七年级数学下册专题08 期中-几何综合大题必刷（压轴题）（解析版）

专题08期中-几何综合大题必刷（压轴题）

1.如图，直线C。与EF相交于点O,ZCOE=60°,将一直角三角尺AO8的直角顶点与

O重合，04平分NCOS

（1）求/8。。的度数；

（2）将三角尺AO8以每秒3°的速度绕点。顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的

速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为，秒（0W/W40）.

①当/为何俏时，直线石/平分NA08：

②若直线Er平分N80Q,直接写出/的值.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）VZCOE=60°,Q4平分NCOE,

AZAOC=30°,

又・.・N4O8=90°,

：.ZBOD=\^0-30<-90°=60°；

（2）①分两种情况:

①当OE平分乙4。8时，N4OE=45°,

即9°什30°-3°r=45°,

解得f=2.5；

②当。尸平分NA03时，ZAOF=45°,

EA

cD

B

即9°L150°-3°f=45°，

解得r=32.5；

综上所述，当，=2.5s或32.5s时，直线E尸平分NA08；

②，的值为⑵或36s.

分两种情况：

①当OE平分NAOQ时，NBOE=X/BOD,

即9°/-60°-3°t=l(60°-3°t),

2

解得r=12；

②当。尸平分N8。。时，NDOF=2/BOD,

即9°L300°=-1(3°L60°),

2

解得f=36；

综.上所述，若直线£尸平分N8。。，，的值为12s或36s.

2.如图，直线OM_LON,垂足为O,三角板的直角顶点C落在NMON的内部，三角板的

另两条直角边分别与ON、OM交于点。和点从

(1)填空：ZOBC+ZODC=180°；

(2)如图1：若OE平分NOOC,8户平分NC8M,求证：DE1BF：

(3)如图2：若BF、DG分别平分NCBM、4NDC,判断8尸与。G的位置关系，并说

明理由.

【答案】见试题解答内容

【解答】(1)解：・：OM工ON,

.•・NMON=90”,

在四边形O8CQ中，/C=NBO/)=90°,

，NOBC+NOOC=360°-90°-90°=180°；

故答案为180°；

(2)证明：延长OE交8产于”，如图1,

VZOBC+ZODC=180°,

而NO4C+NC8W=180°,

：.ZODC=ZCBM,

•••。巴平分NOOC,BF平分NCBM,

/.ZCDE=/FBE,

而/DEC=NBEH,

：,/BHE=/C=90：

:・DE上BF；

(3)解：DG//BF.理由如下：

作CQ〃8尸，如图2,

•・•/OBC+NOOC=180°,

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)在△CEN中，NCEN=T80°-30,-45°=105°；

(2)如图②，•；/CON=5/DOM

/.180°-ZDOM=5ZDOM,

，ZDOM=30°

•••/OMN=60°,

:.MN1OD,

:‘MN"BC,

：・NCEN=1800-NOCO=180°-45°=135°；

(3)如图③，MN〃CD时，旋转角为90°-(60°-45°)=75°,

或270°-(60‘-45°)=255°,

所以，/=750+5°=15秒，

或/=255°4-5°=51秒；

所以，在旋转的过程中,三角板MON运动15秒或51秒后直线MN恰好与直线CO平行.

(4)MN_LC。时，旋转角的角度差为90。，

所以90°;(20°-10°)=9秒，

故答案为：9.

4.【学科融合】

物理学中把经过入射点O并垂直于反射面的直线QV叫做法线，入射光线与法线的夹角

i叫做入射角，反射光线与法线的夹角/•叫做反射角(如图①).由此可以归纳出如下的

规律：

在反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一平面内；反射光线、入射光线分别

位于法线两侧：反射角等于入射角.这就是光的反射定律(，守陵7劭?卜卬).

【数学推理】如图1,有两块平面镜OM，ON,且OMLON,入射光线48经过两次反

射，得到反射光线CD由以上光的反射定律，可知入射角与反射角相等，进而可以推得

他们的余角也相等，屏：Z1=Z2,Z3=Z4.在这样的条件下，求证：AB//CD.

【尝试探究】两块平面镜OM,ON,且NMON=a，入射光线A3经过两次反射，得到反

射光线CD.

(1)如图2,光线与。。相交于点E,则N8EC=180°-2a；

(2)如图3,光线/W与CO所在的直线相交于点E,ZBED=p,则a与0之间满足的

等量关系是B=2a.

【答案】数学问题：见解析；(1)180°-2a；(2)p=2a.

