小学数学六年级下册《复杂行程问题中的接送模型建构与易错点辨析》教学设计

小学数学六年级下册《复杂行程问题中的接送模型建构与易错点辨析》教学设计

一、教学内容与背景分析

【基础·核心概念】本节课教学内容隶属于北师大版六年级下册数学“整理与复习”板块中的“行程问题”深化部分，具体指向“接送问题”这一经典且复杂的数学模型。从知识体系来看，学生已在五年级上册系统学习了基本的速度、时间、路程关系（即S=vt模型），并在六年级上册及下册前段接触了“相遇问题”与“基本追及问题”。接送问题并非一个孤立的题型，而是“相遇”与“追及”两种基本数量关系在“车辆调度”与“团队协作”背景下的综合运用与高阶呈现。

【重要·课标依据】依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》“数与代数”领域的要求，本学段学生需“能解决较复杂的实际问题，形成模型意识和应用意识”。接送问题恰恰是落实这一要求的绝佳载体。它要求学生不仅具备扎实的算术或方程求解能力，更需要具备敏锐的信息筛选能力、动态的场景想象能力以及严谨的逻辑推理能力。从学科育人价值来看，本节课旨在引导学生从纷繁复杂的文字信息中剥离出本质的数量关系，通过“数形结合”的线段图方法，将动态的车辆接送过程转化为静态的数学等量关系，最终实现从“解决问题”到“通过问题看模型”的思维跃迁，深刻体会数学建模的全过程，锤炼学生的理性思维与科学精神。

【学情精准画像】

1.优势分析：六年级学生已具备较强的计算能力和初步的逻辑推理意识。对于“总路程=速度和×相遇时间”和“路程差=速度差×追及时间”这两个核心公式能够熟练背诵并应用于简单情境。

2.认知断层：学生首次面对“车辆从A地出发，中途折返接人，再同时到达B地”这类涉及“来回运动”的题目时，往往陷入思维混乱。其核心障碍在于无法在头脑中建立清晰的运动表象，容易将不同时间段内的运动混为一谈，导致列式时错用车、乱套公式。

3.【难点】典型错误分析：最常见的易错点在于“空车返回”这一环节。学生常忽略车辆在放下第一批人后折返去接第二批人所行驶的路程，实际上是由“相遇”和“追及”共同构成的。此外，对于“人和车是否同时出发”、“车在接送过程中是否有人步行前进”等细节信息的敏感度不足，是导致解题失败的根本原因。

二、教学目标分层设定

1.知识技能目标：【基础】学生能够准确复述“接送问题”的基本特征（至少有两队人或人车组合，车辆需中途折返）；能熟练运用线段图分析车辆与人的运动轨迹，并正确区分“同向追及”与“相向相遇”两种基本运动形式在接送过程中的交替出现；能结合具体情境，正确列出方程或综合算式进行解答。

2.过程方法目标：【重要】通过“动态演示—静态绘图—抽象关系”的三步走策略，引导学生掌握“化动为静”的数学思考方法；通过小组合作探究不同的接送方案，培养学生“分类讨论”和“优化思想”，即理解在总路程固定、速度固定的前提下，不同的接送顺序是否影响最终到达时间。

3.高阶思维目标：【非常重要】引导学生透过具体的题目情节，提炼出“接送问题”的通用模型——即“车与人通过多次相遇与追及，最终实现同步抵达”。培养学生用数学的眼光审视现实生活中的运输调度、物资配送等问题，形成“建模—用模—验模”的完整认知闭环。

三、教学重难点聚焦

1.教学重点：构建解决“乘车问题”的基本思维框架。即明确研究对象（车与人）、划分运动阶段（车独自走、车与人相向、车与人同向）、绘制线段图、建立各阶段之间的路程联系（特别是空车返回相遇的路程是解决的关键桥梁）。

2.【高频考点】【难点】教学难点：精准识别并计算“车辆折返点”与“步行者位置”之间的路程关系。尤其是在“车先送一批人至中途，再返回接另一批人”的经典模型中，如何根据“同时到达”这一条件，推导出步行路程与乘车路程之间的比例关系，是学生思维爬坡的最大障碍点。

