《工程数学》广播电视大学历年期末试题及答案

试卷代号：108。

中央广播电视大学2011〜2012学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）

工程数学（本）试题

2012年1月

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1.设，为三阶可逆矩阵，且，则下列（）成立.

A.B.

C.D.

2.设是n阶方阵，当条件（）成立时，n元线性方程组有惟一解.

A.r（A）=nB.r（AXn

C.|A|=0D.6=0

3.设矩阵的特征值为0,2,则的特征值为（）。

A.0,2B.0,6

C.0,0D.2,6

4.若随机变量，则随机变量（）.

A.N(-2,3)B.N(-4,3)

C.N(-4,3:)D.N(-2,3")

5.对正态总体方差的检验用（）.

A.U检验法B.£检验法

C./检验法D.F检验法

二、填空题（每小题3分，共15分）

6.设均为二阶可逆矩阵，则

X\+孙+工3+工4=3

7.线性方程组＜+3与+213+4*4=6一般解的自由未知量的个数为

2xi+x3-

8.设A,B为两个事件，若，则称A与B

9.若随机变量，则

10.若都是的无偏估计，且满足,则称比更有效。

三、计算题（每小题16分，共64分）

11.设矩阵，，那么可逆吗？若可逆，求逆矩阵.

12.在线性方程组

%+2X2+3X3=Z

«—X|+x->=3—A

2xt+3X2+5X3=1

中取何值时:此方程组有解。在有解的情况下，求出通解，

13.设随机变量，求和。

（已知，，）

14.某切割机在正常工作时，切割的每段金属棒长服从正态分布，且其平均长度为10.5cm,标准差为

0.15cm。从一批产品中随机地抽取4段进行测最，测得的结果如下：（单位：cm）

10.4,10.6,10.1,10.4

问：该机工作是否正常（）？

四、证明题（本题6分）

15,设n阶矩阵A满足，试证A为对称矩阵。

参考解答

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1.B2、A3、B4、D5、C

二、填空题（每小题3分，共15分）

VB1

6.

AO.

7.2

8.相互独立

10.D（6】）VD（仇）

三、计算题（每小题16分，共64分）

23

11.解：因为|A-B|=012=1X0,所以A-8可逆.6分

001

]23100-12010-31

又因为(人一B：/)=012010—01001-2

001001_p01001_

口001一2r

­►01001-2............13分

001001.

1-21

所以（A-B）T=01-216分

001

12.解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形

123A123

-1103一人-►0333

2351.0-1-11-2A

一0002-2A•0002-2A

由此可知当义工1时方程组无解，当;1=1时方程组有解.8分

此时方程组的一般解为其中口是自由未知量.

(X2=-x3-f-l

令工3=0,得方程组的一个特解Xo=(-l,l,O)z.

方程组的导出组的一般解为4，其中4是自由未知量.

令马=1,得导出组的解向景X1=(一1,一1,D'.

所以方程组的通解为：X=X°+鬲X[=(-1,1,0)'+鬲(-1,一1,1)',

其中M是任意常数..........................................16分

解：因为（）则丫=与电

13.X〜N8,4,N(O,1).

所以P(|X-8|VD=P("1^^VO.5)=P(-0.5<^=^<0.5)

=0(0.5)-0(-0,5)=20>(0.5)-l=2X0.6915-1=0.383.........................8分

P(X^12)=P(^^^^-^)=a>(2)=0,9773.

16分

14.解：零假设H。：〃=10.5・由于已知。=0・15,故选取样本函数

U=三号〜N（0,D...............................................................................................................5分

经计算得五二】。.375,/=若=。.。75,|六|=|嘀*卜1.67……1。分

由已知条件卬T=L96,且|，^|=1・67V1・96=%7

故接受零假设，即该机工作正常...........................................16分

四、证明题（本题6分）

15.证明：因为AZ=LAA'=I且

A'=1A'=A2A'=A（AA'）=AI=A

所以A为对称矩阵.........................................................6分

试卷代号：1080

中央广播电视大学2010〜2011学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷）

工程数学（本）试题

2011年7月

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1.设，都是n阶方阵，则等式（）成立.