【解答】解：如图1,・：OM工ON,

AZCON=90°,

AZ2+Z3=90°,

VZ1=Z2,Z3=Z4,

/.Zl+Z2+Z3+Z4=180°,

ZDCB+ZABC=180°,

AB//CD；

【尝试探究】

(1)如图2,在△OBC中，•：NMON=a,

.\Z2+Z3=180°-a,

VZ1=Z2,Z3=Z4,

AZDCB=180°-2Z3,NA3c=180°-2Z2,

NBEC=1800-NABC-NBCD

=180°-(180°-2Z2)-(180°-2Z3)

=2(Z2+Z3)-180°

=2(180°-a)-180°

=180°-2a,

故答案为：180°-2a；

(2)如图4,B=2a,

理由如下：VZ1=Z2,Z3=Z4,

••・NABC=180°-2Z2,

Z5CD=180°-2N3,

：・4D=4MBC-4BCD

=(180°-2Z2)-(1800-2Z3)

=2(Z3-Z2)=Zp,

；N8OC=N3-N2=a,

**•P=2a.

故答案为：p=2a.

5.已知AB〃C7),点历、N分别是A8、CD上两点，点G在AB、CO之间，连接MG、NG.

(1)如图1,若GM1GM求/AMG+NCNG的度数；

(2)如图2,若点P是。。下方一点，MG平分/BMP,ND平分/GNP,已知N8MG

=30°,求NMGN+NMPN的度数；

(3)如图3,若点£是44上方一点，连接用“、EN,且GW的延长线用下平分

NE平分/CNG,2NMEN+NMGN=K)50,求NAME的度数.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)如图1,过G作GH〃斗B,

•:AB"CD,

J.GH//AB//CD,

：.ZAMG=^HGM,NC7VG=NHGN,

,:MG上NG,

:•/MGN=/MGH+/NGH=/AMG+/CNG=90°；

(2)如图2,过G作GK〃48,过点尸作PQ〃A8,设NGNO=a,

♦：GK〃AB,AB"CD,

：.GK//CD,

：・4KGN=NGND=a,

tJGK//AB,NBMG=30°,

；・/MGK=/BMG=30°,

•IMG平分/BMP,ND平分NGNP,

：,ZGMP=ZBMG=30°,

8Mp=60°,

*：PQ//AB,

，NMPQ=/BMP=60°,

•••NO平分NGNP,

:.NDNP=/GND=a,

*：AB//CD,

：.PQ//CD,

:.NQPN=/DNP=a,

，NMGN=30°+a,NMPN=60°-a,

:・NMGN+/MPN=30°+a+60°-a=90°；

(3)如图3,过G作GK〃AB,过E作E7〃AB,设N4M/=x,ZGND=y,

TA3,FG交丁A/,MF平分NAME,

，/FME=/FMA=/BMG=x,

：.ZAME=2x,

\GK//AB,

，/MGK=4BMG=x,

•：ET//AB,

：.ZTEM=AEMA=2x.,

9：CD//AB//KG,

J.GK//CD,

・•・/KGN=4GND=y：

:.NMGN=x+y,

•・・NCNQ=180°,NE平分4CNG,

，NCNG=180°-)，，ZCNE=^ZCNG=90

22

*：ET//AB//CD,

：.ET//CD,

：.ZTEN=ZCNE=W-Ay,

2

:.ZMEN=/TEN-ZTEM=90°-Ay-2x,/MGN=x+y,

2

•：2NMEN+NG=105°,

.•.2(90°--ly-2x)+x+y=105o,

，x=25°,

：.ZAME=2x=50°.

图1

6.“一带一路”让中国和世界更紧密，''中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两

座可旋转探照灯.如图1所示，灯A射线从4M开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B

射线从8P开始顺时针旋转至8Q便立即回转，两灯不停交叉照射巡视.若灯A转动的速

度是每秒2度，灯3转动的速度是每秒1度.假定主道路是平行的，即尸且/

BAM：/BAN=2：1.

(1)填空：ZBAN=60°；

(2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转匆，在灯B射线到达之前，4灯

转动几秒，两灯的光束互相平行？

(3)如图2,若两灯同时转动，在灯4射线到达AN之前.若射出的光束交于点C,过

。作/ACO交PQ于点。，且NACO=120°,则在转动过程中，请探究NBA。与N8CO

的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系：若改变，请说明理由.