四、教学准备与媒体

教师准备：高精度动态演示课件（能清晰显示车辆行进、折返、与人相遇的过程）、预先绘制好的标准线段图模板、彩色粉笔。

学生准备：直尺、铅笔、橡皮、至少两种颜色的笔（用于画图区分车与人轨迹）、草稿本。

五、教学实施过程深度设计

（一）【基础唤醒】预学导入——唤醒经验，聚焦“运动的方向”

1.情境创设：教师直接呈现一道极简的“前测题”：小明每分钟走50米，哥哥每分钟骑自行车150米，两人同时从学校出发回家，哥哥到距离学校600米的家后，发现小明忘带钥匙，立即原路返回去接小明。问哥哥返回后与小明相遇的地点离家有多远？

2.互动探究：请学生在草稿纸上快速画出草图，并尝试列式。此环节故意设计一个“不完全的接送”——只涉及一次折返相遇，不涉及再次送达。目的在于让学生在熟悉的“相遇”与“追及”中热身，并自然引出“车到目的地后空车返回”这一核心运动环节。

3.暴露思维：指名展示学生的线段图。教师着重引导全班观察：哥哥的运动轨迹是“从学校到家（追及？实际上是同向但哥哥速度快，可视为追及的结果是哥哥先到终点）——然后立即转身（方向改变）——变成与小明相向而行”。由此点明：解决运动问题，必须关注“方向”和“时段”。

4.引出新题：刚才的题目中，哥哥接到了小明，但接下来他们需要一起回家。如果车子只能带一个人，而家里还有其他人需要接送，同时到达，这就构成了我们今天要攻克的难关——“接送问题”。【板书课题】

（二）【模型建构】核心探究——经典“两点一线”接送模型

1.出示例题（【高频考点】原型）：一辆汽车从A地出发前往B地，同时，一位步行者也从A地出发步行向B地。汽车的速度是每小时50千米，步行者的速度是每小时10千米。汽车到达B地后立即返回，在途中接到步行者，然后再次掉头开往B地。如此往返，问：汽车和步行者能否同时到达B地？若想同时到达，汽车应在离A地多远处第一次放下乘客（空车返回接人）？

（说明：此题是“同时到达”类接送问题的典型变式，需要逆向设计第一次的落客点。）

2.【非常重要】策略指导：“拆解运动法”——将复杂的连续运动，按照“车”的行驶方向变化，拆解成若干个独立的阶段。

阶段一（单向行驶）：车从A到B，人从A向B步行。当车到达B时，人已经走了多少千米？通过计算汽车行驶全程的时间，进而求出人的位置。

阶段二（相向而行）：车在B立即掉头，与仍在向B步行的人相向而行。这一阶段是典型的“相遇问题”。关键是要找到两人之间的距离（即全程减去人已走的路程）。求出相遇时间，进而确定相遇点距离A地多远。

阶段三（再次同向）：车接上人后再次掉头向B行驶，此时车和人同时从相遇点出发前往B，属于“同向运动”但速度不同，车先到。

3.图解建模（教师板演，学生同步手绘）：

教师用彩色粉笔在黑板上画出线段图。用红色粉笔画车的轨迹，用蓝色粉笔画人的轨迹。

重点标注：车第一次到B时，人在C点；车与人相遇在D点；最后从D到B。通过线段图直观展示：AD是人步行的总路程？DB是车第二次行驶的路程？实际上是车从B返回到D的路程加上D到B的路程等于两次BD？必须通过线段图厘清AC、CD、DB之间的等量关系。

引导学生发现：【重要】在“同时到达”的约束下，实际上要求车在第二阶段（返回接人）和第三阶段（再去B）所花的总时间，必须等于人从D点步行到B所花的时间？不对，人从D到B是乘车？不对，在D点人上车了，所以最后一段是人乘车。那么人步行的总路程是从A到D，乘车是从D到B。而车行驶的总路程是A到B，B到D，D到B。通过时间相等建立方程。

