七年级下册数学平行线中拐点问题

七下数学-平行线中的拐点问题

【考点一平行线间一个拐点问题】

例题：（四川南充•九年级期中）如图，AB//CD,若NA=40。，ZC=26°,则N后

CD

【变式训练】

1.（宁夏固原•七年级期末）如图，AB//CD,ZGFC=50°,Z4/7E=130°,则NG的度数是

2.：甘肃•凉州区洪祥镇九年制学校七年级期末）如图，若AB//CD,则Za=l30°,少=70。，则々=

【考点二平行线间两个拐点问题】

例题：（云南•弥勒市朋普中学七年级阶段练习）如图所示，AB//CD.BEFD是AB、⑦之间的一条折线,

则/1+N2+N3+N4=

【变式训练】

1.（浙江•兰溪市实验中学七年级期中）如图，直线上〃乙若Nl=40°,N2比N3大10。，则N4=

2.（安徽•潜山市罗汉初级中学七年级阶段练习）如图，48〃CO,点£〃分别是力用口上的点，点时

位于力）与切之间且在以'的右侧.

A_EB

CD

(1)若NM=90。，则ZA£M+NCfM=

（2）若NM=〃。，NEW与NDQVZ的角平分线交于点M则4V的度数为.（用含〃的式子表示）

【考点三平行线间多个拐点问题】

例题：（湖北•洪湖实验初中七年级期中）如图，AB//CD//EF,CB〃DE〃FG、如果NI=70。，则N

2=

【变式训练】

1.（山西临汾•七年级统考期中）如图，直线A8〃C。，则N2+/3+N4-N1-N5的度数为

2.（山东济南•八年级校考阶段练习）探究:

①②③

（1）如图①，已知48；CD,图中/I,Z2,N3之间有什么关系？

⑵如图②，已知ABMCD,图中/I,Z2,Z3,N4之间有什么关系？

⑶如图③，已知仍,切,请直接写出图中Nl,Z2,Z3,N4,N5之间的关系;

【考点四平行线中在生活上的拐点问题】

例题：（四川泸州•七年级期末）如图是AB,。三岛的平面国，C岛在A岛的北偏东50。方向，在8岛

的北偏西30。方向，贝l」NAC8二

【变式训练】

1.（黑龙江•哈尔滨德强学校七年级期中）如图，汽车灯的剖面图，从位于点。的灯发出光照射到凹面镜

若Z/WO=20。，ZfiOC=80°,则NDCO的度数为

【过关检测】

一、选择题

1.：山东荷泽七年级校考阶段练习）如图，八8〃。£4€7）=85。,/"。=40。，则/86等于（)

A.45°B.55°C.135°D.145°

2.（广东深圳•七年级校考期中）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问

题，如图所示，已知A8//CQ,4BAE=77。，NDCE—则NE的度数是（）

A.28°B.54°C.26°I).56°

3.（全国•八年级专题练习）一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯-A的度数为100。，第

二次拐弯的度数为120。，到了点。后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则NC的

度数为（）

AB

8.（福建三明•七年级统考期中）观察下列图形：已知a〃人在第一个图中，可得Nl+N2=180。，根据

规律，则N1+N2+N6+N6+/£+/乙=度.

（1）（2）（3）（4）

三、解答题

9.（八年级课时练习）已知：如图,//?+/。+/。=360。，求证：AB//DE.

10.（八年级课时练习）已知：如图，A8〃CO求证：ZA+ZC=ZAPC.

11.（黑龙江齐齐哈尔•七年级校考阶段练习）下列各图中的朋4与NA,平行.

（D图①中的/4+/4=度，图②中的/4+/4+/&=度，图③中的

NA+NA2+/&+/&=度，图④中的/A+N4+N&+NA+NA=度

笫⑨个图中的NA+N&+/&+…+//=度

⑵第〃一1个图中的NA+N4+NA+…+/4=

12.（江西赣州•七年级统考期中）根据下列叙述填依据.

⑴已知如图1,AB//CD,求N*/时■/〃的度数.

