2026年河北石家庄高三二模高考数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2026届普通高中学校毕业年级教学质量检测（二）数学（本试卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知为虚数单位，若复数，则在复平面内对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合，则（

）A． B． C． D．3．已知是等差数列的前项和，若，则（

）A． B． C． D．4．某研究小组收集了60组关于“每天课外阅读时长（单位：分钟）”与“语文阅读理解得分（单位：分）”的数据，经计算，且由这60组数据拟合得到的经验回归方程为，则（

）A． B．12 C．1.2 D．12.845．若函数为偶函数，则（

）A． B． C． D．6．已知正四棱台上、下底面的边长分别是2，8，体积为，则其表面积为（

）A．148 B． C．168 D．807．若函数在区间上单调递减，则实数为（

）A． B． C． D．8．已知椭圆的左、右焦点分别是和，过的直线交椭圆于两点，的内切圆分别与相切于两点，若，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知圆的半径为2，则（

）A．B．原点在圆的内部C．圆与圆有且仅有1条公切线D．直线与圆交于两点，的面积为10．已知在中，，点为线段的中点，则下列结论正确的有（

）A．B．C．向量在向量上的投影向量为D．若，且三点共线，则11．已知数列满足，且为数列的前项和，为数列的前项积，则下列说法正确的是（

）A．当时，数列是递减数列B．C．存在，使得成等差数列D．当时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知，则_____．13．智能舞蹈机器人在舞台上随音乐节奏移动，每秒随机向正东、正西、正南、正北四个方向之一移动1米，若机器人从舞台中心正北方向2米的位置起步，则机器人移动4秒恰好位于舞台中心的路径条数为_____．（用数字作答）14．在母线与底面所成角为的圆锥内放入三个半径为1的球，这三个球两两相切，且均与圆锥的底面和侧面都相切，则圆锥的底面半径为_____；若再放入一个半径为的小球，使得它与三个小球均相切，且与圆锥的侧面相切，则_____．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知双曲线的渐近线方程为，点在双曲线上．(1)求双曲线的焦距；(2)过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与交于两点，求．16．已知数列的前项和为，且满足．(1)求数列的通项公式；(2)在与之间插入个数，使这个数成等差数列，公差记为，设，求数列的前项和．17．如图，在四棱锥中，底面为矩形，，侧面为正三角形，平面平面，点为棱上一点，分别为中点．(1)求证：平面平面；(2)若点为中点，点关于平面的对称点为点，求平面与平面夹角的余弦值．18．已知函数．(1)曲线在点处的切线方程为，求实数的值；(2)当时，对于任意，恒成立，求实数的取值范围；(3)证明：．19．甲、乙两队进行竞技比赛，比赛规则如下：每轮比赛有进攻方和防守方，进攻方采用进攻策略，防守方采用防守策略，每轮比赛结果无平局；若进攻方获胜，则进攻方加1分，防守方减1分，且下一轮进攻方保持不变；若防守方获胜，则双方均加0分，且下一轮攻防互换；比赛开始前，两队总分之和为，比赛开始后，若某队分数变为0分，则比赛立即结束，该队判负；已知进攻方获胜的概率为，防守方获胜的概率也为，且每轮比赛相互之间没有影响；记为甲队的分数为分且甲为进攻方时，甲队最终获胜的概率．若在某次比赛中规定第一轮比赛甲队为进攻方，甲队初始得分为．(1)当时，（i）求比赛进行了4轮结束的概率；（ii）求的值；(2)求的表达式（用和表示）．