A.B.

C.D.

2.已知2维向星组则至多是（）。

A.1B.2C.3D.4

3.线性方程组解的情况是（）。

A.无解B.有惟一非零解

C.只有零解D.有无穷多解

4.对任意两个事件A,B,笔式（）成立.

A.B.

C.【）.

5.设是来自正态总体的样本,则（）是统计量.

A.B.

C.D.

二、填空题（每小题3分，共15分）

1.设A,B是3阶方阵，其中则

2.设A为n阶方阵，若存在数和非零n维向量，使得,则称为A的

3.若，则

4.设随机变量，若，则

5.若参数的两个无偏估计量和满足，则称比更

三、计算题（每小题16分，共64分）

1.设矩阵，，求.

2.设齐次线性方程组，为何值时，方程组有非零解？在有非零解时求其通解。

3.设，求（1）；（2）o

4.某钢厂生产了一批管材，每根标准直径100mm,今对这批管材进行检验，随机取出9根测得直径

的平均值为99.9mm,样本标准差s=0.47,已知管材直径服从正态分布，问这批管材的质量是否合格？（检

验显著性水平）

四、证明题（本题6分）

设A是可逆的对称矩阵，试证：也是对称矩阵。

参考答案

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1.C2、B3、A4、D5、B

二、填空题（每小题3分，共15分）

1.12

2.特征值

3.0.3

4.3

5.有效

三、计算题（每小题16分，共64分）

1.解：利用初等行变换得

122100"122109'

-1-10010—>012119

135001_013—101

122100-12052—2

—>012110—>01053—2

001-2-11.001一2-11

100—0-42~

—♦01053-2

001-2-11.

「一5-421

即A-'=5310分

-2-11

由矩阵乘法得

--5

X=A"=516分

「2

2.解：因为2

3

所以，当a=5时方程组有非零解，且一般解为"（其中处为自由未知量）

令占=1，得X|=（l11）',则方程组的基础解系为X-通解为包XM其中刈为任意常

数）16分

3.解：（1）由期望的定义得

E(X)=OX0.4+1XO.3+2X0.2+3X0.1=18分

(2)P(X<2)=P(X=0)+P(X=D+P(X=2)

=0.44-0.3+0.2=0.916分

4.解：零假设H。：〃=100.由于未知/，故选取样木函数

z-B

7=4分

$15

已知3=99.9,经计算得

99.9一100

~6716-=0.625

由已知条件£。.05（8）=2.306,

||=0.625<2.306=^os（8）

故接受零假设，即可以认为这批管材的质量是合格的.16分

四、证明题（本题6分）

证明：由已知有A'=A，由矩阵的运算性质可得

（A-,），=（A，）-1

由此有

（A-）=（A'）T=AT

所以A-也是对称矩阵，证毕.6分

试卷代号：1080

中央广播电视大学2010〜2011学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）

工程数学（本）试题

2011年1月

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1.设，都是n阶方阵，则下列等式成立的是（）.

A.B.

C.D.

2.方程组相容的充分必要条件是（），其中.

A.。1+%+以3=0B.at-|-«2—a3=0

C.十七=0D.一%+。2+1«3=0

3.下列命题中不正确的是（）。

A.有相同的特征多项式

B.若是A的特征值，则的非零解向量必是A对应于的特征向量

C.若是A的一个特征值，则AX=O必有非零解

D.A的特征向量的线性组合仍为A的特征向量

4.若事件A与B互斥，则下列等式中正确的是（）.

A.P(A+B)=P(A)+P(B)B.P(B)=1-P(A)

C.P（A）=P（A|B）D.P（AB）=P（A）P（B）

5.设是来自正态总体的样本，则检验假设采用统计量（）.