所以/毋/例用180°

()

因为A8〃C。、FE//AB(已知)

所以_________________

()

所以

()

所以NB+/BF计42/班/BF计4EFD+N介360°

⑵根据以上解答进行探索.如图(2)(3)AB，EF、N〃与NA有何数量关系(请选其中一个简要证

明)

备用图：

图(2)图(3)

⑶如图(4)ABifEF,N伉90°,与N夕、N7有何数量关系(直.接写出结果，不需要说明理由)

13.(全国•八年级专题练习)综合与探究，问题情境：综合实践课上，王老师组织同学们开展了探究三

角之间数量关系的数学活动.

图2备用图

（D如图1,EF〃MN,点、A,8分别为直线石尸，MN上的一点，点〃为平行线间一点且NB4尸=130。，

NP5N=120",求N4汨度数；

问题迁移

⑵如图2,射线OM与射线ON交于点0,直线〃2〃〃，直线卬分别交OM,ON于点儿D,直线〃分别交

OM,ON于点8,C,点P在射线OM上运动.

①当点尸在48（不与九夕重合）两点之间运动时，设NAPP=Na,/BCP=".贝iJNCPD,Na,邛

之间有何数量关系？请说明理由；

②若点P不在线段A4上运动时（点P与点、A,B,。三点都不重合），请你直接写出NCPDNa,间的

数量关系.

14.（全国•七年级专题练习）如图1,已知N"H=90。，点A,C分别在射线在:和加上，在NEF”内

部作射线A4,CD,使A4平行于CO.

E

图3

（D如图1,若E48=150。，求NHCO的度数；

（2）小颖发现，在N£FH内部，无论网4如何变化，NBAB-NHa）的值始终为定值，请你结合图2求出

这一定值；

⑶①如图3,把图1中的NEF〃=90。改为/9H=120°,其他条件不变，请直接写出“记与/"CO之间

的数量关系；

②如图4,已知N£FG+NFGC=a，点A,C分别在射线尸E,GH上，在NE/P与/fG”内部作射线

CD,使AA平行于C。，请直接写出"4与N”CD之间的数量关系.

平行线中的拐点问题（解析版）

【考点一平行线间一个拐点问题】

例题：（四川南充•九年级期中）如图，AB//CD,若NA=40。，ZC=26°,则N后

【答案】66。##66度

【分析】如图所示，过点£作则A8〃CO〃石尸，根据两直线平行内错角相等分别求出

ZAEF=40°,ZCEF=26°,则/4£。=/71£/+/。律=66。.

【详解】解：如图所示，过点少作历〃

VEF//AB,AB//CD,

AB//CD//EF,

：.ZAEF=ZA=40°,ZCEF=ZC=26°,

JZAEC=ZAEF+NCEF=66°,

故答案为：66°.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线求出NAEF=40°,NCE尸=26。是解题的关键.

【变式训练】

1.（宁夏固原•七年级期末）如图，AB//CD,ZGFC=50°,ZA//E=130°,则NG的度数是.

【分析】通过作平行线的方式，将NG分成/滋0和/仇汨利用平行线的性质求出NEG0和度数即

可求解.

・•・/EHB=/EGQ=180°-ZAHE=180。-130°=50°,

VGQ//AB,AB//CD,

JGQ//CD.

：.Z（2GF=ZGFC=50°,

Z.NEGF=ZEHB+ZQGF=50°+50°=100°.

故答案为：100。.

【点睛】本题考查平行线的性质，属于经典题目，学会作辅助线是关键.

2.：甘肃•凉州区洪祥镇九年制学校七年级期木）如图，若力方〃5则Na=13（尸，"=70。，则N”

【答案】20。##20度

【分析】过点E作杼〃相，利用平行线的性质可得N1的度数，进而可得N2的度数，再结合CD〃A3可得

CD//EFCD//EF,进而可得々的度数.

【详解】解：如图，过点石作EF〃人3,则Nl=18（）o-Na=180O-130°=50°,

.­.Z2=Z^-ZAEF=700-50o=20°,

-CD//AB,

:.CD//EF,

Z/=Z2=20°.

故答案为：20°.

【点睛】本题主要考查平行线的性质，构造合适的辅助线是解题关键.

【考点二平行线间两个拐点问题】

例题：（云南•弥勒市朋普中学七年级阶段练习）如图所示，AB//CD.BEFD是AB、⑺之间的一条折线,

则/1+N2+N3+N4=____.