4.列式求解（算术与方程并重）：

算术法引导：如果车在离A地某处X千米处放下第一批人？但此题是连续运动。更经典的解法是利用比例。由于速度比V车:V人=5:1，在时间相同的情况下，路程比也是5:1。设第一次车到B时，人走了S千米，则车走了全程L千米，此时车掉头，接下来车与人相向而行，直到相遇，这段时间内车和人走的路程和等于L-S，且路程比等于速度比5:1，因此车在这段走了5/6(L-S)，人走了1/6(L-S)。相遇点距A为S+1/6(L-S)。最后车从相遇点再到B，距离为L-[S+1/6(L-S)]。要求同时到达，即人从A走到相遇点的时间，等于车从A到B再返回相遇点的时间？这个方法较复杂，容易混淆。

方程法推荐（【重要】思路）：设全程为1个单位（或设为具体数值如60千米）。设汽车第一次到达B后返回，与人相遇时，人一共步行了x千米。则从车掉头到相遇，车行驶了(1-x)+(1-x)?实际上是车从B走到相遇点走了(1-x)千米（因为相遇点距A为x，则距B为1-x）。车从出发到相遇行驶了：1(从A到B)+(1-x)(从B返回)。人行驶了x。利用时间相等：车行驶时间=人步行时间。即(1+1-x)/50=x/10。解方程得x=1/3。即人走了全程的三分之一时被车接上。那么车接上人后，距离B还有全程的三分之二，乘车需时(2/3)/50=1/75，而人之前走了1/3用时(1/3)/10=1/30，显然1/30不等于1/75，所以不能同时到达。此题的目的在于让学生明白，如果没有刻意安排第一次下客点，仅靠自然往返，是无法同时到达的。这为后续“最优接送方案”埋下伏笔。

（三）【难点突破】经典变式——团队合作，同时抵达

1.出示例题（【高频考点】【难点】核心题型）：五年级师生共200人去郊游，现有每辆可载50人的大巴车一辆（不含司机），师生步行速度均为5千米/时，车速为45千米/时。现在需要将全体师生从学校送到距离120千米的营地。要求在不超载的情况下，如何安排接送，能使全体师生同时到达营地？并求出最短时间。

2.审题与建模：

引导学生分析：这是一道典型的“乘车问题”或“车队问题”，但这里只有一辆车，必须分批运送。核心条件是“同时到达”，意味着先坐车的一批人不能直接到终点，必须在途中某处下车步行，让车返回接下一批人，最后两批人同时抵达终点。

将200人分为4批（50人一批）。由于对称性，我们只需要考虑第一批和第二批的交接。

关键点：【非常重要】“同时到达”的数学本质是：每一批人，步行的时间相等，乘车的路程也相等（因为速度相同）。只有这样，他们花的总时间才会相等。即，每一批人都是从学校步行一段，再乘车一段到终点，且所有批次的步行路段长度相同，乘车路段长度也相同。

3.画线段图（师生共绘）：

画一条线段表示学校到营地（全长S=120km）。第一批人先乘车到距离学校x千米的C点下车，然后步行至营地。车在C点立即掉头返回，在途中某点D遇到第二批步行的人（第二批从一开始就步行），接上第二批后，再掉头开往营地。第二批人的乘车起点是D，终点是营地。

由图可知，第一批人的步行路程是S-x（从C到营地），第二批人的步行路程是D到学校的距离？不，第二批从学校步行到D，乘车从D到营地。为了同时到达，需要S-x=D到学校的距离？不一定相等，因为车在第一批下车后返回接第二批，这个过程很复杂。我们需要找出所有批次步行路程都相等的条件。

4.引入“份数法”或“比例法”（高阶思维）：

【非常重要】设第一批乘车路程为a千米（即下车点距学校a），则第一批步行路程为120-a千米。

车从第一批下车点C返回，与第二批相遇。从第一批下车到接到第二批这段时间，车在走，第二批也在走。设车返回遇到第二批时，第二批又向前步行了b千米。那么第二批从学校步行到相遇点的总路程就是b？实际上，从开始到相遇，第二批一直在步行，设其步行路程为y，则相遇点距学校y。同时，车行驶的路程为：从C返回至相遇点，走了(a-y)千米（因为C距学校a，相遇点距学校y，车从C返回到相遇点走了a-y）。车与人的时间相等：(a-y)/45=y/5，解得a-y=9y，即a=10y，所以y=a/10。