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．A【分析】本题主要考查复数的乘法运算及复数的几何意义，先利用复数的乘法法则化简复数，再根据复平面内点的坐标特征判断其所在象限.【详解】解：由，所以在复平面内对应的点的坐标为，因此，点在第一象限.2．D【详解】，故.3．C【分析】由等差数列的性质可知，从而计算出，再根据等差数列的前项和公式计算即可.【详解】由题意得数列是等差数列，所以，可得，因此.4．C【详解】解：．5．D【分析】根据函数的奇偶性可求解，即可代入求解.【详解】的定义域为，由于为偶函数，故，即，整理可得，故，则，所以.6．A【分析】根据已知条件和正四棱台的特征计算侧面等腰梯形的面积，然后利用表面积的定义计算可得结果．【详解】因为正四棱台的侧面都是等腰梯形，又正四棱台的上、下底面的边长分别是2、8，体积为,设其高为，则，故所以侧面梯形的斜高为，则梯形的面积，上，下底底面面积分别为，，所以该四棱台的表面积为．7．B【分析】利用导数判断单调性，通过区间端点导数非正的条件联立求出唯一的，再验证其符合单调递减的条件即可.【详解】因为，所以，因为函数在区间上单调递减，所以在上恒成立，所以当时，，即；当时，，即，所以；当时，，当时，，正好是正弦函数的单调递减区间，所以符合题意；综上，.8．B【分析】利用椭圆定义和切线长定理求各边长，再根据勾股定理求解即可.【详解】根据椭圆定义得的周长为.根据三角形内切圆切线长性质，得，，（为内切圆与的切点）.设，由得，周长满足，代入，得.因此，进一步得各边长，，，，.观察三边：，故是直角三角形，，即，对用勾股定理，代入，化简得，故离心率.9．BC【分析】根据半径可求解，即可判断AB，进而根据两圆的位置关系可判断C，根据点到直线的距离公式以及圆的弦长公式即可求解D.【详解】的圆心和半径分别为,故，则，A错误，由于，故原点在圆内，B正确，的圆心和半径分别为,由于，故两圆内切，因此两圆只有一条公切线，C正确，到直线的距离为，则，故，D错误.10．BCD【分析】首先根据已知条件判断的形状，进而可判断A；通过平面向量基本定理可判断B；通过向量在向量上的投影向量公式即可判断C；通过三点共线的向量表示可判断D.【详解】因为，所以，所以，所以为直角三角形，因为，所以是上靠近点C的三等分点，如图：对于A，，由勾股定理知，故A错误；对于B，由题意知，所以，故B正确；对于C，由B知，所以，所以向量在向量上的投影向量为，故C正确；对于D，因为，所以，由B知，所以，又三点共线，所以，所以，故D正确.11．ACD【分析】对于A，利用放缩得到即可判断；对于B，举例排除即可；对于C，列方程求解即可判断；对于D，利用构造法求通项，再分组求和即可判断．【详解】对于A，，，，，又，，则，，，即，即数列是递减数列，故A正确；对于B，，，则，而中，，矛盾，故B错误；对于C，，，，若成等差数列，，即，解得或，则时，符合题意，故C正确；对于D，时，，易知，，，则数列是首项为1，公比为2的等比数列，，，，故D正确．12．2【分析】根据和差角公式展开，即可得求解.【详解】由可得，故，则.13．16【详解】机器人从舞台中心正北方向2米的位置起步，机器人移动4秒恰好位于舞台中心共有两种可能：第一种情形：机器人四步中有一步向正北，三步向正南，此时共有种；第二种情形：机器人四步中有一步向正东，一步向正西，两步向正南，此时共有种；所以总路径条数为.14．【分析】取过圆锥轴及其中一个大球球心的截面，并结合与底面平行且距离底面为的平面内三个球心的位置关系，将空间问题转化为平面中圆与直线、圆与圆的相切问题.先由截面中半径为的圆确定大球球心到圆锥轴的距离，再利用三个球心构成边长为的正三角形求圆锥底面半径.设再放入的小球半径为，由对称性知其球心在圆锥轴上，再由相切条件列方程即可求得.如图：【详解】设圆锥底面圆心为，顶点为，底面半径为，高为，三个半径为的大球球心分别为.因为母线与底面所成角为，所以，故过圆锥轴的截面是边长为的等边三角形.取过圆锥轴及球心的截面.在该截面内，单位圆与底边、腰都相切.