《17.2 勾股定理的逆定理》教案和同步练习

《17.2勾股定理的逆定理》教案（一）

一、教学目标

1.体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。

2.探究勾股定理的逆定理的证明方法。

3.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。

二、重点、难点

1.重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。

2.难点：勾股定理的逆定理的证明。

三、例题的意图分析

例1（补充）使学生了解命题，逆命题，逆定理的概念，及它们之间的关系。

例2（P31探究）通过让学生动手操作，画好图形后剪卜.放到一起观察能否

重合，激发学生的兴趣和求知欲，锻炼学生的动手操作能力，再通过探究理论证

明方法，使实践上升到理论，提高学生的理性思维。

例3（补充）使学生明确运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角

三角形的一般步骤：①先判断那条边最大。②分别用代数方法计算出a'b?和'?

的值。③判断£+9和C?是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不

是直角三角形。

四、课堂引入

创设情境：⑴怎样判定一个三角形是等腰三角形？

⑵怎样判定一个三角形是直角三角形？和等腰三角形的判定进行对比，从勾

股定理的逆命题进行猜想。

五、例习题分析

例1（补充）说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？

⑴同旁内角互补，两条直线平行。

⑵如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。

⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

⑷直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。

分析：⑴每个命题都有逆命题，说逆命题时注意将题设和结论调换即可，但

要分清题设和结论，并注意语言的运用。

⑵理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，

也可能一真一假，还可能都假。

解略。

例2(P74探究)证明：如果三角形的三边长

a,b,c满足a2+b?=c2,那么这个三角形是直角三才

角形。/I/

分析：⑴注意命题证明的格式，首先要根据/°/Ib

a

题意画出图形，然后写已知求证。B/」hB1Z.dc

⑵如何判断一个三角形是直角三角形，现在

只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问题转化为如何判断一

个角是直角。

(3)利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解

决。

⑷先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边AB=c,则通过

三边对应相等的两个三角形全等可证。

⑸先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的

兴趣和求知欲，再探究理论证明方法。充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，

由实践到理论学生更容易接受。

证明略。

例3(补充)已知：在△ABC中，NA、NB、NC的对边分别是a、b、c,a=n2

—1,b=2n,c=n'+l(n>l)

求证：ZC=90°o

分析：(1)运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步

骤：①先判断那条边最大。②分别用代数方法计算出和C?的值。③判断a2+b2

和/是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。

⑵要证NC=90°,只要证△ABC是直角三角形，并且c边最大。根据勾股定

理的逆定理只要证明a'b?气2即可。

⑶由于a?+b2=(n2-l)2+(2n)2=n'+2n2+l,c2=(n2+l)2=n1+2n2+l,

从而a2+b2=c2,故命题获证。

六、课堂练习

1.判断题。

⑴在一个三角形中，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对

的角是直角。

⑵命题：”在一个三角形中，有一个角是30°,那么它所对的边是另一边的

一半。”的逆命题是真命题。

⑶勾股定理的逆定理是：如果两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这

个三角形是直角三角形。

(4)Z\ABC的三边之比是1：1：V2,则aABC是直角三角形。

2.ZSABC中NA、NB、NC的对边分别是a、b、c,下列命题中的假命题是

()

A.如果/C-/R=/鼠则△ARC是直角三角形c

B.如果c2=b2—a2,则aABC是直角三角形，且NC=90°。

C.如果(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是直角三角形。

D.如果NA：ZB：ZC=5：2：3,则△ABC是直角三角形。

3.下列四条线段不能组成直角三角形的是()

A.a=8,b=15,c=17

B.a=9,b=12,c=15

C.a=亚，b=V3,c=>/2

D.a：b：c=2：3：4

4.已知：在aABC中，NA、ZB.NC的对边分别是a、b、c,分别为下列

长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？

(l)a=V3,b=2V2,c=V5；⑵a=5,b=7,c=9；

⑶a=2,b=V3,c=y/l•⑷a=5,b=2A/6,c=l»