即：当第一批下车时，第二批走了多远？这需要先求第一批乘车到C的时间t1=a/45，此时第二批步行了5*(a/45)=a/9千米。也就是说，当车到达C时，第二批在距离学校a/9千米处。

然后车掉头，与第二批相向而行，此时两者距离为a-a/9=8a/9。车和人的速度和为45+5=50，相遇需要时间(8a/9)/50=8a/450=4a/225。在这段时间内，第二批又步行了5*(4a/225)=20a/225=4a/45千米。所以第二批的总步行路程为a/9+4a/45=5a/45+4a/45=9a/45=a/5。

由此得第二批的乘车路程为120-a/5。

5.利用“同时到达”建立等量关系：

第一批人的总时间：T1=(a/45)+[(120-a)/5]（乘车时间+步行时间）

第二批人的总时间：T2=从开始到上车的时间+乘车时间=[总步行路程a/5除以速度5]+[乘车路程(120-a/5)除以45]

令T1=T2，得方程：

a/45+(120-a)/5=(a/5)/5+(120-a/5)/45

解此方程：

左边=a/45+24-a/5=a/45-9a/45+24=24-8a/45

右边=a/25+120/45-(a/5)/45=a/25+8/3-a/225=a/25-a/225+8/3=(9a/225-a/225)+8/3=8a/225+8/3

令左右相等：24-8a/45=8a/225+8/3

将分母统一为225：24-40a/225=8a/225+8/3

移项：24-8/3=(8a/225+40a/225)=48a/225

计算左边：24=72/3，72/3-8/3=64/3

所以64/3=48a/225=>a=(64/3)*(225/48)=(64*225)/(3*48)

化简：64/48=4/3，所以a=(4/3*225)/3=(4*75)/3=300/3=100千米。

即第一批乘车100千米后下车步行，步行路程为20千米。第二批步行路程为a/5=20千米，乘车100千米。完全符合！

总时间T=100/45+20/5=20/9+4=20/9+36/9=56/9小时，约6.22小时。

6.【归纳提升】得出重要结论：在最优接送方案下，所有人的步行路程相等，乘车路程也相等。这是解决多批次接送问题的一条“金钥匙”。

（四）【易错点辨析】防错诊所——针对典型错误进行诊断

1.易错点一：忽略时间差，错用公式。

错题呈现：甲乙两队学生从相距18千米的两地同时出发，相向而行。一辆车要先送甲队去乙队，再返回接乙队？这种题容易乱。

教师精讲：强调一定要画时间轴图，分清“谁在动，谁在等”。车辆的运动是连续的，人的运动也是连续的，不能割裂看。

2.易错点二：车辆空返路程算错。

错题呈现：车送第一批人到某地后返回，学生常认为返回路程就是下车点到起点的距离，忽略在这一段时间内，第二批人也在向前走，所以返回相遇点不是起点。

纠错策略：利用“手拉手”模型。伸出双手，左手代表车的位置，右手代表步行者的位置，演示两者在车返回时的相对运动，明确“车返回走的路程+人继续走的路程=车下车点到起点的距离”。通过肢体语言强化记忆。

3.易错点三：方程列而不解，或设元不当。

纠错策略：展示一份典型的不规范解法，让学生“找茬”。例如设了多个未知数却不找关系，或者设了未知数却不写单位。强调在设未知数时，优先设“步行路程”或“第一次乘车路程”作为桥梁，并且要明确写出每一步的依据。

（五）【拓展延伸】跨学科视野——数学与生活、物理的链接

1.生活链接：展示公交调度问题、校车接送线路优化问题、物资救援中的“蛙跳”战术。让学生感受到今天所学的“接送模型”不仅仅是纸上谈兵，更是交通运筹学的雏形。

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