【解答】解：（1）VZB4A/+ZBA/V=180°,NB4M：NBAN=2：1,

•••N8AN=I8O°X-l=60"，

3

故答案为：60；

(2)设A灯转动/秒，两灯的光束互相平行,

YPQ//MN,

:,NPBD=/BDA,

'JAC//BD,

・・・NC4M=N8D4,

.\ZCAM=ZPBD

A2r=l-(30+r),

解得r=30；

②当90V/V150时，如图2,

*：PQ//MN,

*：AC//BD,

:"CAN=/BDA

・・・NP8O+NC4N=180°

••・l・(30+力+(2r-180)=180,

解得/=110,

综上所述，当/=30秒或110秒时，两灯的光束互相平行；

(3)N84C和N5C。关系不会变化.

理由：设灯A射线转动时间为，秒，

*：ZCAN=\^-2/,

，N8AC=60°-(1800-2/)=2/7200,

又•••/AAC=I2O。-r.

AZBCA=180o-ZABC-ZBAC=18007,而NACD=120°,

.,.ZBCD=120°-Z^CA=120°-(180°7)=L60°,

/.ZBAC：ZBCD=2：I,

即N3AC=2/3CD,

・•・N84C和N8C。关系不会变化.

7.如图，直线。8〃OA,NC=NOA8=100°,E、厂在C8上，且满足N4OB,

OE平分/C。/

(1)求NEO8的度数；

(2)若平行移动4B,那么NOBC：NOFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化

规律或求出变化范围；若不变，求由这个比值.

（3）在平行移动A8的过程中，是否存在某种情况，使N0EC=N08A?若存在，求出

【答案】见试题解答内容

【解答】解：⑴•:CBHON,

/.ZAOC=180°-ZC=180°-100°=80°,

•・・。石平分/。。/，

・••ZCOE=/EOF,

*/ZFOB=NAOB,

/.ZEOB=ZEOF+ZFOB=^-ZAOC=^XSO()=40°；

22

(2)*：CB//OA,

・•・NAOB=NOBC,

VZFOB=ZAOB,

:・/FOB=/OBC,

/.ZOFC=ZFOB+ZOBC=2ZOBC,

：.ZOBC：ZOFC=1：2,是定值；

(3)在△COE和△AOB中,

•••/OEC=NOB4NC=NO4B,

/.ZCOE=NAOB,

JOB、OE、。产是N4OC的四等分线，

・・・NCO£=2N4OC=2X80。=20°,

44

AZOEC=1800-ZC-ZCOE=180°-100°-20"=60°,

故存在某种情况，使NOEC=NO8A,此时NOEC=NO84=6(T.

8.如图1,MN〃EF,C为两直线之间一点.

(1)如图1,若NMAC与NE3c的平分线相交于点。，若N4c4=100。，求NAO8的

度数.

(2)如图2,若NCAM与NC8E的平分线相交于点/),NACB与NAQB有何数量关系？

并证明你的结论.

(3)如图3,若NCAM的平分线与/C8F的平分线所在的直线相交于点。，请直接写出

NACB与NADB之间的数量关系：N41B=90°二//皿.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)如图1,过C作CG〃MN,DH//MN,

YMN//EF,

：.MN//CG//DH//EF,

：.Z\=ZADH,N2=NBDH,

NMAC=NACG,/EBC=NBCG,

VZMAC与ZEBC的平分线相交于点D,

.•.Z1=±ZACG,N2=/NBCG，

乙乙

人(NACG+/8CG)=-l/ACB；

22

VZACB=100°,

ZADB=50°；

(2)如图2,过C作CG〃MMDH//MN,

YMN//EF,

：.MN//CG//DH//EF,

••・/l=NAOH,N2=NBDH,

/NAC=/ACG,4FBC=/BCG,

VZMAC与ZEBC的平分线相交于点。,

，/1=-1/MAC,/2=2EBC,

22

/.ZADB=Z1+Z2=A(ZMAC+ZEBC)=A(180。-NNAC+180。-ZFBC)=A

222

(360°-NAC8),

・・・NAQ8=180。-AzACtf：

2

(3)如图3,过C作CG〃MMDH//MN,

，：MN〃EF,

：,MN//CG//DH//EF,

.\Z1=ZADH,Z2=ZBDH,

NNAC=NACG,/FBC=/BCG,

•・•NMAC与/用C的平分线相交于点D,

AZ1=-1/MAC,Z2=AZCBF,

22

VZADB=360°-Z1-(180°-Z2)-ZACB=360°-^ZMAC-(1800-Az

22

CBFy-ZACB=360°-A(180°-ZACG)-(1803■工/BCG)=90°-2NAC8.

222

AZADB=90°--1/ACfi.

故答案为：N/WB=9Q°-//ACB.

