《图形与几何》综合测试卷

《图形与几何》综合测试卷）

一、选择题（每小题3分，共30分）

1­下列图形中，是中心对称图形的是（B）

主

视

图

俯

视

图

（第2题）

2•如图所示为一个几何体的主视图和俯视图，则这个几何体是（A）

A•三棱柱

B•立方体

C•三棱锥

D•长方体

3•下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容.

己知：如图，NBEC=NB+NC.

求证：AI3//CD.

证明：延长3E交叁于点”，则N8£C=3+NC（三角形的外角等于与它不相

邻的两个内角之和）.

又二々BEC=/B+/C，:./B=A，

:.AB〃CD（@相等，两直线平行）.

（第3题）

则回答正确的是（C）

A•◎代表/尸ECB.@代表同位角

C•▲代表N£FCD.※代表43

【解析】延长BE交CD于点、F，

则NBEC=NEFC+ZC.

义•：NBEC=ZB+NC、：.NB=NEFC，

・・・AB〃CD（内错角相等，两直线平行）.

4.如图，已知正五边形ABCDE内接于＜30，连结BD，则NABD的度数是（C）

A•60°B.70°

C-72°D.144°

【解析】•・•五边形48COE为正五边形，

(5-2)X108°

:.ZABC=ZC==108°

5

180°—108°

:.ZCBD=~1~=36°

A^ABD=ZABC-ACBD=108°-36°=72°.

5•根据尺规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是(C)

【解析】三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边

的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形的外心.

6•如图，在正方形工8c。中，边长A8=l，将正方形48co绕点A按逆时针方向旋转

180°至正方形，则线段8扫过的面积为(B)

HH

•••将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转180°至正方形ABCQi，

・•・线段CD扫过的面积=Jx(6)2x77-^Xl2Xrr=^~.

(第7题)

7.如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，ME1AM交AD的延长线于点E.若

AB=12，BM=5，则DE的长为(B)

A

A-18B-5

C殁D空

L.5D.3

【解析】•・•四边形ABC。是正方形，

：.AD=AB=\2，N5=90。，AD//BC，

，ZEAM=ZAMB.

*：AMA.ME>；.NB=NAME=90°，

..XABMsXEMA'**BAf=AM-

VAB=12，4M=5，AAM=y）AB2+BM2=13，

.工空

，・・

••5一13£4-5

169109

：.DE=EA-AD=-^—\2=-^-.

JJ

B

（第8题）

8.如图，在RfAABC中，ZABC=90°，AB=2小，BC=2，以AB的中点0为圆

心，OA长为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积为（A）

..5吏「

A,42B.4十2

C.25一nD.4小一-Y

【解析】连结OD，过点D作DE1AB于点E.

在RtAABC中，:NABC=90°，AB=2小，8c=2，

BC2亚

:.tanA=AB=沛=3'

:.NA=30°，：・NDOB=60°.

3

-

22

3

2小X2小义（60XnX（小）25A/3n

・'・S=S^ABC~S^AOD~SX^iOBD

2236042-

9•如图，在平面直角坐标系中，RtZ\Q/W的顶点人在x轴的正半轴上，顶点4的坐标

为（3，小），点C的坐标为6，0），P为斜边OB上一动点，则%+PC的最小值为（B）

A.零B.华

4J

3+标r

C.-f—D.2于

【解析】如解图，作点A关于08的对称点D，连结人。交（用于点M，连结C。交

08于点尸，连结AP，过点。作。N_LOA于点N，则此时限十尸C的值最小.

'：DP=PA>：,PA+PC=PD+PC=CD.

•:点8（3，小），・・・AB=W，OA=3，

：・OB=2事>tanB=\[?>，，N4=60。，

：.AM=ABsin60°=^，，AO=2/1M=2X与=3.

4Z

N4M8=90。，NB=60。»ZBAM=30°.

•・•ZBAO=90°，JNOAM=60°.

