【吃透中考数学29个几何模型】模型02 截长补短

专题02截长补短

【基础训练】

1、如图，AC平分NBAD,CE_LAB于点E,ZB+ZD=18O°,求证：AE=AD+BE.

解析：如图，在EA上取点F,使EF=BE,连接CF,

VCE1AB

.*.CF=CB

ZCFB=ZB

VZAFC+ZCFB=180°,ZD+ZB=18O°

・•・ZD=ZAFC

VAC平分/BAD

即NDAC=NFAC

在△ACD和△ACF中

ZD=ZAFC

ZDAC=ZFAC

AC=AC

AACD^AACF(AAS)

AAD=AF

.*.AE=AF+EF=AD+BE

2、如图，已知在△ABC中，ZC=2ZB,Z1=Z2,求证：AB=AC+CD

解析：在AB上取一点E,使AE=AC,

连接DE,

VAE=AC,Z)=Z2,AD=AD

/.△ACD^AAED

.*.CD=DE,ZC=Z3

VZC=2ZB

/.Z3=2ZB=Z4+ZB

:.Z4=ZB,r.DE=BE,CD=BE

VAB=AE+BE

AAB=AC+CD

3、如图，在五边形ABCDE中，AB=AE,BC+DE=CD,ZB+ZE=180°,求证：AD平分NCDE.

延长CB至点F,使BF=DE,连接BF=DE,连接AF,AC

VZl+Z2=180°,ZE+Z1=I8O°

Z.Z2=ZE

VAB=AE,Z2=ZE,BF=DE

.,.△ABF^AAED

ZF=Z4,AF=AD

VBC+BF=CD

即FC=CD

XVAC=AC

:.AACF^AACD

，ZF=Z3

ZF=Z4

Z3=Z4

，AD平分NCDE.

4、已知四边形ABCD中，ZABC+ZADC=180°,AB=BC,如图，点P,Q分别在线段AD,DC上，满足PQ=AP+CQ,

求证：ZPBQ=90°-1ZADC

解析：

如图，延长DC,在上面找一点K,使得CK=AP,连接BK,

,:ZABC+ZADC=I8O°

:.ZBAD+ZBCD=I8O°

VZBCD+ZBCK=I8O°

/.ZBAD=ZBCK

在△8/小和^BKC中

AP=CK

ZBAP=ZBCK

AB=BC

/.△BPA^ABKC(SAS)

:.ZABP=ZCBK,BP=BK

VPQ=AP+CQ

:.PQ=QK

•.•在△BPQ和^BKQ中

BP=BK

BQ=BQ

PQ=KQ

/.△BPQ^ABKQ(SSS)

/.ZPBQ=ZKBQ

JZPBQ=|ZABC

VZABC+ZADC=180°

:.ZABC=1800-ZADC

・•，/ABC=90。=NADC

22

:.ZPBQ=90°-^ZADC

5、如图，在△ABC中，ZB=60°,△ABC的角平分线AD、CE相交于点O,求证：AE+CD=AC.

解析：

由题意可得NAOC=120。

:.ZAOE=ZDOC=1800-ZAOC=180°-120°=60°

在AC上截取AF=AE,连接OF,如因

在△人0£和4AOF中，

AE=AF

ZOAE=ZOAF

OAOA

AAAOE^AAGF(SAS)

:.ZAOE=ZAOF,

:.ZAOF=60°

:.ZCOF=ZAOC-ZAOF=60°

又NCOD=60°,

:.ZCOD=ZCOF

同理可得：△CODg2\COF(ASA)

r.CD=CF

XVAF=AE

，AC=AF+CF=AE+CD

即AE+CD=AC

6、如图所示，AB〃CD,BE,CE分别是/ABC,/BCD的平分线，点E在AD上，求证：BC=AB+CD.

解析：

在BC上取点F,使BF=AB

VBE.CE分别是NABC,NBCD的平分线

:.NABE=/FBE,NBCE=NDCE

VAB/7CD

，ZA+ZD=180°

在△人8£和4FBE中

AB=FB

ZABE=ZFBE

BE=BE

/.AABE^AFRE(SAS)

:.ZA=ZBFE

・•・ZBFE+ZD=180°

■:ZBFE+ZEFC=I8O°

/.ZEFC=ZD

在△EFC和△EDC中，

ZEFC=ZD

ZBCE=ZDCE

CE=CE

AAEFC^AEDC(AAS)

ACF=CD

VBC=BF+CF

:.BC=AB+CD

D

BF

7、四边形ABCD中，BD>AB.AD=DC,DE_LBC,BD平分NABC

(1)证明：ZBAD+ZBCD=180°

(2)DE=3,BE=6,求四边形ABCD的面积.

