重庆市永川中学高三下学期第一周周考数学试题

永川中学校高2026届（高三下）第一周周考数学试题一、单选题1.已知，其中i为虚数单位，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算和共轭复数的概念即可求解.【详解】因为，所以所以.故选：B.2.已知集合，，若，则满足条件的实数的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【解析】【分析】根据集合包含关系的定义，由可知必在集合中，因此分情况讨论求解即可.【详解】因为，所以必在集合中，当，解得，此时不满足集合元素的互异性，故舍去，当，解得或（舍去），此时，满足条件，综上所述，，故满足条件的实数的个数为1个.故选：A.3.某校食堂新供应了四种不同的午餐套餐，小王同学计划周一到周五都从新供应的四种套餐中选择一种就餐，且在这五天里将这四种套餐都尝一遍，则不同的方案共有（）A.120种 B.144种 C.240种 D.288种【答案】C【解析】【分析】由题意可得，小王同学有两天吃同一种套餐，先从5天中选出两天吃同一种套餐，将这两天视为一个整体，然后将4种不同的套餐安排在这两天和另外3天中，即可求解.详解】由题意可得，小王同学有两天吃同一种套餐，先从5天中选出两天吃同一种套餐，然后将4种不同的套餐安排在这两天和另外3天中，则不同的方案共有种.故选：C.4.已知，则（）A. B.14 C. D.【答案】A【解析】【分析】通过两角和余弦公式对已知式子化简变形求解即可.【详解】因为，，则，，两式相加减，得到，解得则.故选：A.5.已知变量和的成对样本数据的经验回归方程为，且，当增加1个样本数据后，重新得到的经验回归方程的斜率为，则在新的经验回归方程的估计下，样本数据所对应的残差为（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】先计算新的数据的平均值，后得到经验回归方程，再结合残差概念计算即可.【详解】由，可得增加1个样本数据后的平均数为，因为，所以，则增加1个样本数据后的平均数为，所以，解得，所以新的经验回归方程为，则当时，，样本点的残差为.故选：B.6.在中，若，设，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，，由得到是中点，且可以得到为的三等分点，再由，，求解即可.【详解】设，，因为得是中点，所以，由得分为，可得，设，则，设，则，所以，，解得.故选：B.7.若直线是曲线与曲线的公切线，则（）A.0 B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】设，设切点为，由导数求出切线的斜率，进而使用点斜式求出切线的方程，与比较系数，即可求得切线方程为，设，设切点为，同理可求出切线的方程，再与比较系数，即可求得的值.【详解】设，，设切点为，则切线斜率为，则切线方程为，即，由题意得，即，解得，即与的公切线为，，，设切点为，则切线斜率为，则切线方程为，即，由题意得，即，解得，故选：A.8.在平面四边形中，是边长为等边三角形，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，将该四边形沿对角线折成四面体，在折起的过程中，四面体的外接球表面积最小值为（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设、的外心分别为、，过点作平面的垂线，过点作平面的垂线，设这两垂线的交点为，求出、的长，利用勾股定理可得出，可得出长的最小值，再利用球体表面积公式可求得结果.【详解】设、的外心分别为、，则为的中点，为的中心，过点作平面的垂线，过点作平面的垂线，设这两垂线的交点为，则为四面体的外接球球心，如下图所示：因为为等边三角形，则，所以，易知，因为为等腰直角三角形，且其底边长为，所以，故球的半径为，当且仅当点与点重合时，取最小值，即球的半径的最小值为，所以四面体的外接球表面积最小值为.故选：C二、多选题9.已知等比数列的公比为，前项和为，则下列说法正确的是（）A.B.C.数列是公差为1的等差数列D.【答案】BC【解析】【分析】先结合已知条件求得，，再依次讨论各选项即可得答案.【详解】因为，所以，解得，故A选项错误；所以，解得，所以，，故B选项正确；因为，，所以，即数列是公差为1的等差数列，故C选项正确；所以，故D选项错误.故选：BC10.已知、为随机事件，，，则下列结论正确的有（）A.若、为相互独立事件，则B.若、为互斥事件，则C.若、为互斥事件，则D.若发生时一定发生，则【答案】ABD【解析】【分析】利用独立事件的概率公式结合并事件的概率公式可判断A选项；利用互斥事件的概率公式可判断B选项；数形结合可判断C选项；利用事件的包含关系可判断D选项.【详解】对于A选项，若、为相互独立事件，则，故，A对；对于B选项，若、互斥事件，则，B对；对于C选项，如下图所示：因为、为互斥事件，则，结合图形可知，故，C错；对于D选项，若发生时一定发生，则，故，故，D对.故选：ABD.11.已知函数，则（）A.函数存在唯一零点B.若方程在上有唯一解，则实数的取值范围是C.存在唯一，使得D.关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是【答案】ACD【解析】【分析】对于选项A：对求导后根据的正负判断单调递增后易得存在唯一零点；对于选项B：对求导后根据的正负判断的增减性，求出极小值即最小值不在选项范围内；对于选项C：设，再根据形式化简后求导并判断的增减性，求出极小值即最小值为0，即存在唯一零点；对于选项D：讨论的范围后参变分离，构造新函数求导分析即可求得的取值范围.