为原点建立空间直角坐标系，

如图：

D1(0,0,2),E(2,1,0),F(1,2,0),EF(1,1,0),ED1(2,1,2)

ab0

设平面D1EF的一个法向量为na,b,c，则，取n(2,2,3).

2ab2c0

设Mx,y,0，则D1Mx,y,2，

|D1Mn||2x2y6|22

所以M点到平面D1EF的距离d==xy，

|n|17

x2y222

1

因为|xy3|17，所以M点轨迹为椭圆.

2

平面

方法二：作MHD1EF，垂足为H，作MKEF，垂足为K，连接KH，

如图：

MD

设MKH，则MHMKsinMD，sin1，所以M点轨迹为椭圆.故D正确.

MK

故选：ACD

12．13

11

5i(5i)(1i)

【详解】23i13．

1i(1i)(1i)

13．x2或4x3y50．

【详解】圆标准方程是(x3)2(y4)21，圆心为(3,4)，半径为1．

易知直线x2与圆相切，

设斜率存在的切线方程为y1k(x2)，即kxy2k10，

3k42k1448

由1，解得k，切线方程为xy10，即4x3y50．

k21333

故答案为：x2或4x3y50．

14．2

2

【详解】折叠后仍以x轴为x轴，y轴原位置仍为y轴，折叠后y轴的正方向为z轴正方向，建立空间直角

坐标系，

折叠前设Ax1,y1,Bx2,y2，易得F11,0，设直线AB:xmy1(m0)

x2y26m

1y1y22

43223m4

由得3m4y6my90，

9

xmy1y1y2

3m24

折叠后Ax1,0,y1,Bx2,y2,0

2222222

ABx2x1y2y1my2y1y1y2

22

m2yy4yyyy2yy222

12121212(m1)(y1y2)(4m2)y1y2

2

36m942

22144m234m72152

m124m22

22=

3m43m43m47

22

化简得167m437m22040，即m1167m2040.

因m0，则可得m1，即tan1.

12

π2

又0，则，故sin.

242

故答案为：2.

2

2π

15．(1)A

3

(2)27

7

【详解】（1）因为sinACsinBsinCsin2Asin2C，

所以sinπBsinBsinCsin2Asin2C,sin2BsinBsinCsin2Asin2C，

结合正弦定理可得b2bca2c2，即b2c2a2bc，

b2c2a212π

可得cosA，因为A0,π，所以A.

2bc23

（2）因为a21,ABC的周长为521，所以abc521，所以bc5，

在ABC中，由余弦定理得a2b2c22bccosAb2c2bc(bc)2bc，所以2125bc,bc4

113

又ABC的面积SbcsinA43，设ABC边BC上的高为h，所以

222

1127

Sah21h3，解得h.

227

16．(1)证明见解析

(2)6

6

【详解】（1）CD平面ADE，EF平面ADE，CD//EF，

CD平面ABEF，EF平面ABEF，CD//平面ABEF，

平面ABEF平面ABCDAB，CD平面ABCD，AB//CD.

（2）CD平面ADE，AB//CD，AB平面ADE，AE平面ADE，ABAE，

又CD平面ADE，AD,ED平面ADE，CDAD,CDED，

又ADE90,ADDCD，AD,DC平面ABCD，ED平面ABCD，

2

VDABEVEABD，SSED，

ABE2ABD

13

1212

ABAEABADED，即AEADEDAE2ED，

2222

22

AEADED2ED，即ADED1，AE2，

以D为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，

B1,2,0,C0,3,0,D0,0,0,E0,0,1,F0,1,1，

设平面BFC的法向量为nx,y,z，

BC1,1,0,BF1,1,1，

BCnxy0

，令x1，则n1,1,2，

BFnxyz0

取平面ADE的一个法向量为m0,1,0

设平面ADE与平面BCF的夹角为，

mn166

cos，即平面ADE与平面BCF夹角的余弦值为．

mn666

1,n1,

17．(1)ann2

2,n2.

(2)7

【详解】（1）因为a11,anTn1(n2)，所以a2a11，

n2n2

当n2时，an1TnTn1an2an，故ana222n2，

且a11不满足上式，

1,n1,

故数列an的通项公式为ann2

2,n2.

12n

（2）设Sn，则S11，

a1a2an

012n

当n2时，Sn12232n2，

11

故S221322n21n，

2n2

12n

15122n1n52121n

于是Sn222n2n2．

222121

14

2n

整理可得Sn7(n2)2，所以Sn7，

49

又S6，所以符合题设条件的m的最小值为7．

58

18．(1)y24x

(2)105

(3)222

【详解】（1）因为动点P到点F的距离比到直线l:x2的距离小1，

则点P到点F的距离与到直线x1的距离相等，

根据抛物线的定义，点P的轨迹是抛物线，且其焦点为F，

设该抛物线的标准方程为y22pxp0，

p

所以1，可得p2，所以的方程为y24x.

2

p

（2）根据抛物线焦半径公式可得AFxx1，

A2A

又AF1，所以xA0，则yA0，即点A为原点，

因为F为ABC的垂心，点F在x轴上，所以AFBC，即BCx轴，

设B(a2,2a)，则C(a2,2a)，

02a2a

由BFAC，得1，解得a5，

1a2a2

1

从而ABC的面积为a2|4a|105.

2

（3）由题意易知直线BC斜率不为0，AB、AC斜率均存在.

15

设BC：xmyt(m0)，B(x1,y1)，C(x2,y2)，y12，y22

y12y124

kAB24

x1yy2，同理kAC，

1111y2

42

44

因为ABAC，所以kABkAC1，即y1y22(y1y2)200.

y12y22

xmyt2

由2，整理得y4my4t0，所以y1y24m，y1y24t，

y4x

则4t24m200，即t5+2m，

所以BC：xmy5+2mm(y+2)5，过定点(5,2).

设Q(5,2)，由题知ADQD，所以D在以AQ为直径的圆上，

圆心E为(3,0)，半径为22.

又，所以，此时.

FE222FDmin222D(322,0)

π5π

19．(1)x,x

1424

1

(2)0,

2

(3)证明见解析

【详解】（1）由f(x)sinx和g(x)cosx在(0,2π)上“2次缠绕”知存在x1,x2(0,2)，使得

(sinxcosx)(xx1)(xx2)0，当且仅当xxi,i1,2时等号成立

5

因为x0,2，当x和x时，sinxcosx，

44

π5ππ5π

对任意x(0,2π