历年高考数学真题高频考点试题44随机变量及其分布

我爱数学的高中数学组卷

一.选择题（共5小题）

1.（2019•浙江）设随机变量X的分布列是

X0a1

P111

333

则当a在（0,1）内增大时，（）

A.D（X）增大B.D（X）减小

C.D（X）先增大后减小D.D（X）先减小后增大

2.（2021•新高考II）某物理量的测量结果服从正态分布N（10,。2）,则下列结论中不正

确的是（）

A.。越小，该物理量在一次测量中落在（9.9,10.1）内的概率越大

B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5

C.该物理量在一次测量中小于为9.99与大于10.01的概率相等

D.该物理量在一次测量中结果落在（9.9,10.2）与落在（10,10.3）的概率相等

22

3.（2015•湖北）设X〜N（阳，o1）,丫〜N（R,O2）＞这两个正态分布密度曲线如图所

示.下列结论中正确的是（）

A.P（y^R2）2P（1'2阳）

B.P（XW。？）WP（XW。|）

C.对任意正数r,P（FC/）

D.对任意正数3P（X2/）2P（Y^t）

4.（2015•湖南）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线。为

正态分布N（0,1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）

附“若X~N=（^,/）,则

P（H-oVXWp+o）=0.6826.

p（n-2uVXWR+2。）=0.9544.

C.3413D.4772

5.（2015•山东）已知某批零件的长度误差（单位：亳米）服从正态分布N（0,32）,从中

随机抽取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（）

（附：若随机变量W服从正态分布N（2。2）,则P（R-o〈宁叶。）=68.26%,P

（|i-2o<?<H+2O）=95.44%）

A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%

二.填空题（共2小题）

6.（2021•浙江）袋中有4个红球,小个黄球,〃个绿球.现从中仟取两个球，记取出的红

球数为«若取出的两个球都是红球的概率为占一红一黄的概率为则"L〃=____,

63

E（?）=.

7.（2012•新课标）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件I或元件2正常工作，

且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服

从正态分布N（1000,5（）2）,且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超

过1000小时的概率为.

------------1元件1-----------

------------1元件3）

-----------1元件2|-----------

三.解答题（共14小题）

8.（2020•新课标I）某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为

A,B,C,。四个等级,加工业务约定：对于4级品、B级品、C级品，厂家每件分别收

取加工费90元，50元，20元；对于。级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元,该厂有

甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为

20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，

并统计了这些产品的等级，整理如下：

甲分厂产品等级的频数分布表

等级ABCD

频数40202020

乙分厂产品等级的频数分布表

等级ABCD

频数28173421

（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率;

（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家

应选哪个分厂承接加工业务？

9.（2016•新课标I）某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一

易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用

期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易

损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得如图

柱状图：

以这10（）台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，

记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，〃表示购买2台机器的同时购买的易

损零件数.

（I）求X的分布列；

（II）若要求P（X要求20.5,确定〃的最小值；

（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在〃=19与〃=20之中选其

10.（2014•辽宇）一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直

方图，如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概密，并假设每天的销售量相互独立.

（I）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售

量低于50个的概率：

（II）用X表示在未来3天里H销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，

期望E（X）及方差O（X）.

11.（2014•安徽）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍

2

未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每同甲获胜的概率为了乙获胜的概率

为点各局比赛结果相互独立.

（I）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；

（II）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）.

12.（2014•陕西）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价

格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如表：

作物产量300500

（kg）

概率0.50.5

作物市场价610

格（元/&g）

概率0.40.6

（I）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；

（II）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2（X）0元

的概率.

13.（2014•四川）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出

现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两

次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分（即获得-200

分）.设每次击鼓出现音乐的概率为右且各次击鼓出现音乐相互独立.

（1）设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列；

（2）玩三盘游戏，至少有•盘出现音乐的概率是多少？

（3）玩过这款游戏的许多人都发现.若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反

而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.

14.（2013♦湖南）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直

线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验，一

株该种作物的年收获y（单位：依）与它的“相近”作物株数x之间的关系如下表所示：

X1234

Y51484542

这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.

