2026年天津高考数学最后冲刺复习2026年高考数学临考冲刺卷03（全解全析）

2026年高考数学三轮临考冲刺卷03（天津专用）

（考试时间：120分钟，分值：150分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共45分）

一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

ð

1．（热点）已知集合U{xZ|4x4}，A1,3，B0,2，则UAB（）

A．0,2B．0，2C．0,2D．2

【答案】A

【解析】已知U{xZ|4x4}，所以U{3,2,1,0,1,2,3}，

ð

已知A{1,3}，可得UA{3,2,0,1,2}，

ðð

已知B0,2，UA{3,2,0,1,2}，所以(UA)B{0,2}，故选A.

2．（新考法）设a，bR，则“ab”是“lnalnb”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】若“ab”则ab0，

所以当ab0时，“lnalnb”不成立，故充分性不成立；

若“lnalnb”，因为ylnx是增函数，

所以ab0，所以“ab”，故必要性成立，

“ab”是“lnalnb”的必要不充分条件，故选B

3．（热点）已知函数yf(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能是（）

A．f(x)xsinxB．f(x)|x|sinx

C．f(x)xcosxD．f(x)|x|cosx

【答案】B

【解析】根据fπ0，排除CD选项；

若f(x)xsinx，则f(x)xsinxxsinxfx，

则fx为偶函数，排除A，故选B

4．已知a，b是空间两条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列命题正确的为（）

A．若∥，a，b，则a∥bB．若aP，a，则

C．若a，b，a∥b，则∥D．若，a，则a

【答案】B

【解析】对于A，若∥，a，b，则a∥b或a,b异面，故A错误；

对于B，若aP，则存在直线c，使得aPc，

由于a，则c，可得，故B正确；

对于C，若a，b，a∥b，则∥或,相交，故C错误；

对于D，若，a，设l，

只有当al时，才能得到a，故D错误，故选B.

5．（改编）下列说法不正确的是（）

A．对具有线性相关关系的变量x、y，且回归方程为y0.3xm，若样本点的中心为m,2.8，则实数

m的值是4

B．若随机变量X服从正态分布N3,2，且PX40.7，则P3X40.2

C．若线性相关系数r越接近1，则两个变量的线性相关程度越高

D．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14

【答案】D

【解析】对A：样本点的中心为x,y，所以xm，y2.8，

因为x,y满足线性回归方程，所以2.80.3mm，所以m4，A正确.

对B：若随机变量X服从正态分布X3,2，且PX40.7，

则PX41PX40.3，则P3X40.5PX40.2，B正确；

对C：若线性相关系数r越接近1，则两个变量的线性相关性越强，C正确；

1416

对于D，因为1060%6，所以第60百分位数为15，D错误；

2

故选：D.