【答案】540°

【分析】连接/姒根据平行线的性质由〃得到N力/吩/。9©18()°,根据四边形的内角和得到N2+N

3+/&阶N所介360°,于是得到结论.

【详解】解:连接物,如图，

'：AB//CD.

:"ABm/CDm8G0,

•••/2+N3+N及沙N/7»360°,

:22+/3+NE盼/FDm/八盼乙C除54。°,

即Nl+N2+N3+N4=540°.

故答案为:540°.

【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行,

内错角相等.

【变式训练】

1.(浙江•兰溪市实验中学七年级期中)如图，直线九〃心，若Nl=40°,N2比N3大10°,则N4=

【答案】30°##30度

【分析】过/点作力8〃直线/】，过C点作切〃直线L由平行线的性质可得N5=Nl=40°,Z4=Z8,Z

6=Z7,结合N2比N3大10°可得/5+/6-/7-/8=10°,进而可求解.

【详解】解：过力点作仍〃直线/“过。点作便〃直线4,

/.Z5=Z1=4O°,Z4=Z8,

•・•直线1/k,

:.ABHCD、

AZ6=Z7,

.\Z2-Z3=10°,

VZ5+Z6=Z2,Z7+Z8=Z3,

AZ5+Z6-Z7-Z8-100,

A40°-Z4=10°,

解得N4=30。.

故答案为：30。.

【点睛】本题主要考查平行线的性质，角的计算，作适当的辅助线是解题的关键.

2.（安徽-潜山市罗汉初级中学七年级阶段练习）如图，AB〃CD,点E,尸分别是/切，⑦上的点，点"

位于月8与切之间且在斯的右侧.

（1）若/M=90。，则ZAEM+NCfM=_____°；

（2）若NM=〃。，N8E历与"QW的角平分线交于点双则N,V的度数为.（用含〃的式子表示）

【答案】270

【分析】（1）过点"作物力仍，则/山〃①〃，仍根据两宜线平行，内错角相等可得答案；

（2）过点）作,W〃48,那AB〃8"NQ,根据两直线平行内错角相等和角平分线的定义可得答案.

【详解】解：（1）过点J/作MP//AB,

'：AB"CD,

：,AB//CD//MP,

工/I二NJ〃汨，42=4MFD,

•・•/年Nl+N2=90°,

:.NMEB^N时FD=90°,

4A球"ZMEmNCF触NMFD=18Q0+180°=360°,

AZ/1SAZOT^360o-90°=270°.

故答案为:270；

（2）过点'作闯〃力8,

CD,

:.AB"CD"NQ,

・・・/3=N.A微N4=NM9,

:.乙亚济NA»N3+N4=/以上

・・・/庞:犷与/〃皿的角平分找交于点N,

.:4NEB=>4MEB,ADFN=-AMFD,

22

・•・Z3+Z4=ZBE^ZDFN=-（4MEB+4VFD）,

2

由（1）得，乙ME阶乙MFD=/EMF,

・•・—/沪!〃。.

22

故答案为：—n°.

【点睛】本题考杳平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质定理和角平分线的定义是解题关键.

【考点三平行线间多个拐点问题】

例题：（湖北•洪湖实验初中七年级期中）如图，AH//CD//KF,CB//DK//FG,如果Nl=70。，则N

2=.

【分析】先求出/C与/。的度数，再根据平行线性质，即可求出两角的度数.

【详解】解：AB//CD,Z1=7O°,

/.ZC=Z1=7O°.

CH//DE,

.*.Z£>=18O0-ZC=11O°.

CD//EF,

.­.Z2=ZD=110°.

故答案为：110°.

【点睛】本题主要考查了两直线平行内错角相等，同旁内角互补的性质，熟练掌握并运用性质是解题的关

键,

【变式训练】

1.（山西临汾•七年级统考期中）如图，直线A3〃CO,则N2+/3+N4-N1-N5的度数为°.

【答案】360

【分析】过£作必〃切，过G作必〃⑦，过"作网〃口，根据平行线的判定得出以〃他V〃月8〃必,

根据平行线的性质得出即可.