（/）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一-株作物，求它们恰好“相近”的概率；

（//）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望.

01234

15.（2013•辽宁）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解

答.

（I）求张同学至少取到1道乙类题的概率；

（II）已知所取的3道题中有2道甲类题，I道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是

|,答对每道乙类题的概率都是:且各题答对与否柞互独立.用X表示张同学答对题的

个数，求X的分布列和数学期望.

16.（2013•天津）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,

4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡

片的可能性相同）.

（I）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率.

（II）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列和

数学期望.

17.（2021•北京）在核酸检测中，“4合1”混采核酸检测是指：先将女个人的样本混合在一

起进行1次检测，如果这我个人都没有感染新冠病毒，则检测结果为阴性，得到每人的

检测结果都为阴性，检测结束；如果这2个人中有人感染新冠病毒，则检测结果为阳性，

此时需对每人再进行I次检测，得到每人的检测结果，检测结束.

现对100人进行核酸检测，假设其中只有2人感染新冠病毒，并假设每次检测结果准确.

（I）将这100人随机分成10组，每组10人，且对每组都采用“10合1”混采核酸检

测.

（i）如果感染新冠病毒的2人在同•组，求检测的总次数：

（ii）已知感染新冠病毒的2人分在同一组的概率为二.设X是检测的总次数，求X的

分布列与数学期望EX.

（H）将这100人随机分成20组，每组5人，且对每组都采用“5合1”混采核酸检测.设

丫是检测的总次数，试判断数学期望石丫与（I）中EX的大小.（结论不要求证明）

18.（2021•新高考H）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物

为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代，……，该微生物每

代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的

个数，PCX=i）=piu=0,1,2,3）.

（I）已知po=O.4,pi=0.3,/?2=0.2,〃3=0.1，求E（X）;

（II）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：

po+pix+冲2+〃39=工的一个最小正实根，求证：当E（X）W1时，〃=1,当£（Xi>1

时，

（HI）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义.

19.（2021•新高考I）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A,8两类问题.每位参加比

赛的同学先在两类问题中选择•类并从中随机抽取•个问题回答，若回答错误则该同学

比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，

该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得。分；B类问题中的

每个问题回答正确得8。分，否则得0分.

已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答8类问题的概率为0.6,且能正

确回答问题的概率与叵答次序无关.

（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

2

20.（2019•天津）设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为3假定甲、

乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.

（I）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布

列和数学期望；

（II）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：

30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率.

21.（2014•新课标I）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指

（I）求这500件产品质量指标值的样本平均数元和样本方差，（同一组中数据用该组区

间的中点值作代表）；

（II）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（|1,。2）,其中口

近似为样本平均数k。2近似为样本方差

（/）利用该正态分布,求尸（187.8VZV212.2）；

（"）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于

区间（187.8,212.2）的产品件数，利用Q）的结果，求EX.

附：V150«12.2.

若Z〜N（|i,。2）贝I」P（u-。<Z<n+o）=0.6826,尸（［1-2。<Z<|i+2o）=0.9544.

2022年03月09日我爱数学的高中数学组卷

参考答案与试题解析

一.选择题(共5小题)

1.【解答】解：E(X)=0x14-«x|+lxi=^i,

DOOKJ

D(X)=(―)2x1+(〃一字)2x1+(1—粤)2x1

333333

=(«+1)2+(2a-1)2+(a-2)2]=(J-a+l)=.(a—分?+*

•・・0<4<1,・・・O(X)先减小后增大

故选：O.

2.【解答】解：因为某物理量的测量结果服从正态分布N(10,。2),

所以测量的结果的概率分布关于10对称，且方差。2越小，则分布越集中，

对于A,。越小，概率越集中在10左右，则该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内

的概率越大，故选项A正确；

对于从测量结果大于10的概率为0.5,故选项B正确；

对于C,由于概率分布关于10对称，所以测量结果大于10.01的概率等于小于9.99的概

率，故选项C正确；

对于。，由于概率分布是集中在10附近的，(9.9,10.2)分布在10附近的区域大于(10,

10.3)分布在10附近的区域,

故测量结果落在<9.9,10.2)内的概率大于落在(10,10.3)内的概率,故选项。错误.