图2

9.(1)【问题】

如图I,若/18〃CQ,/BEP=25°,ZPFC=150°.求NE尸产的度数；

(2)【问题迁移】

如图2,AB//CD,点P在AB的上方，问NPE4,/尸FC,NE尸产之间有何数量关系？

请说明理由；

(3)【联想拓展】

如图3所示，在(2)的条件下，已知N£PF=a,NPEA的平分线和NPR7的平分线交

于点G,用含有。的式子表示NG的度数.

(2)/PFC=/PEA+/P；

(3)ZEGF=la.

2

【解答】解：(1)如图1,过点P作PQ〃A&

图1

•：PQ//AB,AB"CD,

：,CD//PQ.

：.ZCFP+ZFPQ=\^

・・.N〃PQ=I8O0-150°=30°,

乂•:PQ"AB,

：・/BEP=/EPQ=25°,

AZEPF=ZEPQ+ZFPQ=25a+30°=55°:

(2)/PFC=/PEA+/P,

理由：如图2,过P点作PN〃AB,则PN〃C。,

图2

：・4PEA=(NPE,

•・•ZFPN=NNPE+/FPE,

，ZFPN=ZPEA+ZFPE,

■:PN〃CD,

：.ZFPN=NPFC,

ZPFC=NPEA+NFPE,即ZPFC=NPEA+NP；

(3)如图3,过点G作AB的平行线G”.

图3

，：GH〃AB,AB"CD,

：.GH//AB//CD,

；・NHGE=NAEG,4HGF=/CFG,

又丁/尸胡的平分线和NPFC的平分线交于点G,

/.ZHGE=ZAEG=1^AEP,ZHGF=ZCFG=^CFP,

22

同(1)易得，/CFP=NP+/AEP,

AZ//GF=A(/尸+/4EP)=A(a+ZAEP),

22

：.4EGF=/HGF-NHGE=T(a+ZAEP)-N，GE=Xr+2/AEP-NHGE=L.

2222

10.如图，已知直线AB〃射线CD,ZCEB=\OOa.P是射线E8上一动点，过点尸作PQ

〃EC交射线CO于点0,连接CP.作/PC/=NPCQ,交直线A8于点ECG平分/

ECF.

（1）若点P,F,G都在点E的右侧.

①求NPCG的度数；

②若NEGC-NECG=40°,求NCPQ的度数.

（2）在点。的运动过程中，是否存在这样的情形，使若存在，求出NCPQ

ZEFC2

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）AB//CD,

，/ECQ=80°,

*/ZPCF=NPCQ,CG平分NECK

•••NPCG=NPCF+NFCG4NQCFCNFCET/ECQ=4（）。；

：.ZQCG=ZEGC,/QCG+NECG=NECQ=80°,

AZEGC+ZECG=80°

又TNEGC-NECG=40°,

AZEGC=60°,N£CG=200

AZECG=ZGCF=20°,N2。尸=NPCQ=2（80>-40°）=20°,

2

♦：PQHCE,

：.ZCPQ=ZECP=^°；

(2)设/EGC=3%,<EFC=2x,则/GC尸=3x-2Y=X,

①当点G、尸在点E的右侧时，

VZECD=80°,

/.4,r=80°,

解得x=20°,

，NCPQ=3x=60°；

②当点G、尸在点E的左侧时,

则NECG=NGCF=x,

•••NCGF=1800-3x,NGCQ=800+x,

.*.1800-3x=800+x,

解得x=25°,

AZFCQ=^ECF+ZECQ=50Q+80°=130°,

AZPCQ=yZFCQ=65°，

乙

AZCP(2=ZECP=65°-50°=15°.

11.如图，AB//CD,ZABE=\20°.

(1)如图①，写出N8£O与N。的数量关系，并证明你的结论：

(2)如图②，ZDEF=2ZBEF,/CDF=2/CDE,E尸与。尸交于点F,求NEF。的

3

度数;

(3)如图③，过8作BG_L48于G点，NCDE=4NGDE,的值.

①②③

【答案】(1)ZBED+ZD=120°；

(2)100°；

(3)-^-=1.

ZE4

【解答】解：(1)结论：ZBED+ZD=120°,

讦明：如图①，延长A3交。七于点立

①

*：AB//CD,

:・/BFE=/D,

VZABE=\20°,

：・NBFE+NBED=/ABE=12U°,

/.ZD+ZBED=120°；

(2)如图②，

•・•ZDEF=2ZBEF,ZCDF=AzCDE,

3

即NCDE=3NCDF,

设/8正尸=。，ZCDF=p,

：.^DEF=2a,4DEB=3a,NCDE=30,ZEDF=2p,

由(1)知：NBED+/CDE=120°,

.'.3a+3p=120°,

/.a+P=40°,

A2a+2p=80°,

：・NEFD=1800-ZDEF-ZEDF=180°-(2a+20)=180°-80°=100°,

答：ZEFD的度数为100°；

•：BGLAB,

AZABG=90u,

VZABE=\20°.

