比例尺与图形变换：放大与缩小（六年级数学下册·苏教版）

比例尺与图形变换：放大与缩小（六年级数学下册·苏教版）

一、课程背景与设计理念

本节课是苏教版小学数学六年级下册“比例尺”单元的核心内容，属于图形与几何领域中“图形的运动”与“比例”知识的深度融合。在现行课程改革理念的指引下，本设计摒弃了传统教学中单纯机械作图、记忆概念的浅层学习模式，转而立足于发展学生的空间观念、几何直观和推理意识。设计以“真实问题驱动—自主探究建构—多维变式应用”为主线，旨在引导学生在真实情境中理解图形放大与缩小的数学本质，即“形状不变，大小改变”，并深刻体会其作为比例尺核心原理的实际应用价值。教学过程中，注重跨学科视野的融入，通过艺术鉴赏、建筑设计赏析等活动，让学生感悟数学的理性之美与现实之力，力求实现从“学会”到“会学”再到“乐学”的深度跨越，达成数学核心素养的全面提升。

二、教学内容分析

（一）教材地位与作用

本课内容在知识体系上起着承上启下的关键作用。承上，它直接关联三年级学习的“平移、旋转和轴对称”等图形运动，是对图形变换方式的拓展与深化；同时，它又为学生后续理解比例尺的意义、解决相关的实际问题（如地图绘制、图纸设计）奠定了坚实的认知基础。启下，它将比例的知识从单纯的数的运算拓展到形的变化，是数形结合思想的典型应用，为初中学习相似图形做好了铺垫。

（二）核心概念与本质

图形的放大与缩小是一种特殊的图形变换。其本质特征是：图形的形状完全相同（或称为相似），但大小发生了变化。这种变化严格遵循比例的基本性质，即对应边的长度比相等（即比例尺），对应角的大小保持不变。因此，判断一个图形是放大还是缩小，关键看各边按相同的比例变化，且角度不变。

三、学情分析

（一）已有知识基础

六年级的学生已经掌握了比和比例的基本意义，能够熟练求解比值和进行比例的基本运算。同时，他们已初步认识图形的平移、旋转和轴对称，具备了一定的空间想象能力和动手操作能力。在生活中，学生对照片放大、地图缩放、复印缩放等现象有模糊的感性认识，但尚未上升到数学的理性高度。

（B）潜在认知障碍

【难点】学生极易混淆“放大”与“扩大”、“缩小”与“减少”的数学含义，往往只关注边的长度变化，而忽略“形状不变”这一核心要素。在具体操作中，容易出现只将一条边进行缩放而导致图形“失真”的错误，对于“按几比一放大”或“按一比几缩小”的比例关系理解不清，无法将比例尺的概念与图形变换建立有效联结。

（三）学习风格与需求

六年级学生思维活跃，具备一定的抽象逻辑思维能力，但仍需要借助直观、具体的情境和操作活动来支撑思维。他们乐于接受挑战，喜欢在探究中发现规律，对与生活紧密联系的数学问题具有浓厚兴趣。

四、教学目标设计

（一）知识与技能

1.理解图形放大与缩小的含义，掌握图形放大与缩小的基本方法。

2.能利用方格纸按指定的比例（如2:1、1:3等）将一个简单的平面图形放大或缩小。

3.能正确理解“对应边的比”与图形放大或缩小之间的关系，明确形状不变的关键在于角度不变且对应边成比例。

（二）过程与方法

4.通过观察、比较、操作、归纳等数学活动，经历图形放大与缩小规律的探索过程，发展空间观念和几何直观。

5.在小组合作与交流中，学会用数学语言描述图形放大与缩小的过程与特征，提升推理意识和表达能力。

（三）情感态度与价值观

6.感受图形的缩放与生活的紧密联系，体会数学知识的应用价值，激发学习兴趣。

7.在严谨的作图过程中，培养一丝不苟的学习态度和审美情趣。

8.通过欣赏自然界和艺术作品中按比例缩放的实例，感悟数学的和谐之美。

五、教学重难点

（一）【教学重点】

理解图形放大与缩小的含义，能在方格纸上按要求将图形放大或缩小。

（二）【教学难点】

理解“按相同的比放大（缩小）”的含义，即对应边长度的变化要一致，从而保证图形形状不变。

六、教学准备

教师：多媒体课件（包含情境图、动态演示、对比案例）、方格纸磁力贴、几何画板软件。

学生：方格纸作业单、直尺、三角板、彩色笔。

七、【核心】教学实施过程

（一）创设情境，激活经验（约5分钟）

1.生活引入，激发冲突

【基础】教师利用多媒体展示三张相同的长方形照片（长4格、宽2格）。第一张为原始尺寸，第二张将长拉伸至8格、宽保持不变，第三张将长和宽均按比例放大至原来的2倍（长8格、宽4格）。