七、课后练习，

1.叙述下列命题的逆命题，并判断逆命题是否正朝。

⑴如果a?〉。，那么a'O；

3

⑵如果三角形有一个的小于90°,那么这个三角形是锐角三角形；

⑶如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等；

⑷关于某条直线对称的两条线段一定相等。

2.填空题。

⑴任何一个命题都有,但任何一个定理未必都有。

⑵“两直线平行，内错角相等。”的逆定理是。

⑶在AABC中，若a2=b2-c2,贝U^ABC是三角形，是直角；

若a"Vb"-c2,则NB是o

⑷若在AABC中，a=m'—n2,b=2mn,c=m"+n2,则AABC是三角形。

3.若三角形的三边是⑴1、△、2；⑵(3)32,42,52(4)9,

345

40,41；

(5)(m+n)2-l,2(m-n),(m+n)2+l；则构成的是直角三角形的有()

A.2个R.3个C.4个D.5个

4.已知：在AABC中，ZA.NB、/C的对边分别是a、b、c,分别为下列

长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？

⑴a=9,b=41,c=40；(2)a=15,b=16,c=6；

⑶a=2,b=2-73,c=4；(4)a=5k,b=12k,c=13k(k>0)o

参考答案：课堂练习：

1.对，错，错，对；2.D；3.D；

4.⑴是,NB；⑵不是；⑶是,ZC；⑷是，ZAo

课后练习：

1.⑴如果a2>0,那么a3

>0；假命题。

⑵如果三角形是锐角三角形，那么有一个角是锐角；真命题。

⑶如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等；假命题。⑷两

条相等的线段一定关于某条直线对称；假命题。

2.⑴逆命题，逆定理；⑵内错角相等，两直线平行；⑶直角，ZB,钝角；

⑷直角。3.B4.⑴是，ZB；⑵不是，；⑶是，/C；⑷是，ZCo

4

<17.2勾股定理的逆定理》教案（二）

一、教学目标

1.灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

2.进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。

二、重点、难点

1.重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

2.难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

三、例题的意图分析

例1（P75例2）让学生养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。

例2（补充）培养学生利用方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理的

逆定理解决实际问题的意识。

四、课堂引入广

创设情境：在军事和航海上经常要确定方向和位置，从

而使用一些数学知识和数学方法。

五、例习题分析J

例1（P33例2）

分析：⑴了解方位角，及方位名词；

⑵依题意画出图形；

⑶依题意可得PR=12X1.5=18,PQ=16X1.5=24,QR=30；

⑷因为242+182=3（）2,PQ2+PR2=QR2,根据勾股定理的逆定理，知NQPR=90°；

（5）ZPRS=ZQPR-ZQPS=45°。

小结：让学生养成“己知三边求角，利用勾股定理的逆定理”的意识。

例2（补充）一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边

的长度比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。

分析：⑴若判断三角形的形状，先求三角形的三边长：

⑵设未知数列方程,求出三角形的三边长5、12、13；

⑶根据勾股定理的逆定理，由5212J132,知三角形为直角三角形。

5

解略。

六、课堂练习C

1.小强在操场上向东走80m后，又走了60m,再走

100m回到原地。小强在操场上向东走了80m后,又走69m

的方向是oBDA

2.如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿，早晨测得它的影长为

4米，中午测得它的影长为1米，则A、B、C三点能

否构成直角三角形？为什么？

3.如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进

入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距

13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到

达C地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡逻艇每小时航行50

海里，航向为北偏西40。，问：甲巡逻艇的航向？

七、课后练习

1.一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三

角形，则三边长分别为,此三角形的形状

为O

2.一根12米的电线杆AB,用铁丝AC、AD固定，

现已知用去铁丝AC=15米，AD=13米，又测得地面上B、

C两点之间距离是9米，B、D两点之间距离是5米，贝!