,:DNLOA，.=ZNDA=30°，

13

-

2

2^z)/v

13

占o--

2C7V22

在RtAD/VC中，由勾股定理，得DC=yJ产+质后）=军，即见+PC的最小值是早.

10•观察图①，它是把一个三角形分别连结这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，

挖去中间的一个小三角形;对剩卜.的三个小三角形再分别重匆:以上做法……将这种做法继续

下去，则图⑥中挖去二角形的个数为（C）

，（第10题））

A.121B.362

C-364D.729

【解析】由做法可知，图①中挖去三角形的个数为1，图②中挖去三角形的个数为1

+3'=4>图③中挖去三角形的个数为1+3|+32=13......

・•・图⑥中挖去三角形的个数为l+3i+32+33+34+35=364.

二、填空题（每小题4分，共24分）

11•如图，4、B，C，Q是。。上的四个点，最=元.若NAOB=58。，则N8DC=29。.

【解析】如解图，连结OC.

VAB=BC，,ZBOC=ZAOB=58°>

・•・NBDC=&/BOC=29。.

B

（第12题）

12.如图，在Ri^ABC中，ZC=90°，BD平分/ABC，交AC于点D，DE1.AB，垂

足为£，请任意写出一组用等的线段：_BC=BE或DC=DE.

【解析】平分N/1AC，/C=90。，DEIAR>

:.BC=BE，DC=DE.

13•对于一个位置确定的图形，如果它的所有点都在一个水平放置的矩形内部或边上，

且该图形与矩形的每条边都至少有一个公共点（如图①），那么这个矩形水平方向的边长称为

该图形的宽，铅垂方向的边长称为该图形的高.如图②，菱形48co的边长为1，边A3水

平放置.如果该菱形的高是宽的|，那么它的宽等于一%_.

（第13题解）

【解析】在菱形ABCD上建立如解图所示的矩形EAFC，

2

设AF=x»则CF=gx.

在RtZXCB/中，・.・8C=1，BF=x-1，

解得即=F，X2=0（不合题意，舍去），

1Q

故它的宽等于］1

（第14题）

14.如图，PA，PB是。O的切线，A，B为切点，点C，D在。。上.若NP=102°，

则NA+ZC=219°.

【解析】连结AB.

VPA，PB是。0的切线，

，PA=PB.

VZP=102°，

AZPAB=ZPBA=2(180°-102°)=39°.

VZDAB+ZC=18Ci°，

・•・/PAD+NC=NPAB+NDAB+NC=39°+180°=219°.

（第15题）

15.把边长为2的正方形纸片ABCD分割成如图所示的四块，其中点O为正方形的中

心，E，F分别为AB，AD的中点.用这四块纸片拼成与此正方形不全等的四边形MNPQ（要

求这四块纸片不重叠、无缝隙），则四边形MNPO的周长是6+2、历或10或8+2正.

【解析】如解图所示.

（第15题解）

图①的周长为1+2+3+2近=6+26，

图②的周长为1+4+1+4=10，

图③的周长为3+5+6+&=8+26.

故四边形MNPQ的周长是6+2陋或1U或

（第16题）

16.如图，在RtAACB中，3c=2，NZMC=30。，斜边AB的两个端点分别在互相垂

直的射线OM，ON上滑动.有下列结论：①若C，0两点关于48对称，则AO=2小；②C，

O两点距离的最大值为4；③若A8平分C。，贝④斜边A8的中点。运动的路径

长转.其中正确结论的序号是

【解析】在Rt^ABC中，•:BC=2，N84C=30。，

：.AB=4，AC=2小.

若C，。两点关于A4对称，则A3是OC的垂直平分线，

・・・AO=AC=2小，故①正确.

连结OD，CD.

,：NAO8=NACB=9（）0，

：.0D=CD=^AB=2，

，当oc经过点。时，oc最大，

故C，O两点距离的最大值为4，故②正确.