五一5

RT/7s

x-5D.7-5

1/4

二、填空题（每小题3分，共15分）

6.设，则的根是

7.设4元钱性方程提AX=B有解且，那么的相应齐次方程程的基础解系含有

个解向量。

8.设A,B互不相容，且P（A）>0,则

9.设随机变量，则

10.若样本来自总体，且，则

三、计算题（每小题16分，共64分）

II.设矩阵，求.

12.求下列线性方程组的通解。

2M-4X2+5X3+3七=5

<3%-6X2+5X3+2X4=5

4玉一8X2+15X3+1lx4=15

13.设随机变量，试求⑴；（2）使成立的常数。

（已知，，）

14.从正态总体中抽取容量为625的样本，计算样本均值得，求的置信区间度为，9。％的置信区

间，（已知）

四、证明题（本题6分）

15.设n阶矩阵A满足，则A为可逆矩阵。

参考解答

一、单项选择题（每小题3分,共15分）

I.A2、B3、D4、A5、C

二、填空题（每小题3分，共15分）

I.1,-1,2,,-2

2.3

3.0

4.np

5.N（0」）

三、计算题(每小题16分，共64分)

11.解：由矩阵乘法和转置运算得

-100'nl1-r•11-1'

AA'=11-101013-2........................................6分

「101,p-11.-1-22

12.解：利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵，即

2-45352-4535

3一65251一20-10

■

4-8151115zQ0055,

fl-20-101-20-10

0055500111

10055500000

x.=2X2+工4

「，其中12,4是自由未知量.8分

f*3=­%+1

令g=二=0,得方程组的一个特解令=(0,0,1,0)'・

方程组的导出组的一般解为:

产I=2J4-X

24，其中72,74是自由未知量.

】13=—%

令与=1，/=0,得导出组的解向量X]=(2,1,0,0)。

令后〜。,工4=1,得导出组的解向量％=—1,1)'.........................................13分

所以方程组的通解为：

X=XO+BXI+&2X2=(0,0,1,0)'+九(2，1,0,0)'+A2(1,0,-1,1)',

其中&2是任意实数..........................................16分

13.解：（1）尸（1VXV7）=P（与与=）=P（-1＜学2＜2）

=$（2）-4＞（-1）=0.9773+0.8413-1=0.8186........8分

（2）因为P（XVa）=P（t^V巧造）=中（巧3=0.9

所以^^=1.28,a=3+2X1.28=5.56..................................16分

14.解：巳知。=2,〃=625,且、=三/〜N（0,l）..........................5分

0Ml

因为7=2.5,a=0.01»1—y=0.995,=2.576

Ui-i-^z：=52.576X—=0.206.................io分

5y62o

所以置信度为99%的〃的置信区间为：

[x—劭-于5：,土十“1-号烦]=[2.29492.706].....16分

•Jn4

四、证明题（本题6分）

15.证明：因为（A—Z）（A+/）=A2-7=0,即A2=Z.

所以，A为可逆矩阵...........................6分

试卷代号：1080

中央广播电视大学2009〜2010学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷）

工程数学（本）试题

2010年7月

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1.设，B都是n阶方阵，则下列命题正确的是（）.

A.B.

C.D.

2.向量组的秩是（）.

A.1B.3

C.2D.4

3.n元线性方程组，有解的充分必要条件是（）o

A.B.A不是行满秩矩阵

C.D.

4.袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两球都是红球的概率是

（）.

A.B.

C.D.

5.设是来自正态总体的样本，则（）是无偏估计.

A.B.

C.D.

二、填空题（每小题3分，共15分）

1.设均为3阶方阵，且

2.设为阶方阵，若存在数和非零维向量，使得一,则称为的特征值.

3.设随机变量，则

4.设为随机变量，已知，此时

5.设是未知参数的一个无偏估计量，则有_____

三、计算题（每小题16分，共64分）

1.设矩阵，且有，求.