电线杆和地面是否垂直，为什么？

3.如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形

土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面C

积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得

AB=4米,BC=3米,CD=13米，DA=12米,又已知N

B=90°o

八、参考答案：

课堂练习：

6

1.向正南或正北。

2.能，BC2=BD2+CD2=20,AC2=AD-+CD2=5,AB2=25,所以BC'+AC、AB2；

3.由AABC是直角三角形，可知NCAB+NCBA=90°,所以有NCAB=40°,

航向为北偏东50°。

课后练习：

1.6米，8米，10米，直角三角形；

2.△ABC、Z^ABD是直角三角形，AB和地面垂直。

3.提示：连结AC。AC2=AB2+BC2=25,AC2+AD2=CD2,因此NCAB=90°,

S四边彩=S/\M）C+S/\ABC=36平方米。

《17.2勾股定理的逆定理》教案

一、教学目标

知识目标:

1、体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。

2、探究勾股定理的逆定理的证明方法。

3、理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。

能力目标:

（1）通过对勾股定理的逆定理的探索，经历知识的发生、发展和形成的过

程；

（2）通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合

方法的应用。

情感目标：

（1）通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的

内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐及辩证统一的关系：

（2）通过对勾股定理的逆定理的探索，培养了学生的交流、合作的意识和

严谨的学习态度。同时感悟勾股定理和逆定理的应用价值。

二、教学重点难点

重点：证明勾股定理的逆定理；用勾股定理的逆定理解决具体的问题。

7

难点：理解勾股定理的逆定理的推导。

三、教学准备

圆规、三角板、一根打了13个等距离结的细绳子、钉子、小黑板

四、教学过程

（1）复习旧课

1、什么是勾股定理？

2、勾股定理的变试。

（2）情境导入

1、在古代，没有直尺、圆规等作图工具，人们是怎样画直角三角形的呢？

【实验观察】

用一根打了13个等距离结的细绳子，在小黑板上，用钉子钉在第一个结上,

再钉在第4个结上，再钉在第8个结上，最后将第十三个结与第一个结钉在一

起.然后用三角板量出最大角的度数.可以发现这个三角形是直角三角形。（这

是古埃及人画直角的方法）

2、用圆规、刻度尺作△ABC,使AB=5cm,AC=4cm,BC=3cm,量一量NC。

再画一个三角形，使它的三边长分别是5cm、12cm、13cm,这个三角形有

什么特征？

3、为什么用上面的三条线段围成的三角形，就一定是直角三角形呢？它们

的三边有怎样的关系？（学生分组讨论，教师适当指导）

学生猜想：如果一个三角形的三边长。满足下面的关系a?=心,

那么这个三角形是直角三箱形。

4、指出这个命题的题设和结论，对比勾股定理，理解互逆命题。

（3）探究新知

1、探究：在下图中，AABC的三边长〃，b,。满足。2+"=02。如果AABC

是直角三角形，它应该与直角边是〃，〃的直角三角形全等。实际情况是这样吗？

我们画一个直角三角形AB'C使NC'=90°,A'C'二b,BC二。。把画好的4

ABC,剪下，放到AABC上，它们重合吗？（学生分组动手操作，教师巡视指

导）

8

A

2、用三角形仝等的方法证明这个命题。（由于难度较大，由教师示范证明

过程）

己知：在ZkABC中,AB=*BC=«,AC=b,并且如上图⑴。

求证：ZC=90°o

证明：作AA'B'C',使NC'=90°,A'C'=力，B'C=。,如上图

（2）,

那么A'B'2=a2+b2（勾股定理）

XVa2+b2=c2（已知）

・・・A'B'2"2,A，B'二c（A'B'>0）

在△ABC和△△'B'C'中，

二°

<BC=B'C

ICA-〃-C，A，

AB"二A'B'

.,.△ABC^AA,B'C'（SSS）

AZC=ZC,=90°,

:•△ABC是直角三角形

勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个

三角形是直角三角形。

【强调说明】（1）勾股定理及其逆定理的区别。

（2）勾股定理是直角三角形的性质定理，逆定理是直角三角形的判定定理。

5、如果原命题成立，那么逆命题也成立吗？你能举出互为逆定理的例子吗？

9

(4)应用举例

1、例题判断由线段。，人，。组成的三角形是不是直角三角形：

(1)4=15,b=8,c=17.

