七年级数学下册同步讲义（人教版）：第01课 相交线垂线

第01课相交线，垂线

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课程标准

】.了解两直线相交所成的角的位置和大小关系，理解邻补角和对顶角概念，掌握对顶角的性质;

2.理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；

3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；

4.能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算.

既知识精讲

、知识点01邻补角与对顶角

1.邻补角：

如果两个角有•条公共边,并且它们的另•边互为反向延长线,那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补

角.

注意：

⑴邻补角的定义既包含了位置关系,又包含了教量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和

为180°.

(2)邻补角是越困;出现的，而且是“互为”邻补角.

(3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角.

(4)邻补角满足的条件：①有公共顶点:②有•条公共边:另嚏互为反向延长线.

2.对顶角及性质：

(1)定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角,互为对顶角.

(2)性质：对顶角相等.

注意：

(1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角.

(2)对顶角满足的条件：①相等的两个角;②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.

3.邻补角与对顶角的关系

角的名称特征性质相同点不同点

对顶角

①两条直线相交形成的

角；对顶角杷

②有一个公共顶点;笠.

③没有公共边.①都是两条直线相交①有无公共边；

而成的角；②两直线相交时，

②都有一个公共顶点；对顶角只有2对；

邻补角

③都是成对出现的.邻补角有4对.

①两条直线相交而成；

邻补角互

②有一个公共顶点;

赴.

③有一条公共边.

注意：两直线相交，一个角的对顶角有工个，但一个角与它相等的角有无数个，邻补角最多有之个，而补

角则可以有无数个;即对顶角和邻补角，不仅包含数量关系，而且包含位置关系。

知识点02垂线

1.垂线的定义：

两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直鱼时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条

直线的垂线,它们的交点叫垂足.

注意:

(1)记法：直线石与。垂直，记作：albx

直线AB和CD垂直于点0,记作：ABJLCD于点().

(2)垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有:

NAOC=9()。.-矗TCD±AB.

2.垂线的画法：

过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是：

①使直角三角板的一条直角边和已知直线重合；

②沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点；

③沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示).

/r

注意:

（1）如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线,垂足可能在射线的反向延长线上,

也可能在线段的延长线上.

（2）过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段.

3.垂线的性质：

（1）在同一平面内，过一点有卫区宜一条直线与已知直线垂直.

（2）连接百线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短,简称：垂线段最短.

注意：

（1）性质⑴成立的前提是在“同一平面内”,“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了

垂线的存在性和唯一性.

（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短实际上，连接直线外一点

和直线上各点的线段有无数条,但只有一条最短，即垂线段最短.在实际问题中经常应用其“最短性”解

决问题.

4.点到直线的距离：

定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.

注意：

（1）点到直线的距离是垂线段的长度,是一个数量,不能说垂线段是距离；

（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度昂:垂线段的长度.

但能力拓展

考法01概念辨析

【典例1］判断正误：

（1）如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角（）

（2）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角（）

（3）有一条公共边的两个角是邻补角（）

（4）如果两个角是邻补角，那么它们一定互补（）

（5）有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角（）

【答案】（1）X；（2）x；（3）x；（4）V；（5）x

【分析】

根据对顶角与邻补角的定义与性质分析判断即可求解.

【详解】

(1)如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角，错误；

(2)如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，错误：

(3)有一条公共边的两个角不一定是邻补角，错误；

(4)如果两个角是邻补角，那么它们一定互补，正确；

(5)有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角不一定是邻补角，错误；

故答案为：(1)x；(2)x；(3)x；(4)V；(5)x.

【点睛】

本题主要考查了对顶角的与邻补角的性质，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键，如果一个角的两边

分别是另•个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，两个角有一条公共

边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角.

【即学即练】下列说法中正确的有.

①如果两个角相等，那么这两个甭是对顶角.

②如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角.③有一条公共边的两个角是邻补角.

④如果两个角是邻补角，那么它们一定互为补角.

⑤有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角.

【答案】④

【分析】

根据对顶角，邻补角的定义以及性质对各选项分析判断后利用排除法求解.

【详解】

解：①相等的两个角是对顶角，边应为互为反向延长线，故错误；

②有公共顶点，没有公共边的两个角是对顶角，边应为互为反向延长线，故错误；

③有一条公共边的两个角是邻补用，另一边应为互为反向延长线，故错误.

