四川省巴中市南江中学2025-2026学年高一上学期1月检测试数学试题

南江中学高级1月阶段性测试数学试题时间：分钟满分：分命题人：王磊审题人：王成林85分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.是第几象限角（）A.一B.二C.三D.四【答案】A【解析】【分析】由终边相同，即可判断.【详解】，故终边相同，又，第一象限的角，所以是第一象限的角，故选：A2.已知，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分又不必要条件D.充要条件【答案】D【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义进行判断即可.【详解】因为，所以两边平方得，所以“”是“”的充分条件；当时，去掉平方得，所以“”是“”的必要条件；所以“”是“”的充要条件；故选：D.第1页/共16页

3.已知，，，那么的大小为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据对数函数与指数函数的单调性比较大小即可.【详解】函数在上单调递减，，故；函数在上单调递增，，故；函数在上单调递减，，故，综上，.故选：B.4.已知，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据条件，利用“齐次式”，即可求解.【详解】因为，则，故选：D.5.函数的图象大致是（）A.B.C.D.第2页/共16页

【答案】B【解析】的零点个数可排除A的定义域可排除C时函数值的正负可排除D.【详解】令，得，所以只有1个零点，即函数的图象与轴只有1个交点，故A错误；由，得，所以的定义域为，故C错误；当时，，故D错误.故选：B.6.的外圆弧的长为，点分别为的中点，扇环的面积为，则（）A.B.2C.D.4【答案】D【解析】，，代入扇形的弧长及面积公式，化简计算，即可得答案.【详解】设，，则圆弧，由题意得，解得，所以.故选：D第3页/共16页

7.函数单调减区间为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据对数函数、二次函数的性质，结合复合函数的单调性判断确定递减区间.【详解】由，可得或，所以的定义域为，对于，开口向上且对称轴为，所以上单调递减，在上单调递增，而单调递增，所以的单调递减区间为.故选：A8.已知函数若关于的方程有7个不相等的实数根，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据函数图象进行数形结合分析可得.【详解】由，得，所以或.再由，图象如下：第4页/共16页

显然与有三个交点，所以有三个不同的实数根.所以必须有四个不同的实数根，即与有四个交点，因，再结合图象分析判断可得.故选：D.36分在每小题给出的选项中有多项是符合题目要求全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.（多选）已知，则（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】及导公式对选项进行验证即可.【详解】因为，所以，则．则，，，．故选：AC10.下列命题中正确的是（）A.命题“”的否定为“”B.的图象恒过定点C.已知是定义在上的偶函数，且在是减函数，则第5页/共16页

D.幂函数在上为减函数，则的值为1【答案】BCD【解析】【分析】根据存在量词命题的否定是全称命题，指数函数过定点、偶函数的性质、幂函数的定义进行逐项计算判断即可.【详解】对于A：存在量词命题的否定是全称命题，将改为，然后否定结论，所以命题“”的否定为“”，A错误；对于B：令，则，所以恒过定点，B正确；对于C：因为是定义在上的偶函数，所以，而在是减函数，所以，即，C正确；对于D：因为为幂函数，所以，解得或.当时，，在上为增函数，不符合题意；当时，，在上为减函数，符合题意；D正确.故选：BCD.已知函数，则下列说法正确的是（）A.时，为奇函数B.，使得有两个零点C.时，若，且与有三个交点，则D.时，的解集为【答案】ACD【解析】【分析】利用奇函数的定义判断A；根据函数的单调性判断零点个数判断B；先求得函数关于点第6页/共16页

中心对称，然后得函数与函数的交点也关于点中心对称，即可求解判断C；先求得，然后不等式化为，进而由函数在R上单调递增得，解不等式即可判断D.【详解】A，时，，定义域，且，所以为奇函数，正确；B，因为都是R上的增函数，所以函数在R上单调递增，所以函数在R上至多一个零点，故不存在，使得有两个零点，错误；C，时，，因为，所以，所以函数关于点中心对称，又，所以函数关于点中心对称，所以函数与函数的交点也关于点中心对称，由与有三个交点，不妨，则，即，正确；D，时，，因为，所以，所以化为，因为都是R上的增函数，所以函数在R上单调递增，所以，即，解得或，即的解集为，正确.故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分.12.函数的值域为_________．第7页/共16页