(2)。=13,〃=14,c=15o

2、像15、8、17这样，能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称

为勾股数。你还能举出其它一组勾股数吗？

(5)练习巩固

1.判断由线段。，久。组成的三角形是不是直角三角形：

(1)4=7,〃=24,c=25.

(2)a=L5,b=2,c=2.5.

53

a--c--

(3)4,〃=1,4.

(4)〃=40,b=50,c=60o

2.如果三条线段长。，b,。满足-〃，这三条线段组成的三角形是

不是直角三角形？为什么？

3.说出下列命题的逆命题。这些命题的逆命题成立吗？

(1)两条直线平行，内错角相等；

(2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；

(3)全等三角形的对应角相等；

(4)角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

(6)、课堂总结

通过这节课的学习，你有什么收获？还有什么困惑？

这节课我们学习了：

1、勾股定理的逆定理。

2、如何证明勾股定理的逆定理。

3、互逆命题和互逆定理。

4、利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形。

(7)作业布置

P76习题18.2第2、4题。

板书设计

17.2勾股定理的逆定理

一、古埃及人画直角二、探究六、课堂总结

的方法勾股定理的逆定理七、作业布置

二、猜想：如果一个三角:如果三角形两边的平方和

形的三边等于第三边的平方,那么这

长&4C满足下面的关系个三角形是直角三角形。

那么这个

四、应用举例

三角形是直角三角形，

五、练习巩固

课题：17.2勾股定理的逆定理(1)

教学目标：

1.体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。

2.探究勾股定埋的逆定埋的证明方法。

3.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。

重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。

难点：勾股定理的逆定理的证明。

一、自主学习

1.说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？

⑴同旁内角互补，两条直线平行。

⑵如果两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。

⑶线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

⑷直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。

11

2.勾股定理的逆命题

小结：（1）每一个命题都有逆命题.

（2）一个命题的逆命题是否成立与原命题是否成立没有因果关系.

（3）每个定理都有逆命题，但不一定都有逆定理.

二、交流展示

例1（P32探究）证明：如果三角形的三边长a,b,c满足a?+b2=c2,那么这

个三角形是直角三角形。

归纳：勾股定理的逆定理

例2：判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形：（理解勾股数）

(1)a=15,b=8,c=17.(2)a=13,b=14,c=15.

运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：①先

判断那条边最大。②分别用代数方法计算出a2+b）和不的值。③判断〜+9和c?

是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。

三、合作探究

例3、已知：在aABC中，NA、NB、NC的对边分别是a、b、c,

a=n2—1,b=2n,

c=n2+l（n>l）求证：ZC=90°。

四、达标测试

1.填空题。

⑴任何一个命题都有,但任何一个定理未必都有o

⑵“两直线平行，内错角相等。”的逆定理是o

⑶在aABC中，若a2=b2-c2,则aABC是三角形，是直角；

若a2Vb2—。2,则NB是o

12

⑷若在△ABC中，a=m2—n2,b=2mn,c=m'+n2,则△ABC是三角形。

(5)Z\ABC的三边之比是1：1：V2,则aABC是三角形。

2.ZSABC中NA、ZB>NC的对边分别是a、b、c,下列命题中的假命题是

()

A.如果NC—NB=NA,则AABC是直角三角形。

B.如果:b2—a2,则AABC是直角三角形，且NC=90°。

C.如果(c+a)(c-a)=b2,则△ABC是直角三角形。

D.如果NA：ZB：ZC=5：2：3,则4ABC是直角三角形。

3.下列四条线段不能组成直角三角形的是()