NGBE=NABE-NA3G=30°,

•：NCDE=4NGDE,

:,NGDE=±NCDE,

4

NG+NGBE=NE+NGDE,

：.ZG+30°=NE+工NCDE,

4

由(1)知：NBED+NCDE=120°,

/.ZCDE=120°-NE,

.\/G+30°=ZE+A(1200-ZE),

4

，NG=2/E,

4

.ZG=3

**^ZE7-

12.已知：/14〃C。，点E在直线AB上，点F在直线C。上.

(1)如图(1),Z1=Z2,N3=N4.

①若/4=36°,求N2的度数；

②试判断EM与五N的位置关系，并说明理由；

(2)如图(2),EG平分NM七卜,EH平分/AEM,试探究NG£H与的数量关系,

并说明理由.

BB

9

【解答】解：⑴®：AB//CDf

・・・N1=N3,

VZ1=Z2,Z3=Z4,

，N2=N4=36°；

②位置关系是：EM//FN.理由：

由①知，Z1=Z3=Z2=Z4,

；・NMEF=NEFN=180°-2NI,

NMEF=/EFN

・・・EM〃月V(内错角相等，两直线平行)

(2)关系是：ZEFD=2ZGEH.理由：

〈EG平分NME凡

/.NMEG=NGEH+NHEF®

〃平分NAEM,

NMEG+NGEH=NAEF+NHEF®

由①②可得：

/AEF=2/GEH,

'：AB//CD,

/.NAEF=/EFD,

：.ZEFD=2ZGEH.

13.已知M、N分别为直线48,直线CO上的点，且人B〃CO,E在AB,CO之间.

(1)如图1,求证：NBME+NDNE=NMEN；

(2)如图2,P是CO上一点，连PM,作MQ〃@V.若NQMP=NBWE.

试探究NE与NAMP的数量关系，并说明理由：

(3)在(2)的条件下，作NG_LC3交上必于G,若平分NQME,N”平分N£NG,

若/MGN=W,ZMFN=n°,直接写出〃?与〃的数量关系4〃-加=270°

【答案】4〃・加=270°.

【解答】解：（1）过E作EG〃48,如图1,

•:AB"CD,

:.EG"CD,

：.NBME=NMEG,NDNE=NGEN,

*/NMEN=/MEG+/GEN,

/.4BMEMDNE=4MEN；

(2)ZF=AAMP.

理由：*：AB//CD,

：.ZBMP+ZMPD=\^0,NMPD=NAMP,

,:MQHEN,

，NQME+NE=I8O°,

*/NQMP=NBME.

/./QME=/BMP,

：./E=/MPD,

・•・/£=NAMP；

(3)如图3,

在(2)的条件下，N/IMP=NE,

NQMP=NBME,

・•・ZAMQ=/DNE,

〈MP平分NQME,

・•・4PMQ=ZPME=NBME,

":NG1CD,NF平分NENG,

/.ZFNG=/ENF,

若NMGN=m°，/MFN=n°，/PMQ=NPME=NBME=y°，/AMQ=NDNE=x0,

4FNG=4ENF=z,

则〃?=x+y+90°,n=A+y+z,x+2z=90°,x+3y=180°,

解得4〃-加=270°.

故答案为4〃■机=270°.

14.如图，AD//BC,N64O的平分线交8c于点G,ZBCD=90(>.

(1)试说明：NBAG=NBGA；

(2)如图1,点尸在4G的反向延长线上，连接交AD于点E,若N84G-ZF=45°,

求证：CF平分NBCD.