④如果两个角是邻补角，那么它们一定互为补角，正确；

⑤有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角，另一边应为互为反向延长线，故错误.

故答案为：④.

【点睛】

本题主要考查了邻补角，对顶角的定义以及对顶角相等的性质，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键.

【典例2】点到直线的距离是指()

A.从直线外一点到这条直线的垂线段B.从直线外一点到这条直线的垂线，

C.从直线外•点到这条直线的垂线段的长D.从直线外•点到这条直线的垂线的长

【答案】c

【分析】

根据点到直线的距离的定义解答本题.

【详解】

解：垂线段是一个图形，距离是指垂线段的长度，故A错误；

垂线是直线，没有长度，不能表示距离，故B错误；

符合点到直线的距离的定义，故（:正确；

垂线是直线，没有长度，不能表示距离，故C错误.

故选C.

【即学即练】有下列说法：

①两条直线相交成四个角，如果两个角相等，那么这两条直线垂直；

②两条直线相交成四个角，如果三个角相等，那么这两条直线垂直；

③在同一平面内，过直线上一点可以作无数条直线与已知直线垂直；

④百线外一点到这条的垂线段，叫做点到直线的距离.

其中正确的说法有（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】B

【解析】试题解析：①两条直线相交成四个角，如果有一对对顶角相等口均不为90。，那么这两条直线不垂

直，故①错误；

②两条直线相交成四个角，则这四个角中有2对对顶角.如果三个角相等，则这四个角相等，都是直角，

所以这两条直线垂直.故②正确；

③在同一平面内，过直线上一点只有一条直线与已知直线垂直.故③错误：

④直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.故④错误；

综上所述，正确的说法是1个.

故选B.

考法02邻补角与对顶角的应用

【典例3】如图所示，直线AA和。。相交于点。,。后是一条射线.

E,

A/OB

D

(1)写出NAOC的邻补角：；

(2)写出NCOE的邻补角：：

(3)写出N8O。的邻补角：：

(4)写出N8O。的对顶角：.

【答案】4AOD/BOCNDOENBOD/COAZAOC

【分析】

邻补角指的是有公共顶点且有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角；对顶角定义：有公共顶点且

两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角，据此解答即可.

【详解】

解：根据邻补角的定义得，

(1)NAOC的邻补角：NAOD/BOC；

(2)NCOE的邻补角：NDOE；

(3)N8OC的邻补角：/BOD"COA；

(4)根据对顶角的定义得，N80。的对顶角：ZAOC,

故答案为：(1)ZAODN3OC；⑵ZDOE；(3)ZBOD,ZCOA；(4)ZAOC.

【点睛】

本题考查邻补角的定义、对顶角的定义等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键.

【典例4】如图所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数,

你能说出所量的角是一度，你的根据是.

【答案】40对顶角相等

【分析】

由题意知，一个破损的扇形零件的圆心角与其两边的反向延长线组的角是对顶角，根据对顶角的性质解答

即可.

【详解】

解：由题意得，扇形零件的圆心角与其两边的反向延长线组的角是对顶角，

图中的量角器显示的度数是40。，

工扇形零件的圆心角40。；

故答案为：40；对顶角相等.

【点睛】

本题主要考查了对顶角的性质，题目比较简单.掌握对顶角的性质：对顶角相等是解题的关键.

【即学即练】如图，48、C为直线/上的点，。为直线/外一点，若ZABD=2NCBD,则NC8。的度数为

【答案】60。度

【分析】

由邻补角的定义，结合NABgNCBO,可得答案.

【详解】

解:「ZABD=2ZCBD,ZABD+Z.CBD=180°,

ZCB£>=-x180°=60°.

3

故答案为：60°

【点睛】

本题考查的是邻补角的定义，掌握“互为邻补角的两个角的和为180°”是解本题的关键.

【即学即练】如图，直线48、CD相交于点0,NAOD+N8OC=240。，则NBOC的度数为1

B

【答案】120

【分析】

由题意根据对顶角相等得出/B0C=N40。进而结合/40D+NB0C=240。即可求出/BOC的度数.