【详解】对于选项A：由题易得，则在上单调递增，且当时，，且当时，，由零点存在定理，在上有且仅有1个零点，故A选项正确；对于选项B：由题得，令，则，故在上，，单调递减，在上，，单调递增，故在处取极小值，即最小值，且易得当时，，则有若在上有唯一解，则或，故B选项错误；对于选项C：设，，则，故，则，令，，故在上，，单调递减，则在上，，单调递增，故在处取极小值即最小值，则有在上有且仅有1个零点，由选项A易得在上单调递增，故有且仅有1个解使，即有且仅有1个零点，故C选项正确；对于选项D：若有在R上恒成立，讨论的范围后参变分离：①若，则有，显然成立②若，则有，令，则，令，或（舍），易得当时，在处取极小值即最小值，因此；③若，则有，令，则，令，（舍）或，易得当时，在处取极大值即最大值，因此；综上，的取值范围是故选项D正确.故选：ACD三、填空题12.若角顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点，且，则__________．【答案】【解析】【分析】由三角函数的定义可知，结合，可得．【详解】角终边与单位圆交于点，，，，．故答案为：．13.已知，若存在使得，则的最大值为__________．【答案】39【解析】【分析】根据二项展开式的通项可得，然后由可得为奇数，然后可得，即可求出答案.【详解】二项式的通项为，二项式的通项为，，，若，则为奇数，此时，得，，又为奇数，的最大值为39.故答案为：39.14.设抛物线的焦点为F，过F的直线l交抛物线于A，B两点，且线段AB的垂直平分线交AB于点M，交x轴于点N，若的面积为16，则直线l的方程为_______．【答案】或【解析】【分析】方法一：设直线，再联立直线及抛物线得出韦达定理，再应用行列式法计算面积求解参数即得直线方程；方法二：设，则应用焦点弦公式结合面积公式计算求解参数即可求解直线.【详解】法一：设直线，与抛物线方程联立可得，，因此，得，所以，解得，因此直线l的方程为或．法二：设，则，即得，所以所以，即得，因此直线l的方程为或．故答案为：或．四、解答题15.已知的内角的对边分别为，满足.（1）求；（2）若，求的周长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦边角关系及三角形内角的性质化简条件得，即可求；（2）由余弦定理及已知得，进而即得.【小问1详解】由及正弦边角关系得，而，整理得，因为，所以；【小问2详解】由余弦定理，得，进而得，得，所以的周长为.16.甲､乙､丙三人玩“石头、剪刀、布”游戏，每局中每人独立随机出石头、剪刀、布，概率均为.每局的游戏规则如下：如果出现一人胜两人（比如甲出石头，同时乙和丙都出剪刀，则甲胜），赢者向前走两步，其他人不动；如果出现两人胜一人（比如甲和乙同出剪刀，同时丙出布，则甲和乙胜），赢者向前各走一步，输者不动；如果三人出相同手势或三人全不同手势（循环胜），视为平局，所有人都不走步.用表示甲在一局游戏中前进的步数.（1）求的分布列和期望；（2）若游戏独立地进行三局，求甲一共向前走了两步的概率.【答案】（1）分布列见解析，（2）【解析】【分析】（1）分析可知的可能取值为、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可得出的值；（2）用事件表示三局游戏后甲向前走了两步，分别用、和表示第局中甲分别向前走了一步、两步和零步，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得的值.【小问1详解】由题意可知的可能取值为、、.，，.所以，随机变量的分布列为所以.【小问2详解】用事件表示三局游戏后甲向前走了两步，分别用、和表示第局中甲分别向前走了一步､两步和零步，则.17.如图，圆台的下底面圆的半径为，为圆的内接正方形．为上底面圆上两点，为的中点，且平面平面，．（1）求证：；（2）若，直线与平面所成角正弦值为，求线段长度．【答案】（1）证明见解析（2）．【解析】【分析】（1）利用正方形的性质证明，再借助已知线线垂直可证明线面垂直，再利用面面垂直可证明线面垂直，从而可得线线垂直，即证中点；（2）利用空间向量法来研究线面角的正弦值，得出，即可求出弦长即可.【小问1详解】证明：取的中点，连交于．在正方形中，由于为的中点，可得≌，则，因为，所以，得到，即．因为，、平面，所以平面，又平面，故．由于平面平面，平面平面，平面，，故平面，又平面，则因为平面，所以平面，又因为平面，则，又点是的中点，故．【小问2详解】由于圆的半径为，则正方形的边长为2，又，则．以为坐标原点，过点作平行的直线分别为轴，轴，所在的直线为轴建立如图空间直角坐标系．则，由于圆半径，为上底面圆上一点设，故．设平面的法向量为，由，得取，故，设与平面所成角为，则平方后整理方程得解得或（舍）所以．18.函数．（1）令，若函数存在唯一零点，求实数的取值范围；（2）若，求函数的值域．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意，，即，时有唯一交点，结合图像得到的取值范围即可；（2）求导，再分、判断导数符号，确定函数的单调性，根据单调性得到函数的值域．【小问1详解】，，，时，函数存在唯一零点，，时有唯一交点，，的图像如下：；【小问2详解】，，当时，，，，且，，即在单调递减，当时，，，，且，，即在单调递增，，，，的值域为．19.已知为坐标原点，动圆过点且与直线相切．（1）设圆的圆心的轨迹为曲线，求曲线的方程；（2）（i）过点斜率为的直线与曲线交于两点，过分别作曲线的两条切线，记与的交点是，若的面积为32，求的值；（ii）将绕轴旋转一周得到一个旋转体，求该旋转体体积的最小值．【答案】（1）（2）（i）；（ii）．【解析】【分析】（1）设，动圆的半径为，求圆心到直线的距离，化简即可.（2）（i）设直线方程为，与抛物线方程联立，通过韦达定理以及求解点到直线的距离再通过的面积求解即可.（ii）设关于轴的对称点分别为，记以等腰梯形绕轴旋转一周得到的圆台体积为，以为底面直径，为顶点的圆锥体积为，以为底面直径，为顶点的圆锥体积为，再由，以及基本不等式求解即可.【小