故选：D.

3.【解答】解：正态分布密度曲线图象关于x=p对称，所以阳Vr,从图中容易得到尸(X

4.【解答】解：由题意P(OVXWl)=1x0.6826=0.3413,

・•・落入阴影部分点的个数的估计值为10000X0.3413=3413,

故选：C.

5.【解答】解：由题意尸(-3<?<3)=68.26%,P(-6<?<6)=95.44%,

所以尸(3<?<6)=1(95.44%-68.26%)=13.59%.

故选：B.

二.填空题(共2小题)

6.【解答】解：由题意，P解=2)=会一=卷=皋

。+汁+4

11n

又一红一黄的概率为廿2J=-=-»

党i+n+4336

所以缁+n+4=36,啜=3，

解得小=3,〃=2,故m-n=1；

由题意，彳的可能取值为0,1,2,

所以p(ko)j=m，

c9

P(e=i)_£kl_2c_w

17

尸”-r2-36-18'

L9

…=2)十1强3

所以E(?)=0x.+lx苣+2x得=

故答案为：1;

9

7.【解答】解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N(1(X)(),502)

得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为p二寺

设4=｛超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常｝,B=｛超过1000小时时，元

件3正常｝

C=｛该部件的使用寿命超过1000小时｝

则P(A)=l-(l-p)2=pP(B)=|

P(C)=P(AB)=P(4)P(B)=7x4=^

4Zo

故答案为I

三.解答题（共14小题）

8.【解答】解：（1）由表格可得，甲分厂加工出来的一件产品为A级品的频数为40,故频

,40

率为诉=0.4,

28

乙分厂加工出来的一件产品为A级品的频数为28,故频率为丽=0.28,

故甲、乙两分厂加工出来的一件产品为4级品的概率估计值分别是0.4,0.28；

（2）由表格可知甲分厂加工四个等级的频率分别为0.4,0.2,0.2,0.2,

故其平均利润为(90・25)X0.4+(50-25)X0.2+(20-25)X0.2+(-50-25)X0.2

=15（元）；

同理乙分厂加工四个等级的频率分别为0.28,0.17,0.34,0.21,

故其平均利润为(90-20)X0.28+(50-20)X0.17+(20-20)X0.34+(-50-20)

X0.21=10(元2

因为15>10,所以选择甲分厂承接更好.

9.【解答】解：（I）由已知得X的可能取值为16,17,18,19,20,21,22,

(X=16)

20404

P(X=I7)=100X100Xn2=25,

40、202=5

P(X=I8)(—)2+2(—)

100100

4020।。,20、26

(X=19)o

=2XTOOXTOO+2X(TOO)=25,

,20、2「402051

(X=20)=(!而)+2XTOOXTOO=25=5,

=2x湍7=急

P(X=21)

20.1

P(X=22)=(f而)2F

••・X的分布列为:

X16171819202122

1466121

P————一——

2525252552525

（n）由（i）知:

P(XW18)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)

_1.±,6_11

药十药十万西.

P(XW19)=P(X=16)+尸(X=17)+P(X=18)+P(X=19)

_1,4,6,6_17

=25+25+25+25=25-

：.P(XW〃)>0.5中，〃的最小值为19.

(Ill)解法一：由(I)得P(XW19)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)+P(X

=19)

J_.,_6_,_6__17

一名十海十名十落一石.

买19个所需费用期望：

17S2

EXi=200xl9x芸+(200X19+500)x品+(200X19+500X2)X含+(200X19+500

X3)X=4040,

买20个所需费用期望：

222I

EX2=200x20x+(200X20+500)x克+(200X20+2X500)x"=4080,

'：EX\<EXi，

・••买19个更合适.