【详解】

解：VZZIOD+ZBOC=240°,ZBOC=ZAOD,

80c=120°.

故答案为:120.

【点睛】

本题考查的是对顶角的性质，熟练掌握对顶角相等是解题的关键.

【即学即练】如图，过直线48上一点。作射线OC、0。，并且。。是NAOC的平分线，ZeOC=29°18\则

【答案】104。3y

【分析】

先求出乙40c的度数，再根据角、/分线的运算可得/DOC的度数，然后根据角的和差即可得.

【详解】

解：•••/8。。=29。18\

/.ZAOC=180°-ZBOC=150。42',

。。是NAOC的平分线，

/.ZDOC=-ZAOC=15O2V,

2

/.NBOD=/BOC+ZDOC=29°18'+75°21'=104。39',

故答案为：104。39'.

【点睛】

本题考查了邻补角、与角平分线有关的计算，熟记角的运算法则是解题关键.

考法（）3垂线的应用

【典例5】过点8画线段AC所在直线的垂线段，其中正确的是（）

【答案】D

【分析】

根据垂线段的定义判断即可.

【详解】

根据垂线段的定义可知，过点8面线段AC所在直线的垂线段，可得:

故选D.

【点睛】

本题考查了垂线段的定义，过直纭外一点做直线的垂线，这点与垂足间的线段叫做这点到直线的垂线段.

【典例6】如图，计划把河水引到水池4中，可以先引48_LC。，垂足为8,然后沿A8开渠，则能使所开的

渠最短，这样设计的依据是（）

~CD

A

A.垂线段最短B.两点之间，线段最短

C.两点确定一条直线D.两点之间，直线最短

【答案】A

【分析】

过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短.

【详解】

根据垂线段定理，连接直线外•点与直线.上所有点的连线中，垂线段最短,

・••沿48开渠，能使所开的渠道最短，

故选4.

【点睛】

本题考杏了垂线段最短，能熟记垂线段最短的内容是解此题的关键.

【即学即练】如图所示，点P到直线I的距离是（）

A.线段PA的长度B.线段PB的长度C.线段PC的长度D.线段PD的长度

【答案】B

【详解】

由点到直线的距离定义，即垂线段的长度可得结果，点P到直线I的距离是线段PB的长度，

故选B.

【即学即练】点尸是直线/外一点，A、B、C为直线/上的三点，PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则

点P到直线/的距离（）

A.小于B.等于2加C.不大于D.等于

【答案】C

【分析】

根据点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度以及垂线段最短即可得答案.

【详解】

解：点P为直线/外一点，当P点直线/上的三点48、C的距离分别为%=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点

P到直线/的距离为不大于2cm,

故选C.

【点睛】

本题考查了点到直线的距离，点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，利用垂线段最短是解题关键.

【典例7】如图，下列说法不正确的是（）

A

A.点B到AC的垂线段是线段ABB.点C到AB的垂线段是线段AC

C.线段AD是点D到BC的垂线段D.线段BD是点B到AD的垂线段

【答案】C

【分析】

根据点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，结合图示对各

个选项逐一分析即可作出判断.

【详解】

A、点B到AC的垂线段是线段AB,正确；

B、点C到AB的垂线段是线段AC,正确；

C.点A到BC的垂线段是线段AD,故错误；

D.点B到AD的垂线段是线段BD,正确；

故选C.

【点睛】

本题考查了点到直线距离的概念，解题的关键是明确点到直线的距离的定义：直线外一点到这条直线的垂

线段的长度叫做点到直线的距离

【即学即练】如图，AD1BC,ED1AB,表示点O到直线48距离的是线段（）的长度

A.DBB.DEC.DAD.AE

【答案】B

【分析】

根据从直线外一点到这直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离解答.

【详解】

解：VED1AB,

・••点D到直线AB距离的是线段DE的长度.

故选:B.

【点睛】

本寇考杳了点到直线的距离的定义，是基础题，熟记概念并准确识图是解题的关键.

考法04综合应用

【典例8】如图，已知直线A8和C。相交于。点，NCOE是直角，OF平分NAOE,NCOF=36二则N8。。

的大小为.

【分析】

根据直角的定义可得NCOE=90。，然后求出/EOF,再根据角平分线的定义求出N40F,然后根据N40C=

/AOF-NCOF求出4OC,再根据对顶角相等解答.