【详解】过少作勿〃成，过G作0/〃。，过J/作如图所示：

•:CD"AB,

：.EF//GH//MN//AB//CD,

：OBEF,/GE升/EG取180c,/的於/G秘管180°,/即eN5,

*：42=/BER4GEF,N3=N£6阴/例J/,N4=NGJ仲NM公

・•・N2+N3+N4—/I—N5=NBEF+NGEF+NEGH+NHGM+NGMN+/NMC—NBEF—NNMC

=4GEF+4EGH+/HGM+4GMN=360°.

故答案为：360.

【点睛】本题考查了平行线的性质，能灵活运用平行线的性质进行推理是解此题的关键.

2.（山东济南•八年级校考阶段练习）探究:

①②

（D如图①，已知/IBUC/）,图中/I,N2,N3之间有什么关系？

⑵如图②，已知仍CD,图中/I,Z2,Z3,N4之间有什么关系？

⑶如图③，已知/1B，，C。,请直接写出图中Nl,Z2,Z3,Z4,N5之间的关系;

【答案】（1）N1+N3=N2；

⑵N1+N3=N2+N4；

（3）Z1+Z3+Z5=Z2+Z4.

【分析】（1）过点、E作刚〃AB,根据平行线的性质及角的和差求解即可；

（2）过点〃作物力力〃，结合（1）并根据平行线的性质及角的和差求解即可；

（3）过点G作GM〃/1B,结合（2）并根据平行线的性质及角的和差求解即可.

（1）

解：如图①，过点、E作碗〃A8,

①

'：AB"CD,

：.AB//CD//Elf,

:.乙1=/NEM,N3=N初见

.\Z1+Z3=ZAKI/+4MEF,

即/l+N3=/2；

(2)

②

':AB"CD,

:.AB"CD"FN、

・・・/4=NA附

由(1)知，Nl+N牙A-N2,

Z1+4EFN+4NFH=Z2+Z4,

即/1+/3=N2+N4：

(3)

如图③，过点C作仅/〃,

AB

E

-----M

CND

③

*：AB"CD,

：.AB//CD//GM,

Z.Z5=ZJO；

由（2）得，N1+N3=N2+N沼物

/.Z1+Z3+Z5=Z2+Zra/+AMGN,

即N1+N3+/5=N2+N4.

【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解题的关键.

【考点四平行线中在生活上的拐点问题】

例题：（四川泸州•七年级期末）如图是AB,C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50。方向，在4岛

【分析】根据方位角的概念，过点C作辅助线，构造两组平行线，利用平行线的性质即可求解.

【详解】如图，作CE〃/U）,

DA//FB,

/.ZmC=ZACE=50°.

,?CE//BF,

:./CBF=NBCE=30。.

・•・ZACB=ZACE+ZBCE=500+30°=80°.

故答案为：80°.

【点睛】本题考查了方位角的概念，解答题目的关键是作辅助线.构造平行线.两直线平行，内错角相等.

【变式训练】

I.（黑龙江•哈尔滨德强学校七年级期中）如图，汽车灯的剖面图，从位于点。的灯发出光照射到凹面镜

上反射出的光线CD都是水平线，若NA〃O=20。，ZBOC=80°,则的度数为—

【答案】60。##60度

【分析】如图所示，过点。作OE6,则四〃勿〃侬，根据平行线的性质求解即可.

【详解】解：如图所示，过点。作。E〃四，

,-^TA

•・•光线84,C。都是水平线，

ABCD,

：.AB//CD//OE,

・•・NBOE=/ABO=20°,

/.ZDCO=ZEOC=/BOC-/BOE=60°,

故答案为：60°.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键.

【过关检测】

一、选择题

1.：山东洵泽七年级校考阶段练习）如图，48〃。£/8。。=85。,448。=40。，则NCQE等于（)

AB

55°C.135°I).145°

【答案】C

【分析】过点C作。尸〃A3,可得A8〃OE〃C尸，根据平行线的性质可得

ZABC=ZBCF,ZFCD+ZCDE=180°,根据已知求得进而即可求解.

【详解】解：如图，过点。作CF〃/W,

/ABC=NBCF、"CD十NCDE=180°,

NBCD=85。,ZABC=40°,

JZ.FCD=ZBCD-ZBCF=ZLBCD-ZABC=45°,

:./CDE=180°-ZFCD=180°-45°=135°.

