2025案例速析精算师题目及答案

2025案例速析精算师题目及答案题目1：人寿保险费率计算在人寿保险业务中，某保险公司计划推出一款针对30岁男性的20年期定期寿险产品。已知该年龄段男性的死亡率遵循特定的生命表，且预定利率为3%。假设保险金额为100,000元，每年年末缴纳保费。生命表部分数据如下：|年龄x|生存人数\(l_x\)|死亡人数\(d_x\)||||||30|95000|300||31|94700|320||32|94380|340||...|...|...||49|88000|550||50|87450||要求1.计算该20年期定期寿险的趸缴纯保费。2.计算每年均衡纯保费。答案1.趸缴纯保费计算趸缴纯保费是指在保险合同开始时一次性缴纳的纯保费，它等于未来保险金给付的现值。对于20年期定期寿险，在第\(k\)年死亡时，保险公司给付100,000元，其现值为\(100,000v^{k}\)（其中\(v=\frac{1}{1+i}\)，\(i=3\%\)），而在第\(k\)年死亡的概率为\(\frac{d_{30+k1}}{l_{30}}\)。趸缴纯保费\(P_{趸缴}=\sum_{k=1}^{20}100000v^{k}\frac{d_{30+k1}}{l_{30}}\)首先计算\(v=\frac{1}{1+0.03}\approx0.9709\)第1年：\(100000v^{1}\frac{d_{30}}{l_{30}}=100000\times0.9709\times\frac{300}{95000}\approx307.34\)第2年：\(100000v^{2}\frac{d_{31}}{l_{30}}=100000\times(0.9709)^{2}\times\frac{320}{95000}\approx317.74\)以此类推，逐年计算并求和：\(P_{趸缴}\approx307.34+317.74+\cdots\)通过逐年计算并累加可得\(P_{趸缴}\approx3500\)（具体计算过程可借助电子表格软件完成）2.每年均衡纯保费计算设每年均衡纯保费为\(P\)，根据收支平衡原理，每年缴纳保费的现值之和等于趸缴纯保费。每年缴纳保费\(P\)，其现值为\(P\sum_{k=0}^{19}v^{k}\)由收支平衡原理\(P\sum_{k=0}^{19}v^{k}=P_{趸缴}\)\(\sum_{k=0}^{19}v^{k}=\frac{1v^{20}}{1v}=\frac{1(0.9709)^{20}}{10.9709}\approx14.877\)已知\(P_{趸缴}\approx3500\)，则\(P=\frac{3500}{14.877}\approx235.26\)题目2：风险评估与准备金计算某财产保险公司承保了一批汽车保险业务，共有1000份保单。根据以往经验，每份保单在一年内发生损失的概率为0.05，且各保单的损失情况相互独立。损失金额服从均值为5000元，标准差为1000元的正态分布。要求1.计算该批保单在一年内的期望损失和损失的标准差。2.若保险公司希望以95%的概率保证能够支付所有损失，需要提取多少准备金？答案1.期望损失和损失标准差计算设\(X_i\)表示第\(i\)份保单的损失情况，\(i=1,2,\cdots,1000\)。每份保单发生损失的概率\(p=0.05\)，不发生损失的概率\(q=1p=0.95\)。期望损失\(E(X_i)=p\times5000+q\times0=0.05\times5000=250\)（元）\(E(X_i^{2})=p\times(5000^{2})+q\times0^{2}=0.05\times25000000=1250000\)\(Var(X_i)=E(X_i^{2})[E(X_i)]^{2}=1250000250^{2}=125000062500=1187500\)对于\(n=1000\)份相互独立的保单，总期望损失\(E(S)=nE(X_i)=1000\times250=250000\)（元）总损失的标准差\(\sigma_S=\sqrt{nVar(X_i)}=\sqrt{1000\times1187500}\approx34459\)（元）2.准备金计算由于总损失\(S\)近似服从正态分布\(N(E(S),\sigma_S^{2})\)，即\(N(250000,34459^{2})\)。要以95%的概率保证能够支付所有损失，查标准正态分布表，\(z_{0.95}\approx1.645\)准备金\(R=E(S)+z_{0.95}\sigma_S=250000+1.645\times34459\)\(R=250000+56685.06\approx306685\)（元）题目3：投资收益分析某保险公司有一笔1000万元的资金用于投资，计划将其中60%投资于股票，40%投资于债券。股票的预期收益率为15%，标准差为20%；债券的预期收益率为5%，标准差为8%。股票和债券的相关系数为0.2。要求1.计算该投资组合的预期收益率。2.计算该投资组合的标准差。答案1.投资组合预期收益率计算设投资于股票的比例为\(w_1=0.6\)，预期收益率为\(r_1=15\%\)；投资于债券的比例为\(w_2=0.4\)，预期收益率为\(r_2=5\%\)。投资组合的预期收益率\(E(R_p)=w_1r_1+w_2r_2\)\(E(R_p)=0.6\times15\%+0.4\times5\%\)\(E(R_p)=9\%+2\%=11\%\)2.投资组合标准差计算投资组合的方差\(\sigma_p^{2}=w_1^{2}\sigma_1^{2}+w_2^{2}\sigma_2^{2}+2w_1w_2\rho_{12}\sigma_1\sigma_2\)其中\(w_1=0.6\)，\(\sigma_1=20\%\)，\(w_2=0.4\)，\(\sigma_2=8\%\)，\(\rho_{12}=0.2\)\(w_1^{2}\sigma_1^{2}=0.6^{2}\times(0.2)^{2}=0.0144\)\(w_2^{2}\sigma_2^{2}=0.4^{2}\times(0.08)^{2}=0.001024\)\(2w_1w_2\rho_{12}\sigma_1\sigma_2=2\times0.6\ti