【详解】

解：:NCOE是直角，

AZCOE=90°,

VZCOF=36°,

・•・NEOF=NCOE-ZCOF=90°-36°=54°,

「OF平分NA9E,

，N4OF=/£OF=54°,

/.NAOC=ZAOF-NCOF=54°-36°=18°，

：.ZBOD=ZAOC=18°.

故答案为：18。.

【点睛】

本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记概念与性质并准确识图，理清图中各角

度之间的关系是解题的关键.

【叩学即练】如图，已知直线48和CD相交于。点，NCOE是直角，OF平分N40E,ZCOF=27°,则NBOD

的大小为.

【答案】360

【分析】

根据直角的定义可得NCO£=90。，然后求出/EOF,再根据角平分线的定义求出/AOF,然后根据NAOC=

N/OF-NCOF求出N40C,再根据对顶角相等解答.

【详解】

解：・・・NCOE是直角，

AZCOE=90°,

ZCOF=27°,

：.NEOF=ZCOE-ZCOF=90o-27°=63°,

〈OF平分N40E,

，N4OF=NEOF=63。，

ZAOC=ZAOF-ZCOF=630-27c=36°,

：.ZBOD=ZAOC=36°.

故答案为：36。.

【点睛】

本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记概念与性质并准确识图，理清图中各角

度之间的关系是解题的关键.

【典例9】如图，直线八8、C。相交于点。，O£J_A8于。，Z2=2Z1,求N40C的度数.

E

解：VOE±AB（己知）

，N80E=90°（）

g|JZl+Z2=90°

XVZ2=2Z1（已知）

:.Zl=度

/.Z2=度（等式性质）

TN2与乙AOC是对顶角（已知）

.••N2=4OC（）

VZ2=度（已证）

A^AOC=度（）

【答案】见解析

【分析】

根据垂直的定义以及N1和N2的关系得到各自的度数，再根据对顶角相等得到结果.

【详解】

解：-：OE1AB（已知）

.,./80£=90。（垂直的定义）

BPZ1+Z2=9O°

XVZ2=2Z1（已知）

，/1=30度

・・・N2=60度（等式性质）

：N2与N40C是对顶角（己知）

・・・N2=N4OC（对顶角相等）

•••/2=60度（已证）

・••乙40c=60度（等式性质）

【点睛】

本题考查了垂直的定义，对顶角相等，解题的关键是得到N2的度数.

【即学即练】给下面命题的说理过程填写依据.

E01CD,垂足为0,0F平分NB0D,对NEOF=gNB0C说明理由.

已知：如图，直线AB,CD相交于点0,

理由：因为NA0C=NB0D(),

NEOF=；NBOD(),

所以NB0F=；NA0C().

因为ZAUC=18Ua—ZBUC(),

所以NBOF=90。-g/BOC.

因为EO_LCD(),

所以NC0E=9(T()

因为NBOE+NCOE=NBOC()

所以NBOE=NBOC-NCOE.

所以NBOE=NBOC—90。()

因为NEOF=NBOE+NBOF()

所以/EOF=(/BOC-9(T)+(9(r-』NBOC)()

所以NEOF=，NBOC.

2

【答案】对顶角相等，角平分线的定义，等量代换，平角的定义，已知，垂直的定义，两角和的定义，等

量代换，两角和的定义，等量代换.

【解析】

【分析】

根据对顶角的性质得到N4OC=N8。。，由角平分线的定义得到/80F=；ABOD,等量代换得到N80F=；Z

AOC,由垂直的定义得到NCOE=90。，等量代换得到/8OGN8OC-90。，于是得到结论.

【详解】

解：因为N40C=N80D（对顶角相等），/8OF=5N8OD（平分线的定义），

所以/8。「=；/八0（7（等量代换）.

因为ZAOC=180°-Z80c（平角的定义），所以/BOF=90。一；NBOC.

因为EOJ_C。（已知），所以/CO£=90。（垂直的定义）

因为/8。£+/复）£=/8。。（两角和的定义），

所以N8O£=ZBOC-NCOE.