6．（新情境）如图为眼睛分辨视标的数学模型，视标整体形状为正方形，长和宽相等为H，视标笔画宽度

和空白缺口宽度相等均为h，将视力值按0.1,0.2,0.3，，1.5划分为15个等级，对应的视标笔画宽度成等比数

，*

列hnn15nN，则公比为（）

1h15h15

A．15B．C．14D．15

15h1h1

【答案】C

，*

【解析】因为数列hnn15nN成等比数列，设公比为q，

1414h15h15

所以hhq，即q，所以公比为14．

151h

1h1

x3

7．已知函数f(x)2x1,g(x)log2xx1,h(x)xx1的零点分别为a,b,c，则a,b,c的大小顺序为

（）

A．bcaB．bacC．cbaD．cab

【答案】A

x3

【解析】法1：由题意可知，a,b,c分别为y2,ylog2x,yx与y1x的函数图象的交点的横坐标，

图象如图：

由图可知，bca；

法2：易知，f(x),g(x),h(x)均为增函数，

因为f00,g10，所以a0,b1，

因为h(0)10,h(1)10，所以0c1，

所以bca，故选A

ππ3π7π3π

8．（新考法）已知函数fxsinx在,内单调递减，x是函数fx的一条

22888

π7π

对称轴，且函数yfx为奇函数，则f（）

824

3311

A．B．C．D．

2222

【答案】B

3π7π

【解析】因为函数fx在,内单调递减，

88

7π3π17π3π12π

所以T，得2，

882882

3π

因为x是函数fx的一条对称轴，

8

3ππ

所以2kπ,kZ，①

82

ππ

因为函数yfxsinx是奇函数，

88

π

所以mπ,mZ，②，

8

由①②可得，42km2，

而2，所以2

2ππ

当2时，mπ,mZ，得mπ，mZ，

84

πππ

因为，所以，

224

π

即fxsin2x，

4

3π7πππ3π

当x,时，2x,，显然此时函数单调递减，符合题意，

88422

7π7πππ3

所以fsin2sin

2424432

2ππ

当2时，mπ,mZ，得mπ+，mZ，

84

πππ

因为，所以，

224

π

即fxsin2x，

4

3π7ππ

当x,时，2xπ,2π，显然此时函数不是单调递减函数，不符合题意，

884

7π3

所以f.

242

故选：B

2

9．（预测）椭圆C1与双曲线C2有公共的焦点F1c,0，F2c,0，c0，抛物线C3的方程为y4cx，P为C1，

4

C2，C3的一个公共点，若tanPFF，则C，C2，C3离心率的乘积为（）

2131

A．1B．2C．3D．4

【答案】D

【解析】画出简图：

x2y2x2y2

设椭圆方程为：1，双曲线方程为：1，

a2b2m2n2

因为P为C1，C2，C3的一个公共点，

则PF1PF22a,PF1PF22m，

=+=-

联立可得：PF1am,PF2am，

2

又抛物线C3的方程为y4cx，所以焦点坐标为：F2c,0，准线方程为：xc，

过点P分别向xc，及x轴作垂线，垂足分别为A,B,

则PAPF2BF1am，

4

又tanPFF，结合cos2PFFsin2PFF1，

2132121

34

易得cosPFF,sinPFF，

215215

43

所以PBamAF,FBam,

5125

222

结合勾股定理：PF1AF1PA，及F1F2F1BBF2可得：

8

2cam

5

，

21622

amamam

25

415

am

415

联立方程可得：，

8

cm

415

cc88

所以4，

am415415

由抛物线离心率为1，所以C1，C2，C3离心率的乘积为4，

故选：D

第二部分（非选择题共105分）

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

2m

10．已知复数z3(2i),z15，则实数m的值是_______．

1i

【答案】6或15

2m2m1i

【解析】由z3(2i)63im1i63im6m3i，

1i1i1i

22

所以zm6m315，解得m6或15.

4

11．（热点）在2xx1的展开式中，x2的系数为________．（用数字作答）

【答案】8

444

【解析】2xx12x1xx1,

4r4r

因为(x1)的展开式通项为C4x，

令4r2或4r1，解得：r2或r3，

223

所以x的系数为：2C4C41248.

12．直线x2y30被圆C截得的弦AB的中点为P(1,2)，且AB42，若点P关于原点的对称点Q恰在

圆C上，则圆C的标准方程为____；

2

【答案】x2y213

【解析】过P点且垂直于直线x2y30的直线方程是：2xy40，圆心就在这条直线上.

P1,2关于原点的对称点是Q1,2在所求圆上.

2ab40

2222

设所求圆的方程为：xaybr2，有题意得：1a2br2，

2

222

a1b222r

a2

2

解得：b0，所求圆的方程为：x2y213.