师：同学们，这是学校摄影社团的三张作品。请你们观察并思考，哪一张是原始照片？哪一张是进行了正确的放大？哪一张的处理出现了问题？为什么？

学生观察后立即能指出，第二张虽然变大了，但图像“变胖了”，变形了；第三张变大了，但看起来和原图一模一样，只是尺寸更大了。

师：生活中有很多像第三张照片这样的放大或缩小现象，比如复印机的缩放、手机的变焦、建筑图纸的绘制。它们背后的数学原理是什么？今天我们就来深入研究“图形的放大与缩小”。（板书优化后的课题）

（二）直观比较，初探本质（约8分钟）

1.聚焦变化，量化分析

师：我们以第一张原始照片（长4、宽2）和第三张放大后的照片（长8、宽4）为例。请你用数学的眼光，从边的长度和角的大小两个维度来分析，它们之间到底发生了什么变化？

学生在小组内讨论交流。教师引导学生在方格纸上描点、连线、测量。

预设学生发现：

（1）对应边的变化：原来长方形的长是4，现在长是8，扩大为原来的2倍；原来宽是2，现在宽是4，也扩大为原来的2倍。

（2）对应角的变化：所有角都是直角，大小没有变。

师：放大后的长方形每条对应边都扩大为原来的2倍，我们就可以说，把原来的长方形按2:1放大。这个“2:1”表示的是（放大后）：（放大前）。

【重要】教师强调：比的顺序至关重要！在图形放大与缩小中，我们通常用变化后的图形尺寸比变化前的图形尺寸。所以，按2:1放大，意味着新图形的每条边长度都是原来相应边的2倍。

2.引入反例，加深理解

再次聚焦第二张照片（长8、宽2）。

师：为什么说它是错误的放大？能用我们刚学的比例关系来解释吗？

学生讨论得出：虽然角没变，但边的长度变化不一致，长扩大为2倍，宽却不变，导致对应边扩大的倍数不同，所以形状改变了。从而深刻领悟到图形放大与缩小的核心是：每条对应边都按相同的倍数变化。

（三）操作探究，建构模型（约15分钟）

1.任务一：【基础】体验放大

（1）课件出示一个直角三角形（底边占4格，高占2格，斜边自然形成）。

（2）要求：请你按2:1将这个三角形放大，画在方格纸上。

（3）学生独立尝试，教师巡视，收集典型作品。

（4）展示交流，质疑辨析。

预设情况一：学生将底边扩大到8格，高扩大到4格，直接连接新底边两端和高的顶点，画出一个新的三角形。

预设情况二：学生除了确定底边和高，还特意去量了斜边，发现斜边也由原来的约4.5格变为9格（近似）。

师：为什么这两种方法都可以？你更喜欢哪种？为什么？

【难点突破】引导学生讨论得出：确定底边和高，就能确定三角形的形状。因为角度不变（直角），只要两条直角边按比例放大，连接起来的斜边自然也会按相同比例放大。这种方法抓住了图形放大中“形状不变”的根本——对应角不变，对应边成比例。第二种方法验证了这一点，更加严谨。