所以N8O£=NBOC-90。（等量代换）

因为/£8=/80£+/8。氏两角和的定义）

所以N£OF=（/8OC-90。）+（90°-g/8OC）（等量代换）

所以N£OF=，N8OC.

2

故答案为对顶角相等，角平分线的定义，等量代换，平角的定义，已知，垂直的定义，两角和的定义，等

量代换，两角和的定义，等量代换.

【点睛】

本题考查了对顶角、邻补角、垂线以及角平分线的定义，弄清各个角之间的关系是解题的关键.

【典例10］如图，直线AB,CD相交于点0,OA平分NEOC.

（1）若NEOC=70°,求NBOD的度数;

（2）若NEOC：ZEOD=2：3,求NBOD的度数.

【答案】（1）35。；（2）36°.

【分析】

（1）根据角平分线定义得到NAOC=TZEOC=yx70°=35°,然后根据对顶角相等得至ljNBOD=NAOC=35°；

（2）先设NE0C=2x,ZE0D=3x,根据平角的定义得2x+3x=180°,解得x=36°,WJZEOC=2x=72°.然后与（1）

的计算方法一样.

【详解】

解：（1）「OA平分/EOC,

:./AOC=gZE0C=yx70o=35°,

.,.ZB0D=ZA0C=35o；

(2)设NE0C=2x,ZE0D=3x,根据题意得2x+3x=180°,解得x=36°,

/.ZEOC=2x=72°,

:.ZAOC=-jZEOC=-JX72°=36°,

.,.ZB0D=ZA0C=36o.

考点：角的计算.

【即学即练】如图:已知直线AB、CD相交于点O,ZCOE=90°

(1)若/AOC=36。，求NB0E的度数；

(2)若/BOD：ZB0C=l：5,求/A0E的度数.

【答案】（1）54°；（2）120°

【解析】

试题分析：（1）根据平角的定义求解即可；

（2）根据平角的定义可求N8OD,根据对顶角的定义可求NAX,根据角的和差关系可求NA0E的度数.

试题解析：解：（1）VZAOC=36°,ZCOE=90°,AZBO£=180°-ZAOC-ZCOE=54°：

（2）VZ8OD：ZfiOC=l：5,/.Z8OD=180°x—=30°,ZAOC=30°,AZ40E=300+90°=120°.

1+5

【即学即练】如图，已知直线A8,CD相交于点O,射线0£把40C分成两部分.

（1）写出图中N/OC的对顶角,/COE的补角是；

（2）已知NAOC=60。，且NCOE：ZAOE=1：2,求/。0£的度数.

【分析】

（1）分析图形，根据对顶角和补角的定义可以求出答案；

（2）先设NCOE=x求得NCOE和N40E的度数，再根据邻补角的定义求得N4。。的度数，然后将N40E与

ZAOD的度数相加即可.

【详解】

解：（工）由图形可知，N40C的对顶角是N8。。，NCOE的补角是/。。£；

（2）设NCO£=x,则NA0£=2x,

'：N40C=60°,

.*.x+2x=60,

解得x=20,

即NCOE=20°,NAOE=40°,

'：^AOC+ZAOD=180°f

:.ZZIOD=120°,

/.ZDOE=ZAOE+ZAOD=40°+120°=160°.

【点睛】

本题考查角的运算，解题的关键是正确找出图中的角的等量关系，本题属于基础题型.

rfi分层提分

题组A基础过关练

1.图中的Nl、N2可以是对顶隹的是（

A

C.

【答案】C

【分析】

根据对顶角的定义，具有公共顶点且角的两边互为反向延长线对各图形分析判断后进行解答.

【详解】

解：A、N1与N2不是对顶角，

B、N1与N2不是对顶角，

C、N1与N2是对顶角，

D、N1与N2不是对顶角，

故选C

【点睛】

本题主要考查了对顶角的定义，熟练掌握定义是解题关键.

2.下列说法正确的有（）.

①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③若两个角不相等，则这两个角一定不是对顶角；④若两个角不

是M顶角，则这两个角不相等.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【详解】

解：②对顶角要符合两直线相交构成的没有公共边的两个相对的角是对顶角，但相等的角不一定是对顶角;

④例如30。与30。的角不一定是对顶角，但这两个角一定相等，故②④错误；

正确的有①③两个.