当NA8O=30°时，NOBC=/AOB=/ACB=90。，

・•・四边形AO8c是矩形，A8与OC互相平分，但人3与OC的夹角为60°，120°，不

垂直，故③错误.

斜边AB的中点。运动的路径是以点。为圆心，2为半径的90。的圆弧，

综上所述，正确的结论是①②.

三、解答题（共66分）

17-（6分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段A3的两个端点均在小正方

形的顶点上.

⑴在图中画出以线段A8为一边的矩形48a）（不是正方形），且点。和点。均在小正方

形的顶点上.

（2）在图中画出以线段AB为一腰，底边长为2仙的等腰三角形ABE，点E在小正方形

的顶点上.

错误！

【解析】⑴如解图①，矩形ABCD即为所求.

错误！

（2）如解图②，Z\ABE即为所求.

（第18题）

18.（6分）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE与BF相交于点G，NA=N1，

CE〃DF.求证：ZE=ZF.

【解析】・・・CE〃DF，

ZACE=ZD.

又・.・/A=Nl，ZE=180°一/ACE—NA，NF=180°-ZD-Z1，

・•・ZE=ZF.

19♦（8分）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制.中小学

楼梯宽度的范围是260wwn〜300mm含（300mm），高度的范围是120〃〃〃（含150

mm）,如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步

EF，GH，各踏步互相平行，AB=CD，AC=900mm，NACD=65°.试问：该中学楼梯踏

步的宽度和高度是否符合规定（精确到1〃加，参考数据：sin650"0.906，cos65°以0.423）?

，（第19题）），（第19题解））

【解析】如解图，连结BD，过点D作DM1AB于点M.

VAB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，

・•・AB〃CD.

又・・・AB=CD，，四边形ABDC是平行四边形，

；・ZABD=ZC=65°，BD=AC=900mm，

1・BM=BDCGS65°七900X0.423比380.7(mm)，DM=BDs\n650%900X0.906=

815.4(mm).

•・•380.7+3=126.9X27，120<127050，

・•・该中学楼梯踏步的高度符合规定.

,/815.4-^3=271.8^272，260<272<300，

・••该中学楼梯踏步的宽度也符合规定.

20•(8分)如图，在口ABCD中，BC=2AB，E，F分别是BC，AD的中点，AE，8厂相交

于点O，连结EF，OC.

⑴求证：四边形ABEF是菱形.

(2)若BC=8，ZADC=60°，求OC的长.

【解析】(11・•四边形ABCD是平行四边形，

ABC/7AD，BC=AD.

VE，F分别是BC，AD的中点，

ABE=1BC，AF=1AD，・・.BE=AF.

又・・・AF〃BE，・•・四边形ABEF是平行四边形.

VBC=2AB>AAB=BE，

.,.□ABEF是菱形.

(2)过点O作OG_LBC于点G

VE是BC的中点，BC=8，・・・BE=CE=4.

•・•四边形ABEF是菱形，ZABC=60°，

AZOBE=30°，/BOE=90°，

AOE=2，ZQEB=60°，.,.GE=1，OG=W，

，GC=5»AOC=2A/7.

21•(8分)在Z?rAABC中，ZC=90°.

(1)如图①，点O在斜边AB上，以点O为圆心，0B长为半径的圆交AB于点D，交

BC于点E，与边AC相切于点F.求证：Z1=Z2.

(2)在图②中作(DM，使它满足以下条件：

①圆心在边AB上；②经过点B；③与边AC相切.

(尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法)

AB

①

(M21题)

【解析】(1)如解图①，连结OF.

VAC是。0的切线：・・・OF_LAC.

又・.・NC=90°，・・・OF〃BC，・・・N1=NOFB.

VOF=OB，・•・ZOFB=Z2，，/1=N2.

(2)如解图②，0M即为所求.