2

r13

13．（新情境）在学校大课间体育活动中，甲､乙两位同学进行定点投篮比赛，每局比赛甲､乙每人各投篮一

次，若一方命中且另一方末命中，则命中的一方本局比赛获胜，否则为平局．已知甲､乙每次投篮命中的概

43

率分别为和，且每局比赛甲､乙命中与否互不影响，各局比赛也互不影响．则进行1局投篮比赛，甲､

54

乙平局的概率为__________；设共进行了10局投篮比赛，其中甲获胜的局数为X，求X的数学期望

EX__________．

13

【答案】/0.652

20

43

【解析】由题意知甲､乙每次投篮命中的概率分别为和，

54

434313

则甲､乙平局的情况为两人都投中或都不中，故平局概率为(1)(1)；

545420

431

甲每局获胜的概率为(1)，

545

1

故共进行了10局投篮比赛，其中甲获胜的局数为X，则XB(10,)，

5

1

故EX102，

5

14．在ABC中，AC2,BC1,C60，则CACB______；若点P为ABC所在平面内的动点，且

7

满足PC，则PAPB的取值范围是______．

3

537

【答案】7,

99

2221

【解析】CACBCACB2CACBcosC412217，

2

故CACB7，

2

PAPBPCCAPCCBPCPCCACBCACB

2

7116，

21PCCACBPCCACB

329

取AB中点D，则PCCACB2PCCD2PCCDcosPC,CD，

127

CDCACB，cosPC,CD1,1，

22

777

故PCCACB2PCCDcosPC,CDcosPC,CD,，

333

537

故PAPB,.

99

15．若不等式(xb)(ax22)0对任意的x(0,)恒成立，则4ab2的最大值为__________.

【答案】42

【解析】①当b0时，由(xb)(ax22)0得到ax220在x(0,)上恒成立，显然a不存在；

②当b0时，由(xb)(ax22)0，可设f(x)ax22,g(x)xb，

由g(x)的大致图象，可得f(x)的大致图象，如图所示，

a0

2222

由题意可知2则b，所以4ab24a24a42，

baaa

a

22

当且仅当4a，即a时，取等号，所以4ab2的最大值为42.

a2

综上，4ab2的最大值为42.

三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b3,c4,C2B,且

ab.

(1)求cosB；

(2)求a的值;

π

(3)求sin2B的值.

4

【解】（1）因为C2B,所以sinCsin2B2sinBcosB,………………2分

c42

由正弦定理可得：c2bcosB,所以cosB.………………4分

2b233

2a2c2b2a2169a27

（2）由余弦定理可得：cosB，………6分

32ac2a48a

7

所以3a216a210，解得：a或a3，

3

7

因为ab,所以a.………………8分

3

2π5

（3）因为cosB，所以B0,，所以sinB1cos2B，

323

5245

sin2B2sinBcosB2，………………10分

339

2

221

cos2B2cosB21，………………11分

39

πππ452124102

所以sin2Bsin2Bcoscos2Bsin…13分

444929218

17．（本小题满分15分）如图，已知多面体FABCDE的底面ABCD是边长为2的正方形，DE底面ABCD，

DE//AF，且FA2DE2．

(1)证明：CD平面ADEF；

(2)求四棱锥CADEF的体积；

(3)求平面FCE与平面FAB所成角的余弦值．

【解】（1）DE底面ABCD，CD底面ABCD，

CDDE．……………2分

又CDAD,DEADD,DE,AD平面ADEF，

\CD^平面ADEF；………………4分

（2）由题意易知四边形ADEF为直角梯形，

(12)2

S3．………………6分

梯形ADEF2

11

VSCD322；………………8分

CADEF3梯形ADEF3

（3）如图，以A为原点，

AB,AD,AF所在的直线为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系，则

A(0,0,0),C(2,2,0),F(0,0,2),E(0,2,1),CE(2,0,1),FC(2,2,2)……………10分

易知AD平面FAB，

平面FAB的一个法向量m(0,1,0)，………………11分

设平面FCE的法向量n(x,y,z),nCE,nFC，

nCE2xz0z2x

,，

nFC2x2y2z0yx

令x1，得y,z2，所以n(1,1,2)，………………13分

nm6

cosn,m，由图可得平面FCE与平面FAB所成角为锐角，

nm6

6

故平面FCE与平面FAB所成角的余弦值为．………………15分

6

x2y2

18．（新考法）（本小题满分15分）已知椭圆C:1ab0过点0,1，其右焦点为F1,0.

a2b2

(1)求椭圆C的方程和离心率；

(2)过点M2,0的直线与椭圆C交于P，Q两点，Q关于x轴对称的点为N，判断P,F,N三点是否共线，

并加以证明.