A.a=8,b=15,c=17B.a=9,b=12,c=15

C.a--^5,b=-^3,c=V2D.ci：b：c=2：3：4

4.已知：在△ABC中，NA、ZB.NC的对边分别是a、b、c,分别为下列

长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？

⑴a=百，b=2V2,c=y[5：(2)a=5,b=7,c=9；

⑶a=2,b=V3,c=V7；(4)a=5,b=2"，c=l。

(5)a=5k,b=12k,c=13k(k>0)<,

作业：1、教材P34T1

2、能力培养(第一课时)

教学反思：有勾股定理作为基础，学生再学习勾股定理的逆定理比较容易，

学生掌握情况很好，但学生对有些命题的逆命题把握不是十分准确，有待于加强

练习。

18.1勾股定理的逆定理(2)

教学目标

1.灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

13

2.进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识。

重难点1.重点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

2.难点：灵活应用勾股定理及逆定理解决实际问题。

一、自主学习

1、若三角形的三边是(1)1、6、2；⑵1」」；(3)32,42,52

345

(4)9,40,41；(5)(m+n)2—1,2(m+n),(m+n)2+1；

则构成的是直角三角形的有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

2、已知：在△ABC中，NA、NB、/C的对边分别是a、b、c,分别为下列

长度，判断该三角形是否是直角三角形？并指出那一个角是直角？

⑴a=9,b=41,c=40；⑵a=15,b=16,c=6；⑶a=2,b=2x/5,c=4；

二、交流展示

例1(P33例2)某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”