22-(8分)如图所示为某区域部分交通路线图，其中直线h〃12〃13，直线I与直线h，12，

b都垂直垂足分别为A，B和C，12上的点M位于点A的北偏东30。方向上，且BM=，5km>

，3上的点N位于点”的北偏东a方向上，且cosa=置，MN=2/km，点A和点N是

城际铁路线L上的两个相邻的站点.

错误！

(1)求匕和b之间的距离.

(2)若城际火车平均时速为150km/h，求市民小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要

多少小时(结果用分数表示)？

【解析】(1)如解图过点M作MO_L/3于点。^'1DM=MN-cos«=2^/13X2(km).

答：和，3之间的距离为2km.

(2)由(1)得CB=DM=2km，

:.DN=\MN?—DM?=44km，

・•・CN=CD+DN=BM+DN=5小km.

•・,NZMM=30。，ZABM=90°，BM=3km，

・・・/lB=3km，,AC=3+2=5(km)，

：,AN=yjCN2+AC2=1()km，

.•.10-rl50=-j^(h).

答：小强乘坐城际火车从站点A到站点N需要表h.

23•(10分)我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线

与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形.若有一个图形与原三角形相似，

则把这条线段叫做这个三侑形的“内似线”.

(I)等边三角形“内似线”的条数为3.

⑵如图①，在△AAC中^AB=AC，点。在AC上，且BD=BC=AD，求证：BD是ZUBC

的“内似线”.

(3)如图②，在RtZXABC中，NC=90。，AC=4，3c=3，E，尸分别在边4c，8C上，

且E尸是△ABC的“内似线”，求石户的长.

，(第23题))

【解析】(2)VAB=AC»AZABC=ZACB.

又・.・BD=BC=AD，

/.ZBAD=ZABD，ZBDC=ZC.

设NA=x，则NABD=x，NBDC=NA+NABD=2x，ZC=2x，ZABC=2x，ZCBD

又•・•/A+NABC+NC=180°，

・・・x+2x+2t=180。，解得人=36。，

.•・ZA=ZDBC=36°，NC=/BDC=T2°，

:.XABCSRBCD.

VNABD=NCBD3,BD平分NABC，

・・・BQ过8c的内心，

：,BD是AABC的“内似线”.

(3)VZC=90°，AC=4，BC=3，

：.AI3=y]AC2+BC2=5.

作△ABC的内切圆。O.

设。0的半径为/•，则S.8c=%(3+4+5).

又丁5爪“=y。8。=/乂3><4=6，♦・・==1.

分两种情况讨论：

①当△CE/s4cw时，如解图①，过点0作直线分别交边AC，BC于点、E，

F，则EF是△ABC的“内似线”，过点0作OM_LAC于点M，作ONLBC于点N，则0M

=ON=\，且ON//AC，OM//BC.

易证AEOMsAABCs40FN，

555

---35

43+■4

Y2'

①，(第23题解))

②当△CEFs^CBA时，如解图②.

5535

同理可得OE=j,0F=,,・・・EF=m.

综上所述，EF的长为官.

4

24•（12分）如图①②，在cABCD中，AB=3，BC=15，柩〃NDAB=1.P为AB延长线

上的一点，作。0经过点A，P，且CP与。0相切，设BP=x.

⑴如图①，当x为何值时，圆心O落在AP上？若此时OO交AD于点E，靖直接指出

PE与BC的位置关系.

（2）当x=4时，如图②，。。与AC相交于点Q，求/CAP的度数，并通过计算比较弦

AP与劣弧间长度的大小.

（3）当。0与线段AD只有一个公共点时，直接写出x的取值范围.

（第24题）

【解析】（1）：CP与0O相切于点P，，NAPC=90°.

•・•四边形ABCD是平行四边形，

・・・AD〃BC，,ZCBP=ZDAB，

CP4

BP='""NCBP=NDAB=§.

设CP=4k，则BP=3k.

由CP2+BP2=BC2，得(4k>+(3k)2=152，

解得k=3(负值舍去)，・・.x=BP=3