故选B.

3.如图，在线段24、PR、PC.PD中，长度最小的是（）

A.线段Q4B.线段PBC.线段PCD.线段也

【答案】B

【分析】

由垂线段最短可解•.

【详解】

由直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，可知答案为B.

故选B.

【点睛】

本题考查的是直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，这属于基本的性质定理，属于简单题.

4.如图，经过直线/外一点八作/的垂线，能画出（）

A.4条B.3条C.2条D.1条

【答案】D

【分

平面内经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，据此可得.

【详解】

经过直线/外一点画/的垂线，能画出1条垂线，

故选D.

【点睛】

本题主要考查垂线，解题的关键是掌握在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

5.如图，直线AB,CD相交于点。，若Nl+N2=100。，则NBOC等于（）

D

A.130°B.140°C.150°D.160°

【答案】A

【详解】

试题分析：两直线相交，对顶角相等，即NAOC=NBOD,已知NAOC+NBOD=100°,可求NAOC；又NAOC

与/BOC互为邻补角，WZAOC+ZBOC=180°,将NAOC的度数代入，可求NBOC.

解：・・・NAOC与NBOD是对顶角，

/.ZAOC=ZBOD,

XVZAOC+ZBOD=100°,

.*.ZAOC=50°.

VZAOC与NBOC互为邻补角,

:.ZBOC=180°-NAOC=180°-50°=130°.

故选A.

【点评】本题考查对顶角的性质以及邻补角的定义，是一个需要熟记的内容.

6.如图，三条直线相交于点0.若C0_LAB,Zl=56°,则N2等于（）

【答案】B

【详解】

试题分析：根据垂线的定义求出N3,然后利用对顶角相等解答.

解：・.・C0JLAB,Zl=56°,

:.Z3=90°-Zl=900-56°=34°,

/.Z2=Z3=34°.

7.如图，点。在直线八8上，射线0C平分N008.若/CO8=35。，则NA。。等于（）.

C.110°D.145°

【答案】C

【详解】

TOC平分NDOB,Z€06=35%

:.ZB0D=2ZCOB=2x35°=70°/

:.ZAOD=180o-70°=110°.

故选C.

8.如图所示，已知直线AB、CD用较于0,0E平分NC0B,若/EOB=55。，则NB0D的度数是（）

【答案】D

【分析】

由角平分线的定义可求出NC0B的度数，根据邻补角的定义求出NB0D的度数即可.

【详解】

♦.PE平分NCOB,若NlzOB=55”，

.•.ZCOB=2ZEOB=HO0,

VZB0D与NCOB是邻补角，

:.ZBOD=1800-ZCOB=70°,

故选D.

【点睛】

本题考查了角平分线的定义及邻补角的概念，掌握角平分线的定义和邻补角之和为180。是解题的关犍.

题组B能力提升练

1.如图，N1与Z2是对顶角，Zl=180°-«,Z2=35°,则〃=.

【答案】145°

【分析】

根据对顶角相等列出关系式求解旧可.

【详解】

解：•・•/1与Z2是刈顶角，

Z1=Z2,

VZI=180°-«,Z2=35°,

A180°-fl=35°,

:.4=145。，

故答案为：145。.

【点睛】

本题考查对顶角，掌握对顶角相等是解答的关键.

2.两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是(2x—10)。和(110—x)。，Mx=.

【答案】40或80

【详解】

当这两个角是对顶角时，(2x-10)=(110-x),

解之得

x=40;

当这两个先是邻补角时，(2x-10)+(110-x)=180,

解之得

x=80;

:.x的值是40或80.

点睛：本题考查了两条直线相交所成的四个角之间的关系及分类讨论的数学思想，两条直线相交所成的四

个角或者是对顶角的关系，或者是邻补角的关系，明确这两种关系是解答本题的关键.

3.如图，直线AD与BE相交于点O,ZCOD=90°,ZCOE=70°,则NAOB=.

【详解】

【分析】由题意可知NDOE=9(T-/COE,NAOB与NDOE是对顶角相等，由此即可得解.

【详解】•・•已知NCOD=90°,ZCOE=70\

.,.ZDOE=900-70o=20o,

又•・•NAOB与NDOE是对顶角,

.\ZAOB=ZDOE=20°,

故答案为20。.