2.任务二：【重要】体验缩小

（1）课件出示一个正方形（边长6格）和一个平行四边形（底8格，高4格，有一个锐角）。

（2）要求：请你按1:3将这两个图形缩小。

（3）先独立思考：按1:3缩小是什么意思？新图形的边长是原图形的几分之几？

明确：1:3表示（缩小后）：（缩小前），新图形的每条边长度都是原来相应边的1/3。

（4）学生小组合作，分别完成两个图形的缩小。教师巡视指导，重点关注平行四边形缩小过程中角度的把握（可通过平移高的位置，确保平行四边形的形状不变）。

（5）成果展示。选取不同小组的作品进行对比，重点检查缩小后的图形是否与原来形状一致（直观感知，如平行四边形的“倾斜度”是否相同）。

（6）归纳小结：无论是放大还是缩小，只要保证图形中每个部分都按相同的比例变化，那么新图形和原图形形状就完全相同，只是大小不同。

（四）深度辨析，归纳规律（约7分钟）

1.对比归纳，总结方法

师：通过刚才的操作，你能用自己的话说一说，怎样才能正确地将一个图形放大或缩小吗？

引导学生总结步骤与方法：

（1）看：看清要求，确定是按什么比放大或缩小（是几倍还是几分之一）。

（2）算：算出新图形各条边的长度（对于长方形、正方形等，直接计算长和宽；对于三角形，计算底和高；对于不规则图形，找准关键点）。

（3）画：在方格纸上根据计算结果画出图形。画的时候，要关注图形的关键点和边的位置，确保角度不变，图形“不走样”。

2.【高频考点】区分比例关系

教师出示判断题：

把一个长方形按3:1放大，放大后的长方形面积是原来长方形面积的多少倍？（）A.3倍B.6倍C.9倍

学生可能会本能地选择3倍。教师引导思考：边长是原来的3倍，长×宽，面积就应该是原来的3×3=9倍。这是对学生思维的深化，也是考试中极易出现的【高频考点】。强调长度变化与面积变化的倍数关系不同。

（五）联系生活，拓展应用（约8分钟）

1.【热点】跨学科融合

师：图形的放大与缩小不仅存在于数学题中，它还是艺术家和设计师的秘密武器。

（1）展示名画《蒙娜丽莎》的局部放大图片，引导学生感受艺术创作中对比例的精确把控。

（2）展示中国古代建筑中的窗格图案，从一个大格子到由无数小格子构成的复杂花纹，其中蕴含了无数次缩小与放大的和谐统一。

（3）展示不同比例尺的中国地图。比例尺1:1000000，就是实际距离按这个比缩小后画在纸上的。今天学习的图形缩小，正是理解比例尺概念的直接模型。

师：正是有了精确的数学比例，美才能被和传承。

2.解决实际问题

师：我们学校新建了一个长方形的劳动实践基地，长24米，宽12米。现在想按1:400的比例尺将它画在图纸上，图纸上的长和宽各应是多少厘米？

学生独立计算，反馈交流。先统一单位，再根据比例尺列式计算：图上距离=实际距离×比例尺。将数学知识应用于真实场景，打通知识与生活的壁垒。

（六）课堂总结，反思升华（约2分钟）

师：同学们，今天这节课我们通过观察、操作和思考，探索了图形世界中的一种特殊运动。谁来说说，你有什么收获和体会？

学生从知识（图形放大缩小的含义与方法）、技能（如何按比例作图）、思想（变化中的不变）以及情感（数学与生活、艺术的联系）等多个维度进行回顾。

教师总结升华：正如我们今天所学，无论图形被放大多少倍或被缩小多少倍，其内在的形状、角度关系始终如一，这就是数学中蕴含的“变中有不变”的哲学思想。希望同学们在未来的学习和生活中，也能用这样的眼光去发现和思考问题。

八、板书设计

（以结构化方式呈现）

比例尺与图形变换：放大与缩小

一、含义

形状不变，大小改变

对应角相等

对应边成比例

二、方法（以三角形为例）

1.定比：2:1（新：原）

2.算边：底：4×2=8；高：2×2=4

3.作图：先画关键边（底），再确定顶点（高），最后连线。

三、注意

4.比的前后项顺序不能颠倒。

5.所有边同步变化。

6.长度比k，面积比k²。

九、作业设计

（一）基础性作业（全员必做）

1.在方格纸上，将一个任意四边形按1:2缩小。

2.数学课本P42练一练第1、2题。

（二）拓展性作业（选做）

寻找生活中的图形放大与缩小现象（如相机镜头、投影仪、复印机、建筑设计图等），尝试用数学语言描述其原理，并记录下来，下节课分享。

（三）实践性作业（探究）

【跨学科挑战】观察一片树叶，先在方格纸上画出它的轮廓，然后按2:1放大画在另一张方格纸上。比一比，放大后的树叶和原树叶有什么相同和不同？（提示：关注叶脉的角度和整体轮廓的相似性）

十、教学反思（预设）

本节课的设计力求打破传统教学的窠臼，以核心素养为导向，通过层层递进的活动引导学生自主建构知识。在实施过程中，预计有以下亮点与挑战：

（一）亮点

情境创设直指本质，通过“正确放大”与“错误放大”的对比，迅速聚焦核心问题，激发了学生的探究欲望。操作活动设计有梯度，从简单的长方形到需要把握角度的三角形和平行四边形，让学生在动手实践中逐步深化对“形状不变”的理解。跨学科内容的融入，拓宽了学生的数学视野，增强了学习的趣味性和现实意义。

（二）挑战与应对

挑战一：在独立操作环节，部分学困生可