2025-2026学年江苏宿迁市泗阳县海门实验中学高二下册教学质量监测数学试题 含答案

/泗阳县海门实验中学高二年级教学质量监测数学试题一、选择题：1.3个班分别从5个风景点中选择一处游览，不同的选法有（）A.243 B.125 C.128 D.264【答案】B【解析】【分析】由分步计数原理直接得结论.【详解】解：因为第1个班有5种选法，第2个班有5种选法，第3个班有5种选法，所以由分步计数原理可得，不同的选法有种，故选：B【点睛】此题主要考查分步计数原理的运用，属于基础题.2.不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据排列数的性质和计算公式化简求其解即可.【详解】因为，所以，所以，所以，又，，所以，所以不等式的解集为，故选：D.3.已知，，，若，，共面，则为（）A. B.3 C. D.9【答案】C【解析】【分析】根据空间向量共面定理设（），依题列出方程组，求解即得.【详解】因，，共面，可设（），即，，解得．故选：C.4.在普通高中新课程改革中，某地实施“”选课方案.该方案中“2”指的是从政治､地理､化学､生物4门中任选2门作为选考科目，假设每门科目被选中的可能性相等，那么政治和地理至少有一门被选中的方法有多少种（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】政治和地理至少有一门被选中包含的基本事件个数，从而得出结论．【详解】解：在普通高中新课程改革中，某地实施““选课方案．该方案中“2“指的是从政治、地理、化学、生物4门中任选2门作为选考科目，假设每门科目被选中的可能性相等，政治和地理至少有一门被选中包含的基本事件个数，故答案为：5．5.如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用空间向量的线性运算求解.【详解】，6.正方体的棱长为2，E，F，G分别为，AB，的中点，则直线ED与FG所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可求解.【详解】如图所示建立适当空间直角坐标系，故选：B7.关于空间向量，以下说法不正确的是（）A.若两个不同平面α，β的法向量分别是，且，则B.若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则直线l//αC.若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面D.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线【答案】B【解析】【分析】由面面垂直的向量表示可判断A；由线面平行的向量表示可判断B；根据向量共线定理，可判断C；由空间向量基底的表示可判断D.【详解】对于A，，所以，A正确；对于B，，所以，B错误对于C，对空间中任意一点O，有，满足，则P，A，B，C四点共面，可知C正确；对于D，两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，所以D正确.故选：B.8.现做如下定义：对一个三位数来说，如果其中间一位数比首尾的数字小，则称它为“凹数”，如果其中间一位数比首尾的数字大，则称其为“凸数”．现从1至7共7个数中，选取3个不同的数排成三位数，记其中“凹数”有个，“凸数”有个，则（）A.135 B.140 C.150 D.160【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，按“凹数”、“凸数”的中间数分类分别求出、即可计算作答.【详解】依题意，符合条件的“凹数”的中间数不可能是6和7，中间数为5的“凹数”个数为，中间数为4的“凹数”个数为，中间数为3的“凹数”个数为，中间数为2的“凹数”个数为，中间数为1的“凹数”个数为，于是；符合条件的“凸数”的中间数不可能是1和2，中间数为3的“凸数”个数为，中间数为4的“凸数”个数为，中间数为5的“凸数”个数为，中间数为6的“凸数”个数为，中间数为7的“凸数”个数为，于是，所以.故选：B二、多选题：9.下列等式正确的是（

）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】利用排列数和组合数公式求解即可.【详解】根据组合数公式得，则A错误；根据排列数公式得，则B正确；根据排列数公式得，则C正确；根据组合数公式得，，即，则D正确．故选:BCD.10.如图，在棱长为1的正方体中，P为线段上一动点（包括端点），则以下结论正确的有（）A.过点P平行于平面的平面被正方体截得的多边形的面积为B.点P到平面的距离为定值C.直线与所成角的范围是D.如图线段和的长度之和为t，则的最小值为【答案】BCD【解析】【分析】由三角形面积与等体积法可判断AB的正误，建立空间直角坐标系，用向量法结合导数，可判断C的正误，把三角形绕旋转到与矩形共面时，可判断D的正误【详解】对于A：此平面为平面，故三角形的面积为，故A错误；对于B：，，，点P到平面的距离为，故B正确；对于C：如图，以为原点，分别为坐标轴建立空间直角坐标系，则由题意可知：，，设直线与所成角的为，则令，，则，由得，由得，所以，又，故，，，故C正确；对于D：把三角形绕旋转到与矩形共面时，如图：则，所以，故D正确；故选：BCD11.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是（）A.若每人都安排一项工作，则不同的方法数为B.若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为C.