【点睛】本题考查了余角、对顶角的定义和性质，熟练掌握两角互余与对顶角的定义和性质是解

题的关键.

4.如图，直线A及6相交于点0,ZCOE=90°,且/1=37。，则N2=.

【分析】

根据/2=180。-NCOE-/I,可得出答案.

【详解】

解：由题意得N2=180°-NCOE-Nl=180°-90°-37°=53°.

故答案为：53°.

【点睛】

本题考查平角、直角的定义和几何图形中角的计算，能识别NA0B是平角且它等于Nl、N2和NCOE三个

角之和是解题关犍.

5.如图，计划在河边建一水厂，可过C点作CDJ_AB于D点.在D点建水厂，可使水厂到村庄C的路程最

短，这样设计的依据是.

【答案】垂线段最短

【分析】

根据垂线段最短解释即可.

【详解】

由作法可知，CD是点C到AB的或线段，所以这样设计的依据是：垂线段最短.

故答案为垂线段最短.

【点睛】

本题考查了垂线段最短的实际应用，熟记垂线段最短是解答此题的关键.

6.如图，直线48,A8相交于点。，04平分NEOC.若NEOA：NEOO=1：3,则/8。。='

【答案】36

【分析】

根据对顶角和角平分线定义、已知得出NEOA：ZEOD：ZB0D=l：3：1,根据NAOE+NEOD+NBOD=180°

求出即可.

【详解】

解：・.・0A平分NE0C,

AZA0C=ZA0E,

.,.ZD0B=ZA0C=ZA0E,

VZEOA：ZEOD=1：3,

，NEOA：ZEOD：ZBOD=1：3：1,

,:ZAOE+ZEOD+ZBOD=180°,

:.ZBOD=­!—xl80°=36°,

1+3+1

故答案为36.

【点睛】

本题考查了对顶角、角平分线定义等知识点，能根据已知求NEOA：ZEOD：ZBOD=1：3：1是解此题的关

键.

7.如图，已知直线AA和CO相交于。点，1是直角，0/平分4OE,ZCOF=24°,则/BOD的大

小为__________.

【答案】42°

【解析】

【分析】

根据直角的定义可得NCOE=90。，然后求出NEOF,再根据角平分线的定义求出NAOF,然后根据NAOC=N

AOF-NCOF求出/AOC,再根据对顶角相等解答.

【详解】

VZCOE是直角，

.\ZCOE=90°,

:.ZEOF=ZCOE-ZCOF=90o-24°=66°,

〈OF平分NAOE,

.*.ZAOF=ZFOE=66°,

:.ZAOC=ZAOF-ZC0F=66o-24°=42°,

.,.ZBOD=ZAOC=42°.

故答案为42。.

【点睛】

本题考查了对顶角相等的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记概念与性质并准确识图，理清图中各角

度之间的关系是解题的关键.

题组C培优拔尖练

1.如图，两直线AB、CD相交于点0,0E平分NBOD,如果/AOC：ZA0D=7：11,

(1)求NCOE；(2)若OF_LOE,求NCOF.

【答案】(1)145°：(2)125°.

【详解】

试题分析；(1)首先依据N/AOC：Z/4OD=7；11,乙4OC+乙4。。=180。可求得N4OC、乙4。。的度数，然后可

求得N8。。的度数，依据角平分线的定义可求得ND0E的度数，最后可求得/COE的度数；

(2)先求得NF。。的度数，然后依据邻补角的定义求解即可.

试题解析：解：(1)VZAOC：ZA0D=7：11,NAOC+NAOO=180°,；.N4OC=70°,ZAOD=110°,：.ZBOD=70°.V

OE^^^BOD,I.NOOE=35°,工ZC0f=180°-35°=145°.

(2)VZDOE=35°,OFYOE,，/FOO=55°,AZFOC=180°-55°=125°.

点造：本题主要考查的是角平分线的定义、对顶角、邻补角的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键.

2.如图，直线48,CD相交于点。，。。平分N80E,OFZAOE

(1)判断OF与。。的位置关系，并进行证明.

(2)若NAOC：ZAOD=1：5,求NEOF的度数.

【答案】(1)OF_L。。，证明详见解析♦；(2)ZEOF=60°.