设右侧底角为，则在的角平分线上，且到底边的距离为.在相应的直角三角形中，，解得.于是球心到圆锥轴的距离为.设为圆锥轴与过且平行于底面的平面的交点，则.又因为三个大球两两相切，所以，故是边长为的正三角形.由对称性可知，是的外心，于是.从而，解得.故第一空应填.设再放入的小球半径为，球心为.由对称性可知，在圆锥轴上.在上述截面内，小球化为一个与两腰都相切的圆.由于顶角为，且在顶角平分线上，所以，从而.又因为，所以到底面的距离为.在同一截面内，大球与小球相切，所以.由前面结论可得，球心到圆锥轴的距离为，且到底面的距离为，因此.于是，化简得.解得.因为，所以.故第二空应填.15．(1)(2)4【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程得到与的关系，再将点的坐标代入双曲线方程，联立求解出，的值，进而求出的值，得到焦距；（2）先求出直线的方程，然后联立直线与双曲线的方程，利用弦长公式求出即可.【详解】（1）由题意得：，又，可得，，则双曲线的焦距为．（2）双曲线的方程为，右焦点坐标为，设直线的斜率为．直线的方程为：，联立，整理得，因设，则．16．(1)(2)【分析】（1）根据递推公式求出及的关系，从而可判断数列的特征；（2）首先求出数列的通项公式，观察可知需要通过错位相减法求解其前项和．【详解】（1），当时，，解得．又当时，，，，数列是以2为首项，2为公比的等比数列．．（2），由题意知，.，设数列的前项和为，，，则，两式相减得：，即，．17．(1)证明见解析(2)【分析】(1)利用正三角形的中线性质与矩形对边中点连线的垂直关系，推导出线面垂直；再结合面面垂直的判定定理，由线面垂直推出面面垂直；(2)方法一：建立空间直角坐标系，通过点的坐标和向量运算求出平面的法向量；利用对称条件解出对称点坐标，最后用法向量夹角公式计算两平面夹角的余弦值；方法二：通过线面平行的性质与对称关系确定点的位置及辅助线，结合三角形全等与角度推导；将空间平面夹角转化为平面内的角度差，利用三角函数公式求出余弦值.【详解】（1）侧面为正三角形，为的中点，，是矩形，且分别为中点，，面面，面平面，平面平面．（2）方法一：由（1）知，平面平面，平面，平面平面平面，，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，设，则，设平面的一个法向量为，则，即，取，则，所以，易知点P到平面的距离与点到平面的距离相等且，即且，即且，解得（舍去）或，所以．设平面的一个法向量为，又，则，即，取，所以．设平面的一个法向量为，则，即取，则，所以，设平面与平面夹角为，则．故平面与平面夹角的余弦值为．方法二：设平面与棱相交于点，因为面，则平面，且面面，则，又因为为中点，可得为中点，设平面平面，，则为中点，因为关于平面的对称点为，的中点为，所以面，由（1）知平面平面，所以平面，又平面平面且，且，在平面内，，所以，因为为中点，可得为正三角形，因为，所以为中点，由对称性可知，，所以，可得，且，设交于点，则为中点，则，由面，可得，则平面与平面夹角为，设平面与平面夹角为，同理可得，则平移可得平面与平面夹角为，则，即，故平面与平面PCD夹角的余弦值为．18．(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）根据切线方程为可得斜率为，以及经过点，即可求导得解，（2）将问题转化为，构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可求解，（3）根据（2）的结论得，即可累加求解.【详解】（1），则，则（2）当时，依题意有对于任意恒成立，则，设，设，由得：，则在上单调递减，且，则在上恒成立，即在上单调递减，，则，则.（3）由（2）可知，当时，，令，则，因为，令，则，即，累加得：，即成立

.19．(1)（i）；（ii）(2)【分析】（1）（i）利用四个独立事件同时发生来计算概率即可；（ii）利用全概率公式来求解即可；（2）利用构造数列的递