如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为D.每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是【答案】BC【解析】【分析】A选项通过分步乘法计数原理直接计算总方法数；B选项通过分组分配法计算每项工作至少1人的方法数；C选项针对人员分组的两种形式，结合平均分组的去重规则进行计算；D选项按司机岗位的人数分类，分别计算两类情形的方法数并求和.【详解】对于选项A，每名同学独立选择4项工作中的任意一项，总方法数为，A选项正确.对于选项B，每项工作至少1人参与，需将5人分为4组（1组2人，其余3组各1人），再将4组分配至4项工作，所以总方法数为，B选项错误.对于选项C，司机岗位不安排，需将5人分配至3项工作且每项至少1人，人员分组为与两种形式.分组的有效分组数为，分组的有效分组数为，总方法数为，C选项错误.对于选项D，甲、乙不能从事司机工作，分两类讨论：司机岗位安排1人，从丙、丁、戊中选1人，剩余4人分配至其余3项工作且每项至少1人，方法数为；司机岗位安排2人，从丙、丁、戊中选2人，剩余3人全排列至其余3项工作，方法数为.总方案数为，D选项正确.三、填空题：12.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是______【答案】【解析】【分析】根据投影向量的定义，结合已知求向量在向量上的投影向量的坐标.【详解】由投影向量定义知：向量在向量上的投影向量为：.故答案为：13.平面的法向量是，点在平面内，则点的到平面的距离___________.【答案】【解析】【分析】利用空间向量的方法求距离即可.【详解】解：设直线PA与平面所成的角为，，则点到平面的距离为.故答案为：.14.已知，则的值为______（用数字作答）.【答案】462【解析】【分析】已知等式利用组合数公式化简，解出的值，代入所求算式，利用组合数的性质化简求值.【详解】由可得，即，化简得，整理得，解得或，因为，所以，所以.故答案为：462.四、解答题：15.（1）求值：；（2）解方程：.【答案】（1）（2）7【解析】【分析】（1）直接利用排列数公式计算即可（2）利用排列数公式列出关于的方程求解即可【详解】（1）解：原式（2）解：原方程可化为即：解得：或（舍去）所以16.在棱长为的正四面体中，．（1）设，，用，，表示（2）若，且，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量的加、减、数乘运算即可求得；（2）先表示出，根据，即可解得．【小问1详解】因为，所以是棱的中点，所以，则，故．【小问2详解】因为，所以，在棱长为的正四面体中，，所以，解得：．17.（1）如图，要给地图上四个区域分别涂上4种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，不同的涂色方案有多少种？（2）将3种作物全部种植在如图所示的5块试验田中，每块种植一种作物，且相邻的试验田不能种同一种作物，求有多少种不同的种植方法．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）按区域顺序，结合相邻约束确定各区域颜色选择数，用分步乘法计数原理计算总方案数；（2）采用补集思想，先计算满足相邻不同的所有种植方法，再剔除仅使用2种作物的不符合情况，得到最终结果.【详解】（1）由区域相邻关系，与、相邻，与、、相邻，与、、相邻，与、相邻.区域有种颜色可选，区域与相邻，有种颜色可选，区域与、均相邻，有种颜色可选，区域仅需与、颜色不同，有种颜色可选.所以方案数为.（2）先不考虑“3种作物全部种植”的限制，仅满足相邻试验田作物不同的条件：第1块田有种作物可选，后续每块田只需与左侧相邻田作物不同，各有种选择，总方法数为.从种作物中选种，有种选法，种作物交替种植仅种方式，故仅种种作物的方法数为.所以方案数为.18.如图，已知四棱锥的底面ABCD是直角梯形，，，，平面ABCD，．求：（1）四棱锥的体积；（2）平面SCD与平面SBA所成的二面角的余弦值；（3）点S到直线CD的距离．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）首先算出直角梯形的面积，然后可算出答案；（2）以为原点建立空间直角坐标系，然后算出两个平面的法向量，然后可得答案；（3）利用向量可得，即可求出答案.【小问1详解】直角梯形的面积为所以四棱锥的体积为【小问2详解】以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则，则，设平面的法向量为，则，即所以可取平面的法向量可取所以所以平面SCD与平面SBA所成的二面角的余弦值为【小问3详解】因为，所以，所以所以点S到直线CD的距离为19.如图，在棱长为4的正方体中，O为正方形的中心，点P在棱上，且．（1）求直线AP与平面所成角的余弦值；（2）设点O在平面上的射影为H，求证：；（3）求点到平面的距离；（4）在线段上是否存在点Q，使得平面？若存在，确定点Q的位置；若不存在，试说明理由．【答案】（1）（2）证明见解析（3）（4）存在，在上靠近的四等分点上，即【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值，再根据同角三角函的基本关系计算可得；（2）连接，利用点在平面上的射影是，通过证明面，然后证明；（3）利用空间向量法求出点到平面的距离；（4）设，即可表示点坐标，依题意