D

【解析】(1)过点D作BA的垂线，碑△DMA芸DEC(HL)

VZABC+ZMDE=180°,ZADC=ZMDE

/.Z/\BC+ZADC=180°

.,.ZBAD+ZBCD=I8O°

(2)S四边形ABCD=2SABED=18

在△ABC中，AB=CD-BD,求证:

A

liD，：尊好A

【解析】在CD上取一点M使得DM=DB

贝”CD-BD=CM=AB

:.ZAMD=ZB=2ZC

9、如图，△ABC中，BD_LAC于点D,CE_LAB于点E,且BD,CE交于点F,点G是线段CD上一点，连

接AF,GF,若AF=GF,BD=CD.

求/CAF的度数

判断线段FG与BC的位置关系，并说明理由.

(1)延长AF与BC交于点M,可知AF_LBC

VBD=DC,BD±DC/.ZFBC=45°

VAF=FG,FD±AG.\ZAFD=GFD=45°

r.AFlGF

/.ZCAF=45°

(2)由(1)可证FG〃BC

【提升训练】

1.如图，在△ABC中，NA=60。，BD,CE分别平分N48C和N4C8,BD,CE交于点、0,试判断8E,

CD,8C的数量关系，并加以证明.

证明：在BC上数取BF=BE,连接0E

•.,BD平分NA8C,

:・/EBO=NFBO.

:.AEBO04FBO.

:"EOB=/FOB.

VZ4=60°,RD,CE分别平分/力8C和N4C8,

:.NBOC=1800-zone-NOCB=180。一一亚ACB=180°-1(180°-NA)=120°.

；・NEOB=NDOC=60。.

；・NBOF=60\ZFOC=ZDOC=60°.

•:CE平分NDCB,

：.4DC0=4FC0,

•••△OCOg△"CO.

：.CD=CF.

，BC=B尸+CF=BE+CD.

2.如图，AD//BC,DC1AD,AE平分NBA。，E是OC的中点.问：AD,BC,A8之间有何关系？并说明

理由.

解：八8=人。+8c.理由：作于F,连接

〈AE平分/8A。，DCLAD,EF1AB,

:.EF=DE.

\'DE=CE,

：,EC=EF.

.•.RtABFE/RlABCE(UL).

：.BF=BC

同理可i正：A”=A。.

：.AD+BC=AF+BF=AB,即48=AO+8C.

3.如图，己知。E=A£,点E在BC上,AE1DE,ABLBC,DCLHC,请问线段A8,C。和线段8C有何

大小关系？并说明理由.

解：线段48,CO和线段8C的关系是：

BC=AB-^-CD.

理由：在^OCE中，

Z£DC+ZD£C=90°,

•；NAEB+N£)EC=90。，

:.ZAEB=/EDC,

又•••ED=AE,NABE=NECD=9U。,

:.AABE丝△ECO(AAS),

：.AB=EC,BE=CD,

：.BC=BE+EC=CD+AB.

4.如图，AB//CD,BE,CE分别是/ABC和NBCO的平分线，点E在4。上.

求证：BC=AB-\-CD.

证明：在8。上取点£使BF=BA,连接EF,如图,

,：BE,C£分别是NA8C和NBCD的平分线，

:./ABE=/FBE,NECF=/ECD.

H

/.△△FBE(SAS),

:.NA=NBFE,

\'AB//CD,

ZA+ZD=180°,

・・.N8FE+NO=180°.

VZ/?FE+ZEFC=180o,

:.NEFC=ND

/.△CDE^ACFE(AAS),

：.CF=CD.

•；BC=BF+CF,

：,BC=AB+CD.

5.如图，在RS48C中，NC=90°,BC=AC,N8=NC48=45。，4。平分N84C交BC于O,

求i正：AB-AC-\-CD.

证明：如图，延长AC到反使CE=CD,连接OE.

S']Z£=ZCDE=45°,

「A。平分NA4C,

在AAB。和AAE。中,

/B=NE,Z2=Z1,AD=AD,

.,.△AfiD^AAED(AAS).

：.AE=AB.

'：AE=AC+CE=AC-¥CD,

：,AB=AC-^-CD.

6.如图，在△A8C中，NA3C=60。，AD,CE分别平分NB4C,ZACB,AD,CE交于O.

⑴求/4OC的度数：

(2)求证：AC=AE+CD

(1)解：VZAfiC=60°,AD,CE分别平分N8AC,ZACB,

1,