(3)如图2,线段4G上有点P,满足NABP=3NPBG,过点C作CH〃AG.若在直线

AG上取一点M,使NP8M=NOC”，求4ABM的值

ZGBM

【答案】见试题解答内容

【解答】(1)证明：；4O〃8C,

•••NGAD=NBGA,

TAG平分/BAD,

：.ZBAG=ZGAD

：.ZBAG=ZBGA,

(2)解：•:/BGA=/F+NBCF,

：.ZBGA-NF=NBCF,

'：ZBAG=ZBGA,

；・N/BAG-NF=/BCF,

VABAG-/尸=45°,

AZBCF=45°,

VZBCD=90°,

，C尸平分NACO：

⑶解:有两种情况:

①当M在BP的下方时，如图5,

设/ABC=4x,

*/ZABP=3ZPBG,

/.ZABP=3x,NPBG=x,

YAG"CH,

:.ZBCH=NAGS&-±=90°-2x,

2

VZBCD=90°,

：.ZDCH=ZPBM=9(r-(90"-2x)=2x,

，NABM=ZABP+ZPBM=3x+2.v=5x,

/GBM=2x-x=x,

：,ZABM：NG8M=5x：x=5；

②当M在8尸的上方时，如图6,

同理得：ZABM=NABP-ZPBM=3x-2x=x,

ZGBM=2x+x=3x,

AZABM：/GBM=x：3x=2.

3

15.已知：如图，直线PQ〃MN,点、C是PQ,MN之间(不在直线PQ,MN上)的一个动

(1)若N1与N2都是锐角，如图1,请直接写出/C与Nl,N2之间的数量关系.

(2)若小明把一块三角板(乙4=30°,ZC=90°)如图2放置，点。，E,b是三角

板的边与平行线的交点，若NAEN=NA,求N8。尸的度数.

(3)将图2中的三角板进行适当转动，如图3,直角顶点C始终在两条平行线之间，点

G在线段CD上，连接EG,且有NCEG=/CEM,给出下列两个结论:

①/GEN的值不变;

2BDF

②/GEN-N8DF的值不变.

其中只有一个是正确的,你认为哪个是正确的？并求出不变的值是多少.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)ZC=Z1+Z2.

埋由：如图1，过C作C3〃2Q,

■:PQHMN、

:.CD"MN,

AZ1=ZACD,Z2=ZBCD,

/.ZACB=ZACD+ZBCD=Z1+Z2.

（2）•・・NAEN=N4=30°,

/.ZAf£C=30°,

由（1）可得，ZC=ZA/EC+ZPDC=90°,

/.ZPDC=90°-ZA/EC=60°,

/.ZBDF=ZPDC=6Q°；

（3）结论①孝里的值不变是正确的，

ZBDF

设NCEG=NCEM=x,则NGEN=180°-2x,

由（1）可得，NC=NCEM+NCDP,

：.ZCDP=900-NCEM=90°-x,

：.ZBDF=90°-x,

.•・包1=180°一2'=2（定值），

ZBDF900-x

即冬典的值不变，值为2.

ZBDF

16.已知48〃C。，解决下列问题：

(1)如图①，BP、。户分别平分NA3£、ZCDE,若NE=1OO0,求/尸的度数.

(2)如图②，若/48尸=2/48£,ZCDP=1ZCDE,试写出NP与NE的数量关系并

33

说明理由.

(3)如图③，若NCDP-NCDE,设NE=m°,求/尸的度数(直

nn

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)如图①，过E作历〃AB,

■:AB//CD,

：,EF//AB//CD,

•••NA8E+N8E尸=180",ZCDE+ZDEF=\S0°,

/.ZABE+ZBED+ZCDE=360J,

又・・・/血=100°,

••・NA3E+NCQE=360°-100°=260°,

又・：BP、OP分别平分NABE、ZCDE,

：・NPBE+NPDE=L(NABE+NCDE)=1X260°=130°,

22

，/P=360°-130°-100°=130°；

(2)3ZP+ZBED=360°；

如图②，过E作E/〃A8,

VAB//CD,

C.EF//AB//CD,

：.ZABE+ZBEF=\S():>,ZCDE+ZDEF=180°,

・・・N•E+/8EO+NCQF=360°,

••・NABE+/COE=36(T-/BED,

又NCDP=L/CDE,

33

:・/PBE+NPDE=2(/ABE+NCDE)=2x(360°-/BED)=240°--BED,

333

AZP=3600-/BED-(240°-^-ZBED)=120°"/BED,

33

即3NP+NBEO=360°；

(3)/p=360°-m。

n

如图③，过E作EF〃48,

•：AB//CD,

：.EF//AB//CD,

同理可得，ZABE+ZCD£=360°-ZZ?ED=360°-m°,

又,.,N48P=2NA昭NCDP=2/CDE,

nn

：,ZPBE+ZPDE=^L(ZABE+ZCDE)(360°-m°),

nn

工四边形尸。E8中，NP=360°-ml(360°-in)-m°=360°~m

nn

国①

17.如图1,AM//CN,点B为平面内一点，AB_L8c于B,过B作

（1）求证：/ABD=NC；

（2）如图2,在（1〉问的条件下，分别作ZA6D、NO4C的平分线交。M丁E、八若

ZBFC=\.5ZABF,NFCB=25/BCN,

①求证：NABF=NAFB：

②求/CBE的度数.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：（1）如图1,过B作BG〃CN,

:.NC=NCBG

/.ZCBG=90°・/ABG,

AZC=90°-ZABG..