号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里,

“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后分别位于Q、R处,

并相距30海里.如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪

个方向航行吗？

分析：⑴了解方位角，及方位名词；⑵依题意画出图形；⑶依题意可求PR,

PQ,QR；

⑷根据勾股定理的逆定理,求NQPR；⑸求N

RPNo

小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股

定理的逆定理”的意识。

例2、一根30米长的细绳折成3段，围成一个三角形，其中一条边的长度

比较短边长7米，比较长边短1米，请你试判断这个三角形的形状。

分析：⑴若判断三角形的形状，先求三角形的三边长；

⑵设未知数列方程，求出三角形的三边长；

⑶根据勾股定理的逆定理，判断三角形是否为直角三角形。

14

三、合作探究

例3.如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸

让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明我了一卷米尺，测得AB=4

米，BC=3米,米=13米,DA=12米,又已知NB=90°。

四、达标测试

1.一根24米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别

为，此三隹形的形状为O

2.小强在操场上向东走80nl后，又走了60m,再走100nl回到原地。小强在

操场上向东走了80m后，又走60m的方向是。

3.一根12米的电线杆AB,用铁丝AC、AD固定，现已知用去铁丝AC=15米,

AD=13米，又测得地面上E、C两点之间距离是9米，B、D两点之间距离是5米,

A

则电线杆和地面是否垂直，为什么？

4.如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙

两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C

地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里，乙巡至艇每小时航行50海里,

航向为北偏西40。，问：甲巡逻艇的航向？

CN

作业：1、教材P34T5、6

15

2、能力培养（第二课时）

教学反思：勾股定理和勾股定理的逆定理在实际生活中的应用，有个别学生

不能准确把握题意，还需进一步巩固练习。

《17.2勾股定理的逆定理》同步练习

一、单选题（共15题；共30分）

1、已知AABC的三边长分别为5,13,12,则AABC的面积为（）

A、30

B、60

C、78

D、不能确定

2、下列各组数是勾股数的是（）

A、5,12,13

B、4,5,6

C、7,12,13

D、9,12,13

3、下列几组数能作为直角三角形的三边长的是（）

A、5,12,13

B、7,12,15

C、12,15,20

D、12,18,22

4、满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（）

A、三内角之比为1：2：3

B、三边长的平方之比为1：2：3

C、三边长之比为3：4：5

D、三内角之比为3：4：5

5、下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（）

A、3,4,5

16

B、4,5,6

C、5,12,13

D、6,8,10

6、下列各组数是三隹形的三边，能组成直角三角形的一组数是（）

A、2,3,4

B、3,4,5

C、6,8,12

D、一区后

7、若线段a,b,c组成入△,则它们的比为（）

A、2：3：4

B、3：4：6

C、5：12：13

D、4：fi：7

8、下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的

是（）

A、5m,4

B、1,£后

C、6,7,8

D、2,3,4

9、小明想做一个直隹三角形的木架，以下四组木棒中，哪一组的三条能够

刚好做成（）

A^3cm,4cm,7cm

B、6cm,8cm,12cm

C^7cm,12cm,15cm

D^8cm,15cm,17cm

10、已知三组数据：①2,3,4；②3,4,5；③1,62.分别以每组数

据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有（）

A、②

17

B、①②

C、①③

D、②③

11、为迎接“五一”的到来，同学们做了许多拉花布置教室准备召开“五

一”联欢晚会，小刚搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上,

则梯脚与墙距离应为（）

A、0.7米

B、0.8米

C、0.9米

D、1.0米

12、在aABC中，ZA,ZB,NC的对边分别为a,b,c,且（a+b）（a-b）

=c2，则（）

A、NA为直角

B、NC为直角

C、NB为直角

D、不是直角三角形

13、如图，一架云梯25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯

子的顶端下滑4米，那么梯子的底部在水平方向上滑动了（）

A、4米

B、6米

C、8米

D、10米

14、如图，一根木杆在离地面3m处折断，木杆顶端落在离木杆底端4nl处,

木杆折断之前的高度是（）

18

A、5m

B、6m

C、7m

D、8m

15、已知a、b、c是三角形的三边长，如果满足（。-6）~+历行+匕-1山0,

则三角形的形状是（）

A、底与边不相等的等腰三角形

B、等边三角形

C、钝角三角形

D、直角三角形

二、解答题（共5题；共25分）

16、观察下列勾股数：

①3、4、5,且3?二4+5；

②5、12、13,且5?=12+13；

③7、24、25,且7三24+25；

④9,b,c,且一二b+c；

•••

（1）请你根据上述规律，并结合相关知识求：b,C等于多少？

（2）猜想第n组勾股数，并证明你的猜想.

17、小明想知道学校的旗杆有多高，他发现旗杆顶上的绳子BD垂到地面还

多CD-1米，当他把绳子的下端D拉开5米到后，发现下端D刚好接触地面A.你

能帮他把旗杆的高度求出来吗？

19

18、如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树

20米的池塘C,而另一只爬到树顶D后直扑池塘C,结果两只猴子经过的距离相

等，问这棵树有多高？

19、省道S226在我县境内某路段实行限速，机动车辆行驶速度不得超过

60km/h,如图，一辆小汽车在这段路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车

速检测仪A处的正前方36m的C处，过了3s后，测得小汽车与车速检测仪间距

离为60m,这辆小汽车超速了吗？

20、如图,在四边形ABCD中,已知AB=4cm,BC=3cm,AD=12cm,DC=13cm,

NB二90°,求四边形ABCD的面积。

20

三、填空题（共5题；共7分）

21、有一根长24cm的小木棒，把它分成三段，组成一个直角三角形，且每

段的长度都是偶数，则三段小木棒的长度分别是________cm,cm,

________cm.

22、有一组勾股数，其中的两个分别是8和17,则第三个数是.

23、如图，在2X2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B,在余

卜的7个点中任取一点C,使AABC为直角三角形的点C有________个.

24、观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3,4,5；②5,1"13；③7,

24,25；④9,40,41；…，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数：

25、一个三角形的三边长分别为15cm、20cm.25cn,则这个三角形最长边

上的高是________cm.

答案解析部分

一、单选题

1、

【答案】A

【考点】三角形的面枳，勾股定理的逆定理

【解析】

，分析7本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的面积公式.