故选£

【点睛】本题考查了平行公理的推论，平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键.

2.（广东深圳-七年级校考期中）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问

题，如图所示，已知A6//C。，4BAE=77。，ZDCE=131°,则NE的度数是（）

A.28°B.54°C.26°D.56°

【答案】B

【分析】延长。C交AE于八依据A8〃CD,NBAE=77。，可得NCFE=77。,再根据三角形外角性质,

即可得至I」ZE=ZDCE-ZCFE.

【详解】解：如图，延长。。交AE于产，

A

F

飞飞盘

VAB//CD,ZBAE=17°f

:"CFE=NBAE=T10,

又•••NDCE=131°,/E+NCFE=/DCE,

ZE=ZDCE-Z.CFE=131°-77°=54°.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等.

3.（全国•八年级专题练习）一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯N4的度数为100。，第

二次拐弯N8的度数为120。，到了点。后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则NC的

度数为（）

A.100°B.160°C.140°D.120°

【答案】B

【分析［根据平行线的性质即可求解.

【详解】解：过点B作BECO,如图，

VAF//CD,BECD,

：.AFBECD,

：・ZA=ZABE,NC+NC8E=180。,

VZA=100°.

JZABE=100°,

ZABC=120°.

Z1CBE=120°-100°=20°,

・•・ZC=180°-20°=160°.

故选：B.

【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键.

4.（全国•七年级专题练习）已知人8〃。。，点少在8。连线的右侧，2A/3E与NCDE的角平分线相交于

点E则下列说法正确的是（）；

①ZABE+ZCDE+ZE=360°；

②若NE=80。，则NMD=140°；

③如图（2）中，若尸，NCDM=；NCDF,则6N8MO+NE=360。；

④如图（2）中，若NE=〃2。，NA3M,则乙W二（4

A.①②④B.②③④C.®®®l）.①②③④

【答案】C

【分析】分别过E、尸作GE〃A8,FH//CD,再根据平行线的性质可以得到解答.

【详解】解：分别过E、尸作G£〃A3,FH//CD.

AB//CD,

AB//GE//FH//CD,

AZABE+ZBEG=180°,ZCDE+ZDEG=\S00,

ZABE+/BEG+Z.CDE+/DEG=360°,

UPZABE+ZBED+zLCDE=360°,①正确;

•••/BED=80°,ZABE+/BED+NCDE=360°,

JZABE+NCDE=28",

AB//CD,

:・ZABF=/BFH,4CDF="FH,

：.NBFD=NBFH+NDFH=NABF+NCDF=L(NABE+Z.CDE)=140°,②正确,

2

与」•.同理，4BMD=ZABM+NCDM=-(ZABF+NCDF),

.•・6NBMD=2（ZABF+NCDF）="BE+/CDE,

：.6ZB;WD+ZE=360°,③正确，

由题意，④不一定正确，

・•・①②③正确，

故选：C.

【点睛】本题考查平行线的应用，熟练掌握平行线的性质及辅助线的作法和应用是解题关键.

二、填空题

5.（内蒙古乌海•七年级校考期中）如图，EF,则Z6；满足的数量关系是—

【答案】ZA+ZC+ZE=360°

【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可直接得到答案.

【详解】如下图所示，过点。作CD///W,

CD//AB,

，NA+Z4CD=180。（两直线平行，同旁内角互补），

A8//EF,CD//AB,

・•・CD//EF,

AZE+ZDCE=180°（两直线平行，同旁内角互补），

・•・ZAIZACDINEIZ£>CE=360°,

JZA+ZACE+ZE=360°,

・••在原图中NA+/C+NE=360°,

【点睛】本题考查平行直线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同旁内角互补.

6.（辽宁丹东•七年级校考期末）如图，ADffBE,AC与4c相交于点C,且Z2=-ZEBA

nnt

若NC=60。，则〃=.

D

1

【答案】3

【分析】过C点作CBE,根据平行线的性质可得CF〃AO〃BE,再根据平行线的性质可得

Zl+Z2=60°,ND48+NEBA=180。，依此即可求解.