【答案】【解析】【分析】由换元法，借助二次函数性质及指数函数单调性计算即可求解.【详解】令，则，所以，设，，因为在区间上单调递增，所以，即函数的值域为.故答案为：.13.已知，用和表示__________.【答案】【解析】【分析】根据指数式化为对数式及换底公式，对数的运算性质可得.【详解】由，得，所以.故答案为：.14.若函数值域为，且在区间上单调递增，则实数的取值范围是_________.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用对数函数性质，结合二次函数性质列式求解.【详解】由的值域为，得函数的值域包含，第8页/共16页

则，解得或；令，由函数在上单调递增，函数是减函数，得函数在上单调递减且，因此，解得，又或，于是有，所以实数的取值范围是.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.已知．（1）若，求；（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】1）先利用诱导公式对函数进行化简，然后根据及同角三角函数关系即可求解；（2）利用诱导公式并且对角进行构造即可求解，第9页/共16页

．【小问1详解】，∵，，∴．【小问2详解】∵，∴，则．16.已知函数，且.（1）求函数的解析式，判断函数的奇偶性并证明；（2）用定义证明在区间上单调递减；（3）求函数在区间上的值域.（直接写出结果）【答案】（1），奇函数，证明见解析（2）证明见解析（3）【解析】1）运用代入法，结合奇函数的定义进行判断证明即可；（2）根据函数单调性的定义进行运算证明即可；第10页/共16页

（3）根据奇函数的单调性进行求解即可.【小问1详解】由题设，，解得，故，函数为奇函数，证明如下：定义域为，关于原点对称，又，所以函数为奇函数；【小问2详解】由（1）知，，任取，且，则，因为，所以，，则，故，则在区间上单调递减；【小问3详解】由（12）知，在上单调递减，且函数为奇函数，所以在上递减，则函数在上递减，而，，故在区间上的值域为.17.2025年10月29日，成都龙泉驿区汽车推出新款新能源车型，这彰显了我国新能源汽车的蓬勃发展.如今中国已经成为全球最大的新能源汽车消费市场，并且建成了高效的协同产业体系.某企业计划引进新能源第11页/共16页

系如下：，该公司预计2025年全年其他成本总投入为万元.由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求.记2025年的全年利润为（单位：万元）.（1）求函数的解析式；（2）当2025年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由.【答案】（1）；（2）千辆时，取得最大值30万元.【解析】1）根据给定信息直接求出的解析式.（2）利用二次函数、基本不等式分段求出最大值，再比较大小即得.【小问1详解】由函数，得.【小问2详解】当时，，在处取最大值，当时，（千辆）时取等号，而，所以在千辆时取得最大值30万元.18.设函数（1）当时，解不等式；（2）已知对任意的实数，恒成立，求证：；（3恒成立，若存在，求出的范围；若不存在，请说明理由．第12页/共16页

【答案】（1）（2）证明见详解（3）存在，【解析】1）结合函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；（2）由结合已知条件，即可得到的单调性，从而得证；（3）结合函数的单调性可得在恒成立，再参变分离结合函数的性质计算可得.【小问1详解】当时，函数在上单调递增，则不等式即为，解得，故解不等式的解集为.【小问2详解】，又恒成立，即恒成立，函数上单调递增，.【小问3详解】当时，函数在上单调递增，可知，则在恒成立，可得在恒成立，令，则，第13页/共16页

令，则在上单调递增，，由于时，恒成立，即，，综上，的范围为.19.若函数满足：对任意正数，都有，则称函数为“函数”．（1）试判断函数是否为“函数”，并说明理由；（2）若函数是“函数”，求实数a的取值范围；（3为“函数”，，，都有．【答案】（1）函数不是“函数”，理由见解析（2）（3）证明见解析【解析】1）根据“函数”的定义并结合举反例的方法进行判断即可；（2）根据函数是“函数”列出不等式，转化为求最值问题即可；（3）由题意令，得到，进而得到和即可得证.【小问1详解】对于，取，则，．因为，不满足，故不是“函数”；【小问2详解】因为函数是“函数”，第14页/共16页

所以对于任意的，有恒成立，即恒成立，所以恒成立，又，故，则，则，即，即实数的取值范围为【小问3详解】由函数为“函数”，可知对于任意正数，都有，，且，令，可知，即，故对于自然数与正数，都有，对任意，可得，又，所以，同理，故