2.求线性方程组的全部解。

3.设，试求（I）：（2）.（已知，，）

4.据资料分析，某厂生产的一批砖，其抗断强度，今从这批砖中随机地抽取了9块，测得抗断强度

（单位：）的平均值为31.12,问这批砖的抗断强度是否合格？

四、证明题（本题6分）

设是n阶对称矩阵，试证：也是对称矩阵。

参考解答

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1.A2、B3、A4、D5、C

二、填空题（每小题3分，共15分）

1.-18

2.Ax=Ax

3.0.3

4.27

5.E（0）=0

三、计算题（每小题16分，共64分）

1.解：利用初等行变换得

-121001ri-12100*

2-35010-0-11-210

3-24001JIP

I-12]0010

00

0

1-10-9200-20r

0107-2107-27

p015-10I57-I

-201

即A-,=7-2-110分

5-1-1

由矩阵乘法和转置运算得

16分

2.解：将力程组的增广矩阵化为阶梯形

1-31-1nri-3i-ir

一27-21一2010-10

1-43210~1230

2-4822JLO2640_

1-31-111

010-10

0022000220

p0660]100000

方程组的一般解为

及=£（其中乙为自由未知量）

令"4=0,得到方程的一个特解Xo=（l000);

方程组相应的齐次方程的一般解为

工1=5工4

«4=乙（其中心为自由未知量）

=一工4

令.门=1，得到方程的一个基础解系Xi=（51-11）;

于是，方程组的全部解为

X=XkQG（其中A为任意常数）16分

3.解：(1)P(5VXV9)=P(宁宁)=P(1V^^V3)

=<f)(3)-0(l)=O.9987-0.8413=0.1574•8分

(2)P(X>7)-P(^>^~j

=P(叼>2)=1-P(亨42)

=1-0(2)=1-0.9772=0.022816分

4.解：零假设H。=32.5.由于已知，=1.21,故选取样本函数

〜N（0.1）4分

o/4n

已知昼=31.12,经计算得

A/。•明急IT唠浮卜工73

由已知条件“0.975=1・96,

卜3.73>1.96f

故拒绝零假设，即这批矿的抗断强度不合格...................................16分

四、证明题（本题6分）

证明:A,B是同阶矩阵,由矩阵的运算性质可知

（A+B）'=A'+B'

已知A,B是对称矩阵，故有A'=A,B'=B,即

（4+B）'=A+B

由此可知A+B也是对称矩阵，证毕........................................6分

试卷代号：1080

中央广播电视大学2009〜2010学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）

工程数学（本）试题

2010年1月

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1.设为对称矩阵，则条件（）成立.

A.B.

C.D.

2.（）.

A.B.

C.I）.

3.若（）成立，则元方程组有唯一解。

A.B.

C.D.的行向量组线性无关

4.若条件（）成立，则随机事件互为对立事件.

A.B.

C.D.

5.对来自正态总体的一组样本，记，则下列各式中（）不是统计量.

A.R

c.D.

二、填空题（每小题3分，共15分）

6.设均为3阶方阵，且

7.设为阶方阵，若存在数和非零维向量，使得_,则称为相应于特征值的

特征向量.

8.若，则

9.如果随机变量的期望且，那么

10.不含未知参数的样本函数称为

三、计算题（每小题16分，共32分）

11.设矩阵，求.

12.当取何值时，线性方程组有解，在有解的情况下求出此方程组的一般解.

四、计算分析题（每小题16分，共32分）

13.设，试求（1）；（2）.（已知，，）

14.某车间生产滚珠，已知滚珠直径服从正态分布，今从一批产品里随机取出.个，测得直径平均值为

若已知这批滚珠直径的方差为，试找出滚琮直径均值的置信度为0.95的置信区间

五、证明题（本题6分）

15.设随机事件相互独立，试证：也相互独立。

参考解答

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

I.B2、D3、A4、C5、C

二、填空题（每小题3分，共15分）

6.8

7.Ax=Ax

8.0.3

9.20

10.统计量

三、计算题（每小题16分，共64分）

11.解:利用初等行变换得

1-10100-10100

-121010011110

2