解法二：购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，

另一部分为备件不足时额外购买的费用，

当〃=19时，费用的期望为：19X200+500X0.2+1000X0.08+1500X0.04=4040,

当〃=20时，费用的期望为：20X200+500X0.08+1000X0.04=4080,

・••买19个更合适.

10•【解答】解：(I)设Ai表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量

低于50个”

8表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的口销售量都不低于100个且另1天的口

销售量低于50个”，

因此P(4)=(0.006+0.004+0.002)X50=0.6,

P(42)=0.003X50=0.15,

P(B)=0.6X0,6X0.15X2=0.108,

(I【)X可•能取的值为0,1,2,3,相应的概率为：

P(X=0)=C[(l-0.6)3=0.064

P(X=1)=废0.6(1-0.6)2=0.288,

P(X=2)=CJO.62(1-0.6)=0.432,

P(X=3)=HO.63=0.216,

随机变量X的分布列为

所以期望E(X)=3X06=1.8,

方差。(X)=3X0.6X(1-0.6)=0.72.

11.【解答】解：用人表示甲在4局以内(含4局)赢得比赛的是事件，4表示第女局甲获

胜，队表示第k局乙获胜，

21

则P(4)=1P(Bk)=4，k=\,2,3,4,5

2)12?12

(I)尸(A)=P(4也)+P(B|AM3)+尸(482AVU)=(-)2+4x(-)02+4x4x(-)

333333

2_56

=8l-

(II)X的可能取值为2,3,4,5.

P(X=2)=P(44)+P(8182)=1,

P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A出汨3)

P(X=4)=P(APM3A4)+P(81A283B4)=gy,

74R

P(X=5)=P(4BM3&A5)+P(8IA2BM485)+P(BA283A4A5)+P(48M38485)=鬲=总，

o

或者尸(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=^-,

故分布列为：

X2345

P52108

998181

E(X)=2x+3x+4x+5x

12.【解答】解：(【)设A表示事件“作物产量为300心”，B表示事件“作物市场价格为6

元/依”，

则P(A)=0.5,P(B)=0.4,

•・•利润=产量X市场价格-成本，

・・・X的所有值为：

500X10-1000=4000,500X6-1000=2000,

300X10-1000=2000,300X6-1000=800,

则P(X=4000)=P(A)P(B)=(1-0.5)X(1-0.4)=0.3,

P(X=2000)=P(A)P(B)+P(4)P(5)=(I-0.5)X0.4+0.5(1-0.4)=0.5,

P(X=800)=P(A)P(B)=0.5X0.4=0.2,

则X的分布列为：

X40002000800

P0.30.50.2

(II)设Ci表示事件“第，・季利润不少于2000元”(i=1,2,3),

则Ci，C2,C3相互独立，

由(I)知，尸(Ci)=P(X=4000)+P(X=2000)=03+0.5=0.8(/=1,2,3).

3季的利润均不少于2000的概率为P(CiC2c3)=P(Ci)P(C2)P(C3)=0.83=0.512,

3季的利润有2季不少于2000的概率为P(GC2C3)+P(。及C3)+尸(GC2G)=3X

0.82X0.2=0.384,

综上：这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为：0.512+0.384=0.896.

13.【解答】解：(1)X可能取值有-200,10,20,100.

则P(X=-200)=C吗。(1一1)3=

P(x=io)=cK1)1*(i-J)2=|

P(X=20)=Cf(1)2(l-i)1=|,

P(X=100)=Cj(1)3=i,

故分布列为：

X-2001020100

P1331

8888

（2）rh（1）知，每盘游戏出现音乐的概率是P=上1

OOOO

则至少有一-盘出现音乐的概率P=1-C?［）°（11）3=界

OO。JL4

(3)由(1)知，每盘游戏获得的分数为X的数学期望是E(X)=(-200)x黑10x

O

i+20x+ix100=-挈=—T-

ooo15，

这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏

后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少.

14.【解答】解:(Z)所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15,其中三角形地块内部的作物株数

为3,边界上的作物株数为12,从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同

结果有废盘2=36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8,・••从三角

o2

形地块的内部和边界上分别随机选取•株作物，求它们恰好“相近”的概率为z=7?