【详解】解：如图，过C点作

ADBE,

：,CF//AD//BE,

AZ1=ZACF,Z2=ZBCF,NDAA+NEBA=180。，

Zl+Z2=ZACF+ZBCF=ZACB=60°,

VZl=-ZDAfi,N2」NEBA,

nn

Z1+Z2=-ZDAB+-^EBA=-(^DAB+ZEBA)=60°,

nnn

/.n=3.

故答案为：3.

【点睛】本题考查了平行线的性质，关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等：两直线平

行、同旁内角互补：两直线平行，内错角相等.

7.(四川成都•七年级校考期中)如图所示，已知力〃，微NBAE=3NECF,ZECF=25°,则ZE的度

数为度.

AB

【答案】50

【分析】过点£作用，微由/加氏3N£6E4ECF=25°,即可求得/加£的度数，又由加VCD求得NME

的度数，再由少”切得到/比2/以田25°,/D晔/FEg50,最后利用/4心/可汨-/成；求解即

可.

【详解】解：过点£‘作以

AB

；・/斯斤75c,

,:AByO）,

・•・/加用/物后75°,

♦：£GJCD

：.4ECF=/CEG=^0,/DF拄4FEG=13。,

/.^AEO^FEG-^CEG=75°-25°=50°,

故答案为：50.

【点睛】此题考查了平行线的性质.此题比较简单，解题的关键是掌握平行线的性质定理，注意数形结合

思想的应用.

8.（福建三明•七年级统考期中）观察下列图形：己知。〃〃，在第一个图中，可得N1+N2=18O。，根据

规律，则/1+/2+/4+/6+/八+/优=度.

【答案】5x180

【分析】分别过4、月、月作直线18的平行线A区PRP6,由平行线的性质可得出：N1+/J陵180°,

Z3+Z4=180°,Z5+Z6=180°,Z7+Z2=180°,根据规律得到N1+N2+NA+N乌+N月+N月=5X180°.

【详解】解：如图，分别过4、6、6作直线4B的平行线P?F,P、G,

AB//CD,

.・.AB//P,E//P2F//P,G,

由平行线的性质可得出：Nl+N3=180。，N5+N6=180。，Z7+Z8=180°,Z2+Z4=I80?,

・•・(1)Z1+Z2=18O°,

(2)Zl+ZZ]+Z2=2xl80o,

(3)Zl+Z/]+Z^+Z2=3xl80°,

(4)/l+NB+"+N£+N2=4xlgO。，

••.N1+2+R++E=5xl802=900?.

故答案为:900°

【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，利用两直线平行，同旁内角互补是解答此题

的关健.

三、解答题

9.（八年级课时练习）已知：如图，N8+NC+NQ=360。，求证：AB//DE.

A^>Bc

ED

【答案】见解析

【分析】根据平行线的性质定理N8+N8b=180。，进而得出//8+/。=180。，则b〃£»,即可得出

AB//ED.

【详解】证明：过点C作C/〃4人

・•・/B+NBCF=180。,

NB+NBCD+ZD=360°,

Z.ZFCD+ZD=180°,

：.CF//ED,

JAB//ED.

ED

F-----------\c

AB

【点睛】此题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握相关的定理是解题关键，解题时注意：同旁内角

互补，两直线平行.

1（）.（八年级课时练习）已知：如图，A4〃CQ求证：ZA+ZC=ZAPC.

【答案】见解析

【分析】过点〃作尸。〃人3,即得出PQ〃CO,再根据平行线的性质可得出乙4=ZAPQ,NC=/CPQ,

最后由Z4PQ+/aQ=NAPC,即可证NA+NC=ZA尸C.

【详解】证明：如图，过点尸作尸。〃48.

--------------B

CL---------------D

・・.ZA=N”Q.

VAB//CD.

：.PQ//CD,

.・.NC=NCPQ.

ZAPQ+ZCPQ=ZAPC,

：.ZA+ZC=ZAPC.

【点睛】本题考查平行线的判定和性质.正确作出辅助线是解题关键.

11.（黑龙江齐齐哈尔•七年级校考阶段练习）下列各图中的胡。与平行.