【分析】

(1)由0。平分/8。£、OF平分乙4。£,可得出NF0E=；/40E、/EOD=34E0B,根据邻补角互补可得

l\\ZAOE+ZEOB=180°,进而可得出NFOD=/FOE+N£OO=90°,由此即可证出OF_L。。；

(2)由NAOC：ZAOD=1：5结合邻补角互补、对顶角相等，可求出N80D的度数，根据0。平分NBOE、

OF平分N40E,可得出N80E的度数以及NEOF=/NAO£,再根据邻补角互补结合NEOF=gNAOE,可求

出NEOF的度数.

【详解】

(1)OF±OD.

证明：：。。平分/80E,OF平分/八。£,

AZFOE=ZAOE,ZEOD=^ZEOB.

•:N40E+NE08=180°,

AZFOD=ZFOE+ZEOD=(ZAOE+ZEOB)=90°.

J.OFLOD.

(2)VZAOC：ZAOD=1：5,ZAOC=ZBOD,

：.ZBOD：ZAOD=1：5.

*/NAOD+N8。。=180",

AZBOD=30°,ZAOD=15Q°.

•••。。平分/8。£,OF平分NAOE,

/.ZBOE=2ZBOD=60°,ZEOF=-^ZAOE,

,/ZAOE+ZBOE=180°,

:.NAOE=120。，

：.ZEOF=60°.

【点睛】

此题考查对顶角，邻补角，角平分线的定义，解题的关键是：(1)根据邻补角互补结合角平分线的定义找

出NFOD=90。；(2)通过比例关系结合邻补角互补求出NBOD的度数.

3.如图，Ab与CD殳于点O,OE±AB,OF±CD,若乙比切=2皿必，求NEO厂的度数.

解：,'OE1AI3,

:.ZEOB=,

ZEOD+=,

又ZEOD=2ABOD,

:.ZBOD=,ZEOD=,

,OFA.CD,

:.ZFOD=,

/.ZEOF=_.

E

【答案】90°,/BOD,90°,30°,60°,90°,90°,60°,30。

【分析】

据垂直定义，结合=及图形依次作答.

【详解】

OE±AB,

ZEOB=90°,

.,.Z£W+Z£W=90°,

又^EOD=2"OD、

:.ZBOD=3(r,NEO£)=60。，

,OFLCD,

.•."O£>=90°,

:.ZEOF=^-^=^r.

故答案为：90%NBOD,90°,30°,60°,90°,90°,60°,30°.

【点睛】

考查垂直定义、角的和差等知识点，熟悉相关定义并能结合图形进行计算是关键.

4.如图，直线AB、CD相交于点。，OE平分NBOD,OF平分NCOE.

(1)若NAOC=76°,求NBOF的度数；

(2)若NBOF=36°,求NA0C的度数；

⑶若INAOC-NBOF|=a。，请宜接写出NA0C和/BOF的度数.(用含的代数式表示)

【答案】(1)ZBOF=33°；(2)ZAOC=72°；(3)ZA0C=2x=(券)°・ya°,ZBOF=(券)#+|-ao.

【详解】

试题分析：

(1)由NAOC=76。易得NBOD=76,结合0E平分NB0D可得/DOE=NBOE=38。，由此可得N

COE=180°-38°=142°,结合OF平分NCOE可得NEOF=71。，最后由NBOF=NEOF-NBOE即可求得NBOF的度

数；

(2)设NBOE=x,由0E平分NBOD,NAOC=NBOD可得NDOE=NBOE=x,ZAOC=2x,结合NBOF=36。,OF

平均NEOF可得NCOF=NEOF=x+36。，最后由NAOC+NCOF+/BCF=180。即可列出关于x的方程，解方程求得

x的值即可求得NAOC的度数；

3

(3)设NBOE=x,则由已知条件易得NAOC=2x,ZBOF=90°--x,这样结合|NAOC-NBOF|=Q唧可列出关

于x的方程，解方程求得x的值即可求得NAOC和/BOF的值.

试题解析:

(1)VZBOD=ZAOC=76",

又；0E平分NBOD,

:.ZDOE=-jZBOD=-jx76°=38°.

:.ZCOE=1800-ZDOE=180°