YBG//CN,AM//CN,

:.AM〃BG,

；・NDBG=90°=ZD,

AZABD=90°-NABG,

，NABD=NC；

（2）①如图2,设NDBE=NEBA=x,则N8CN=2x,ZFCB=5x,

设NAA"=y,贝ljNA〃C=1.5），，

,:BF平分NDBC,

：.NFBC=NDBF=2x+y,

*/4AFB+NBCN=NFBC,

**•NAFB+2x=2x+y,

JNAFB=y=NABF；

②•••ZCSA=90°,AF//CN,

AZABG+ZCBG=90c,NBCN+NAFB+NBFC+NBCF=18Q0,

•••Ko•

ZCBE=3x+2y=3X150+2X30°=105°.

18.已知48〃CO,点W在直线A8上，点N、Q在直线。。上，点P在直线A3、CO之间,

连接尸M、PN、PQ,尸。平分/MPN,如图①.

（1）若/PMA=a、NPQC=0,求NNPQ的度数（用含a,0的式子表示）；

（2）过点Q作。£〃PN交PM的延长线于点£,过£作£尸平分/尸£。交。。于点凡

如图②，请你判断后尸与PQ的位置关系，并说明理由；

（3）在（2）的条件下，连接EM如图③，若NNEF=2/PMA,求证：NE平分NPNQ.

2

图①图②图③

【答案】（1）a+B：

（2）EFLPQx

（3）证明过程见解答.

【解答】解：（1）过点P作PR〃A8,

图①

♦：AB〃CD,

:‘AB"CD〃PR,

：.ZMPR=ZPMA=a,NRPQ=NPQC=B，

，NMPQ=NMPR+NRPQ=a+0

•••PQ平分NMPM

，NNPQ=NMPQ=a+B；

(2)如图②，EF1PQ,理由如下：

E

AA/B

图⑵

〈PQ平分NMPM

：.ZMPQ=ZNPQ=a^,

-CQE//PN,

，N£QP=NNPQ=a+B，

，ZEPQ=Z£(2P=a+p,

•；EF平分NPEQ,

/.NPEQ=2NPEF=2NQEF,

•••NEPQ+NEQP+NPEQ=180°,

・・・2NEPQ+2NPEF=180°,

••・N£PQ+NPE尸=90°,

・・・NPFE=18(T-90°=90°,

：.EF±PQi

(3)由(2)可知：/EQP=NAMP+NPQC,NEFQ=90°,

：.^QEF=^0-(N4MP+NPQC),

/NQE=NPQC+/EQP=ZAMP+2ZPQC,

/.NNEF=1800-ZQEF-/NQE-ZQNE

=180°-[90°-(NAMP+N尸QC)]-(ZAMP+2ZPQC)-ZQNE

=180°-90°+ZAMP+ZPQC-ZAMP-2ZPQC-ZQNE

=900-NPQC-NQNE,

•・•/NEF=X/AMP,

2

A900-APQC-ZQNE=^ZAMP,

即NAPM+2NPQC+2/QNE=180°,

/.ZNQE+2ZQNE=\80°,

•；NNQE+NQNE+NNEQ=180°,

：•/QNE=/NEQ,

-：QE//PN,

:・/PNE=/QEN,

/.ZPNE=/QNE,

:・NE平分/PNQ.

19.如图I,AB"8,G为/IB、CO之间一点.

(i)若GE平分/AEF,G/平分NEFC.求证：EG1FG；

(2)如图2,若N4EP=2NA七/，NCFP=2/EFC,且FP的延长线交NAEP的角平

55

分线于点M,石尸的延长线交NCFP的角平分线于点N,猜想/M+/N的结果并且证明

你的结论；

(3)如图3,若点H是射线E8之间一动点，FG平分/EFH,MF平分NEFC,过点G

作GQ_LFM十点Q,请猜想NEH尸与NFGQ的关系，并证明你的结论.

图3

【答案】(1)证明过程见解答：

(2)108°；

(3)ZFGQ=^ZEHF.

