2025年第九课时一元一次不等式及不等式组的应用

2025年(整理版)第九课时一元一次不等式及不等式组的应用(1)知识回顾在学习一元一次不等式及不等式组的应用之前，我们需要先回顾一下相关的基础知识。一元一次不等式的定义为：只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等号两边都是整式的不等式，其一般形式为$ax+b>0$或$ax+b<0$（$a≠0$）。解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程类似，包括去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等，但在系数化为1时，若不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号方向要改变。不等式组是由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的。不等式组的解集是指各个不等式解集的公共部分，求解不等式组通常是先分别求出每个不等式的解集，再利用数轴找出它们的公共部分。实际问题中的不等关系分析在实际生活中，很多问题都存在着不等关系，我们可以通过分析这些不等关系，建立一元一次不等式或不等式组来解决问题。例1：某商店购进一批商品，进价为每件8元，销售价为每件10元。为了促销，商店决定打折销售，但要保证利润率不低于5%，那么该商品最多可以打几折？分析：本题的关键在于找出利润与进价之间的不等关系。利润=售价进价，利润率=利润÷进价。设该商品打$x$折销售，那么此时的售价为$10\times\frac{x}{10}$元。根据利润率不低于5%，可列出不等式：$\frac{10\times\frac{x}{10}8}{8}\geq0.05$解这个不等式：首先，对不等式左边进行化简：$\frac{x8}{8}\geq0.05$然后，不等式两边同时乘以8：$x8\geq8\times0.05$$x8\geq0.4$接着，移项可得：$x\geq0.4+8$$x\geq8.4$所以，该商品最多可以打8.4折。例2：某工厂有100名工人，每人每天可以生产螺栓16个或螺母24个，已知一个螺栓需要配两个螺母，为了使每天生产的螺栓和螺母刚好配套，应如何分配生产螺栓和螺母的工人？若要求生产的螺栓和螺母数量相差不超过10个，又该如何分配工人？分析：（1）设生产螺栓的工人数为$x$人，则生产螺母的工人数为$(100x)$人。每天生产螺栓的数量为$16x$个，生产螺母的数量为$24(100x)$个。由于一个螺栓需要配两个螺母，要使生产的螺栓和螺母刚好配套，则螺母数量是螺栓数量的2倍，可列出方程：$2\times16x=24(100x)$解方程：$32x=240024x$移项可得：$32x+24x=2400$$56x=2400$$x=\frac{2400}{56}=\frac{300}{7}\approx42.86$因为人数必须为整数，所以$x=43$，则生产螺母的人数为$10043=57$人。（2）若要求生产的螺栓和螺母数量相差不超过10个，则可列出不等式组：$\begin{cases}|16x24(100x)|\leq10\\0\leqx\leq100\end{cases}$分两种情况讨论：当$16x24(100x)\leq10$时：$16x2400+24x\leq10$$40x2400\leq10$$40x\leq2410$$x\leq\frac{2410}{40}=60.25$当$24(100x)16x\leq10$时：$240024x16x\leq10$$240040x\leq10$$40x\leq102400$$40x\leq2390$$x\geq\frac{2390}{40}=59.75$结合$0\leqx\leq100$，可得$59.75\leqx\leq60.25$，因为$x$为整数，所以$x=60$，则生产螺母的人数为$10060=40$人。总结解题步骤通过以上例子，我们可以总结出利用一元一次不等式及不等式组解决实际问题的一般步骤：1.审题：仔细阅读题目，理解题意，明确题目中的已知条件和所求问题，找出其中的不等关系。2.设未知数：根据问题，合理地设出未知数，可以直接设未知数，也可以间接设未知数。3.列不等式（组）：根据找出的不等关系，结合已知条件和所设未知数，列出一元一次不等式或不等式组。4.解不等式（组）：按照解一元一次不等式或不等式组的方法，求出不等式（组）的解集。5.检验并作答：将解出的解集代入实际问题中进行检验，看是否符合实际情况，然后写出答案。课堂练习1.某商场为了促销，推出两种优惠方案。方案一：购物满100元，返现金20元；方案二：全场商品打8折。若某顾客购物金额为$x$元（$x\geq100$），试比较两种方案的优惠程度，当$x$满足什么条件时，选择方案二更划算？2.某学校组织学生春游，若租用45座的客车若干辆，则有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满。已知45座客车的租金为每辆220