【解答】V52+122=132,

••・三角形为直角三角形，

•・•长为5,12的边为直角边,

1

・••三角形的面积=2X5X12=30.

故选：A.

乙点用7本题需要学生根据勾股定理的逆定理和三角形的面积公式结合求

解.

2、

【答案】A

【考点】勾股数

【解析】【解答】解：A、是，因为52+122=132；

B、不是，因为42+52工62；

C、不是，因为72+不会132；

D、不是，因为9?+不是13?.

故选：A.

【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算分析，从而得到答案.

3、

【答案】A

【考点】勾股数

【解析】【解答】解：A、52=25,122=144,132=169,

25+144=169,

则5,12,13能作为直角三角形的边长，故选项正确：

B、72=49,12—44,152=225,

49+144^225,

故7,12,15不能作为直角三角形的边长，故选项错误；

C、122=144,152=225,20M00,

144+225^400,

故12,15,20不能作为直角三角形的边长，故选项错误；

D、122=144,18M24,22M84,

144+324^484,

故12,18,22不能作为直角三角形的边长，故选项错误.

故选A.

【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两

22

小边的平方和是否等于最长边的平方.

4、

【答案】D

【考点】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】A项满足三角形中有一个内角为90°,B项满足勾股定理的

逆定理，C项符合勾股数的比例关系，唯有D项不是直用三角形，故选D【分析】

学生能够充分辨别三角形中角、边、边长的平方所能判定直角三角形的条件，是

学习了勾股定理的逆定理后，对•直角三角形的认识的一个新的知识体系

5、

【答案】B

【考点】勾股定理的逆定理

【解析】【分析】勾股定理的逆定理：若一个三角形的两边长的平方和等于

第三边的平方，则这个三角形的直角三角形.

【解答】A.32+42=52,C.52+122=132,D.62+82=102,均不符合题

意；

B.42+52=41^62,不能作为直角三角形的三边长，符合题意.

【点评】本题是基础应用题，只需学生熟练掌握勾股定理的逆定理，即可完

成.

6、

【答案】B

【考点】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：A、2'32±42,故不是直角三角形，故此选项错误；

B、42+32=572,故是直角三角形，故此选项正确；

C、62+8V122,故不是直角三角形，故此选项错误；

D、（G）2+（日）:工（〃）2,故不是直角三角形，故此选项错误.

故选B.

【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方

即可.

7、

23

【答案】C

【考点】勾股定理的逆定理

【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理得：要能够组成一个直角三角形,

则三边应满足：两条较小边的平方和等于最大边的平方.

A、22+32=13^42,故不是直角三角形.故选项错误；

B、32+42=25^36:，,故不是直角三角形.故选项错误；

C、52+122=169=132,故是直角三角形，故选项正确；

D、42+62=52^72,故不是直角三角形.故选项错误.

故选C.

【点评】解答本题的关键是掌握能够熟练运用勾股定理的逆定理来判定一个

三角形是否为直角三角形.

8、

【答案】B

【考点】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】A、（后）（4）2金（「）2,不能构成直角三角形，

故错误；

B、了+（B）2=（52,能构成直角三角形，故正确；

C、62+72^82,不能构成直角三角形，故错误；

D、22+32^42,不能构成直角三角形，故错误.

故选：B

【分析】知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比

较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是.

9、

【答案】D

【考点】勾股数

【解析】【解答】解：A、32+42^72,故不是直角三角形，故此选项错误;

B、62+82^122,故不是直角三角形，故此选项错误；

C、7旺122关16,故不是直角三角形，故此选项错误；

D、82+152=172,故是直角三角形，故此选项正确.

24

故选D.

【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方

即可.

10、

【答案】D

【考点】勾股定理的逆定理

【解析】/分析J根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的

平方即可构成直角三角形.只要判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平

方即可判断.

【解答】①・・・22+32=13W42,

・•・以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故不符合题意；

②•・•32+42=52,

・•・以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意；

③・.・12+（6）2=2',

・•・以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意.