369

(〃)先求从所种作物中随机选取•株作物的年收获量为丫的分布列

VP(r=51)=P(X=l),P(48)=P(X=2),P(y=45)=P(X=3),P(F=42)

=P(X=4)

・•・只需求出产(X=A)a=l,2,3,4)即可

记以为其“相近”作物恰有4株的作物株数(2=1，2,3,4),则〃1=2,〃2=4,“3=6,

由P(X=A)=华得P(X=1)=奈P(X=2)=白P(X=3)=^=1,P(X=4)

31

=15=5

・••所求的分布列为

Y51484542

2421

▲p—

151555

数学期望为£(X)=51x+48x+45x1+42xj=46

15.【解答】解：(/)设事件4=”张同学至少取到1道乙类题”

则彳二张同学至少取到的全为甲类题

：.P(A)=1-0(彳)=1一4=?

Go6

(〃)X的所有可能取值为0,1,2,3

P(X=0)=C0(|)0.(1)2.(1)=T4_

「(X=I)=gm+以・。)21=黑

p(x=2)=cr|-(^+^.|J4=^

P(X=3)=戏.(款《)=浅

X的分布列为

X0123

P4285736

125125125125

428

EX=0X[+1X[+2x^Z.+3x耨=2

JL/DJL乙J1JL乙。

16.【解答】解：（/）设取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片为事件4,则

C1C3C2C2

25+256

P)-

©7

所以，取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为:

（〃）随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4

-£3_±

P(X=l)

一。厂35

4

P(X=2)一己一35

=£1=2

P(X=3)

67

_或_4

P(X=4)

X的分布列为

X\234

P1424

353577

14?417

EX=lx希+2x希+3X/4X片可

17.【解答】解：（I）（i）若采用“10合1检测法”，每组检查一次，共10次;

又两名患者在同一组，需要再检查10次,

因此一共需要检查20次.

(ii)由题意可得:X=20,30.

110

P(X=20)=在，p(X=30)=若

可•得分布列:

X2030

p110

1111

1in320

E(X)=20x今+30x^=皆.

(II)由题意可得:y=25,3().

P(y=25)=20x^^=4，P(y=30)=器

C100

可得分布列:

Y2530

P495

9999

E(n=25xA+30xg=2go>=^0.

E(X)<E(K).

另解：设“io合i”混采核酸检测两名感染患者在同一组的概率为m，“5合i”混采核

酸检测两名感染患者在同•组的概率为P2,则

此时有E(X)=20pi+30(1-pi)=30-10”；

而E(X)=25/?2+30(1~/?2)=30-5/72>30-5pi>30-\0p\=E(X),

：・E(X)<E(K).

IS.【解答】(I)解：由题意，8=。.4,pi=0.3,p2=U.2,p3=。1，

故E(X)=0X0.4+1X0.3+2X0.2+3X0.1=1；

(II)证明：由题意可知，po+pi+/?2+p3=l，则E(X)=pi+2P2+3〃3,

所以po+piX+pNp+pspnx，变形为po-(1-Pi)X+p2X2+pvP=O,

所以po+p^+pyx^-(PO+P2+P3)X=0,

即po(I-X)+P2X(x-1)+pyx(x-1)(x+1)=0,

即(x-1)[pvr+(〃2+〃3)x-po]=O,

令/'(X)=pyc+(/72+P3)X-po,

若P3#O时，则f(x)的对称轴为％=P2+P3<0,

2P3

注意到/(O)=-poWO,f(1)=2〃3+〃2-〃0=〃I+2/72+3〃3-1=E(X)-1,

若P3=0时，/(I)=E(X)-1,

当E(X)W1时，/(I)W0,/(x)=0的正实根其21,原方程的最小正实根〃=1,

当£(X)>1时，/(I)=pi+2〃2+3〃3-1>0，

故存在即€(0,I),使得/(%)在(即，1)上单调递增，/(A0)<0,

因为加=0时，微生物不会灭绝，〃=0,此时〃是/(公的非负实