【解答】解：(1)•••AB”。。，

•••NAEF+/C尸E=180°,

VGEGF^^EFC,

ZAEG=/尸石6=2/4石凡ZCFG=/GFE=、NCFE,

22

；・NFEG+NGFE=90°,

即EGVFGx

(2)•・•分别过M,N怦MG//AB,NH//AB,

•:AB"CD,

：,AB//MG//NH//CD,

：,ZAEM=ZEMG,NGMF=NMFC,NAEN=NENH,ZHNF=4NFC,

：.NEMF=NAEM+NMFC,/ENF=4AENMNFC,

同理：NEPF=/AEP+NPFC,

J/EMF+/ENF=/AEM+/MFC+/AEN+/NFC,

TEM平分NAEN,FN平分/MFC,

/.ZAEM=1ZAEN,/NFC=-MFC,

22

/EMF+NENF=—AEN+工/MFC+NMFC+/AEN=3(/MFCMAEN),

222

•••NAEP=2NAEF,/CFP=2/EFC,

55

AZMFC+ZAEN=^-(ZAEF+ZEFC)=2x180°=72°,

55

:.NEMF+NENF=3(NMFC+NAEN)=3X72°=108°：

22

图2

(3)ZFGQ=^ZEHF.

证明：*：AB//CD,

•••NEHF+NCFH=18Q°,

VGQ1MF,

：.ZFGQ=90°-/GFQ,

*/FG平分ZEFH,MF平分NEFC,

；・/GFE=L/EFH,/QFE=L/CFE,

22

：•ZGFQ=^ZCFH=1.(1800-ZEHF)=90°-AzEWF,

222

/.ZFGQ=9()°-(90°-里/EHF)=、NEHF.

22

20.如图1,直线人8〃CD,直线石/交/W于点E交CO于点F,点G和点〃分另！是直

线AB和CO上的动点，作直线GH,百平分乙4石/，HI平分NCHG,EI与HI交于点、I.

(1)如图1,点G在点七的左侧，点〃在点尸的右侧，若N4E尸=70°,/C，G=60°,

求NE/H的度数.

(2)如图2,点G在点E的右侧，点”也在点尸的右侧，若NAE/=a,ZCWG=p,

其他条件不变，求N£」H的度数.

(3)如图3,点G在点E的右侧，点H也在点尸的右侧，ZGHC的平分线HJ交NKEG

的平分线£7于点其他条件不变，若NAE/=a,NCHG=B，求NE/”的度数.

【答案】见试题解答内容

【解答】(1)解：如图1,过点/作

丁以平分N4ERHI平分/CHG,NAEF=70°,ZCHG=60°,

AZAEZ=35°,ZC/7/=3O°,

：,ZM1E=ZAEI=35°,

*：AB//CD,IM//AIL

JJM//CD,

；・NMIH=NCHI=30°,

AZE/H=ZMIE+ZM/H=35°+30°=65°；

(2)解：如图2,过点/作/M〃A8,

•：E/平分NAEF,H/平分NCHG,ZAEF=a,NCHG=B，

AZAE/=-1Q,NCHI=L

22

•JIM//AB,

：.ZMfE=/4口=上口，

2

\'AB//CD,IM//AB,

：JM//CD,

r.ZA//H=ZOT/=-lp,

/.NEIH=NMIE+/MIH=Za+工B；

22

（3）解：如图3,过点J作MN〃AB,

•・•ZAEF=a,

：.ZKEB=a,

a,NCHG=0,

图3

，NJEG=La，NJHF=LR,

22P

，：MN〃AB,

：.NMJE=NJEG=La,

2

•:AB"CD,MN//AB,

:.MN〃CD,

:・ZNJH=/CHJ=^§,

：,ZEJH=1800-NMJE-NNJH=180°-上a-工§.

22

21.如图I,已知直线石尸分别与直线AN,C。相交于点石，F,AB//CD,EM平分NBEF,

(2)如图2,若FN平分NMFO交EM的延长线于点M且NBEN与NEFN的比为4：

3,求NN的度数.

(3)如图3,若点〃是射线£4之间一动点，FG平/4HFE,过点G作GQ_LFM于点

Q,请猜想NE"尸与/尸GQ的关系，并证明你的结论.

【答案】见试题解答内容

【解答】解：(1)如图1中，VAB//CD,

；・NBEF+NDFE=180°,

;£加平分FM平分NEFD,

/.ZFEM=^ZBEF,ZEFM=1ZDFE,

22

・•・//EM+NEFM=2X180°=90°,

2

/.ZEMF=90a.

(2)如图2中，由题意可以假设：/BEN=4x,NEFN=3x,

•NEMF=90°，NFEM=NME8=4.t,

，NEFM=90°-4x,

:，NFM=/NFD=3x-(900-4x)=7A-90°