故构成直角三角形的有②③.

故选：D.

（点评7本题主要考查了勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否

能构成直角三角形的三边，判断的方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于

最大数的平方即可判断

11、

【答案】B

【考点】勾股定理的应用

【解析】【分析】由题意分析，满足2.5是该直角三角形的斜边，所以需要

满足条件炉+242=2父=丫=0.8,

故选B

【点评】本题属于对勾股定理的基本知识的理解和运用以及分析

12、

25

【答案】A

【考点】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：V(a+b)(a-b)=c:

Aa2-b2=c2,即c2+b2=£,故此三角形是直角三角形，a为直角三角形

的斜边，

AZA为直角.

故选A.

【分析】先把等式化为a?-1)2飞2的形式，再根据勾股定理的逆定理判断出

此三角形的形状，进而可得出结论.

13、

【答案】C

【考点】勾股定理的应用

【解析】【解答】解:

由题意知AB=DE=25米,BC=7米，AD=4米,

;在直角^ABC中，AC为直角边，

AAC=J匿-王=24米,

已知AD=4米，贝l」CD=24・4=20(米),

•・•在直角^CDE中，CE为直角边

ACE=伽2.。一刁5(米)，

BE=15米-7米二8米.

故选：C.

【分析】根据梯子长度不会变这个等量关系，我们可以根据BC求AC,根据

AD、AC求CD,根据CD计算CE,根据CE,BC计算BE,即可解题.

26

14、

【答案】D

【考点】勾股定理的应用

【解析】【解答】解：•・•一棵垂直于地面的大树在离地面3米处折断，树的

顶端落在离树杆底部4米处，

.••折断的部分长为一+42=5,

・•・折断前高度为5+3=8(米).

故选D.

【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可

求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度.

15、

【答案】D

【考点】平方根，算术平方根，勾股定理的逆定理，绝对值的非负性

【解析】【解答】解：•・•(a・6)220,标耳20,|c-10|>0,

Aa-6=0,b-8=0,c-10=0,

解得:a=6,b=8,c=10,

V62+82=36+64=100=102,

・••是直角三角形.

故选D.

【分析】首先根据绝对值，平方数与算术平方根的非负性，求出a,b,c

的值，在根据勾股定理的逆定理判断其形状是直角三角形.

二、解答题

16、

【答案】解：(1)・・•由勾股定理得:c2-b2=92,

:.(c-b)(c+b)=81,

Vb+c=81,

Ac-b=l,

解得：b=40,c=41.

(2)猜想第n组勾股数为:2n+l,2n2+2n,2n2+2n+l,

27

•・•(2n+l)2+(2n2+2n)2=4n4+8n3+8n2+4n+l,

(2n2+2n+l)2=4n4+8nJ+8n2+4n+l,

・・・(2n+l)2+(2n2+2n)2=(2n2+2n+l)2,

Tn是整数，

/.2n+l,2n2+2n,2n2+2n+l,是一组勾股数.

【考点】勾股数

【解析】【分析】(1)由勾股定理得：，2i2=9之，进而可得(C-b)(C+b)

=81,然后由b+c=8L可求c-b=L从而可求:b=40,c=41；

(2)认真观察三个数之间的关系：首先发现每一组的三个数为勾股数，第

一个数为从3开始连续的奇数，第二、三个数为连续的自然数；进一步发现第一

个数的平方是第二、三个数的和；最后得出第n组数为2n+l,2n2+2n,2n2+2n+l,

由此规律解决问题.

17、

【答案】解：由题意得：AC=5米，AB=(BC+1)米，

VBC2+AC2=AB2,

ABC2+52=(BC+1)2,

解得：BC=12.

答：旗杆的高度是12米.

【考点】勾股定理的应用

【解析】【分析】首先根据题意可得AC=5米，AB=(BC+1)米，再根据勾股

定理可得BC?+5。(BC+1)?,解方程即可.

1