【解】（1）由题意得，b1，c1，所以a2b2c22，……2分

x2

所以椭圆C的方程为y21，……………3分

2

c2

离心率e.…………5分

a2

（2）P,F,N三点共线.

证明如下：

由题意可知直线PQ的斜率存在，

设直线PQ的方程为ykx2，

ykx2

2222

由x2得12kx8kx8k20，

y21

2

8k28k22

设Px,y，Qx,y，则Nx,y，x1x2，x1x2，……8分

11222212k212k2

yy

∵k=1，k=2，

PF-NF-

x111x2

y1y2y11x2y2x11

∴kPFkNF…………10分

x111x2x111x2

kx21xkx2x13kxx2kxx4k

12211212

x111x2x111x2

2

8k22k8k24k8k3

3k

222，…………14分

12k12k12k0

x111x2

=

∴kPFkNF，∴P,F,N三点共线.………………15分

19．（创新）（本小题满分15分）已知数列an是各项均为正数的等比数列，且a12，a2a464.对于任意

*

kN，在ak和ak1之间插入k个数xk1，xk2，…，xkk，使得ak，xk1，xk2，…，xkk，ak1这k2个数构成

等差数列，记新得到的数列为bn.

(1)求数列an的通项公式；

*

(2)记cnbn1bn，证明对于任意的nN，cncn1；

n(n1)

2

(3)求（其中nN*）.

bk

k1

【解】（1）设数列an的公比为q，因为数列an是各项均为正数，

故an0nN，q0，

2

因为a2a464，a3a2a4，………………1分

2a3

所以a364，解得a38，而a12，则公比q2，……………3分

a1

n1n

所以数列an的通项公式为ana1q2.………………4分

k1kk

ak1ak222

（2）由（1）得等差数列ak,xk1,xk2,,xkk,ak1的公差d，

kk1k1k1

当bn,bn1,bn2[ak,ak1]时，bn1bnbn2bn1dk，则cncn1；

当bn[ak,ak1),bn2(ak1,ak2]时，

kk1

22

则bn1ak1，cd,cd，………………6分

nkk1n1k1k2

k1kk

22k21k2

cc2()0，因此cc，

n1nk2k1k2k1(k2)(k1)nn1

所以cncn1.………………8分

k1k

k1k(k1)(22)k2

（3）依题意，在(2,2),k2内的数列{bn}的所有项和为3(k1)2，

2

nn(n1)n(n1)

数列{bk}中，2项及前面的项数和为n[123(n1)]n，

22

n(n1)

2

当n2时，23n012n2…………10分

bk22223[122232(n1)2]

k1

012n2

令Sn122232(n1)2，

123n2n1

则2Sn122232(n2)2(n1)2，

12n2n1n1n1n1

两式相减得Sn1222(n1)221(n1)2(2n)21，

n123nn1

解得Sn(n2)21，而222222，……………13分

n(n1)

2

因此n1n1n1n1，

bk223Sn223[(n2)21](3n2)21

k1

n(n1)

2

当n1时，满足上式，

bkb1a12

k1

n(n1)

2

所以n1.……………15分

bk(3n2)21

k1

20．（本小题满分16分）已知函数fxxalnx（a0）.

(1)函数fx在定义域内无极值，求a的取值范围；

a

(2)函数gxfxx2x（a0），gx有三个不同的极值点x，x，x，xxx；

2123123

（ⅰ）求a的取值范围；

1

（ⅱ）证明xxx2a.

123a

xlnxxa

【解】（1）fx（x0），

x

令Fxxlnxxa（x0），

因为函数fx在定义域内无极值，

所以函数fx无变号零点，即函数Fx在0,上无变号零点.………1分

由Fxlnx20，得x1，

e2

11

当x0,时，Fx0，当x,时，Fx0，

e2e2

11

所以Fx在0,上单调递减，在,上单调递增，……3分

e2e2

11

所以Fx的极小值为Fa，

e2e2