（1）图①中的NA+/A=度，图②中的NA+N&+NA=度，图③中的

NA+NA?+N&+/&=度，图④中的NA+N4+N&+/人+/4=度

第⑨个图中的NA+必+/&+…+//=度

⑵第〃一1个图中的NA+NA2+N4+…+4\=

【答案】（1）180、360、540、720,1620

⑵18O°x（/z-l）

【分析】（1）根据图形结合平行线的性质即可得出结论；

（2）根据（1）中结果，即可找出变化规律即可求解.

（1）

如图：

M----------

N-----------

①

♦:MA〃NA],

.・・/4+乙%=180。，

如绍②，过4作A/〃MA，

②

根据两直线平行，同旁内角互补芍：ZA+Z1=18O°,Z2+ZA=180%

又,.・/4424=/1+/2,

・・・幺+幺4&+幺=360。=180°乂（3-1）,

同理可得：

图③中：幺+4+必+4=540。=180°、（4一1）,

图④中：幺+4+4；+4+幺=720°=180°X（5-1）,

O

第⑨个图中：Z^+ZA2+ZA5+...+Z^0=1620°=180X（10-1）;

故答案为：180、360、540、720、1620.

（2）

结合（1）的结果可知：

第〃个图中的幺+幺+乙43+…+/4=180。乂（〃-1）,

故答案为：180。、（〃一1）.

【点睛】此题主要考查了两直线平行同旁内角互补，两直线平行，内错角相等的性质，过角的顶点作力〃的

平行线，构造同旁内角或内错角是解题的关键，此题规律性较强，需熟练掌握.

12.（江西赣州•七年级统考期中）根据卜.列叙述填依据.

（D已知如图1,AB//CD,求Na/H沙卜N〃的度数.

所以N/N的左180°

)

因为A8〃C。、FE//AB（已知）

所以

（)

所以加作180°

（）

所以///用*N止///初•吩/济力+N店360°

（2升艮据以上解答进行探索.如图（2）（3）AB.EF.N〃与/氏/尸有何数量关系（请选其中一个简要证

明）

备用图：

图（2）图（3）

⑶如图（4）AB：（EF.Z6=90°,Na与/£、//有何数量关系（直接写出结果，不需要说明理由）

【答案】（1）两直线平行，同旁内角互补；FE//CD,平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，同旁内

角互补

⑵见解析

（3）Za+Z^-Z/=9O°

【分析】（1）过点尸作正〃A8,得到N6+/H沪180。，再根据ABCD、FE〃AB得至"FE//CD.N"

//）眸180°,最后利用角度的和差即可得出答案；

（2）类比问题（1）的解题方法即可得解；

（3）类比问题（1）的解题方法即可得解.

（1）

解：过点£作FEZMB,如图，

・・・/8+/跖打180。（两直线平行，同旁内角相等），

VAB//CD.FE//AB（已知）

：.FE//CD（平行于同一直线的两直线平行），

・•・/〃卜/外发180°（两直线平行，同旁内角互补），

:.乙吩/BFI*41）=41"乙BF1*4EFD+/1）=360°；

故答案为：两直线平行，同旁内角互补；FE//CD,平行于同一直线的两直线平行；

两直线平行，同旁内角互补；

BA

(2)

解:选图(2),ND与NB、N/7的数量关系为：4BDR4B=/F;

图(2)

过点〃作DC//AH,

・•・/代/眦，

'：AB//EF,DC//AB.

ADC//EF,

：2CDQ43

：.4BDR4BDC=4F,

即NBDRN片NR

选组(3),N〃与N氏/尸的数量关系：N8厢///少

：・41A4BDC,

VAB//EF,DC//AB,

：.DCI/EF,

:.乙CD六乙F,

:,乙BDR乙BDC二4F,

即/BORN®/F

/初什N比；

(3)

解：Na+N尸一/7=90。

AB

图(4)

如怨(4)所示，过点C作MC〃A8,这D作DN〃EF、

Na=/BCM,?g?NDE,

VAB//CM,EF//AB,DN//EF

AH//EF//CM//DN,

・•・?CDN?MCD,

?MCD?BCM90?,?〃?CDN?NDE,

・•・Za+Z^-Z/=90°.

【点睛】本题考查根据平行线的性质探究角的关系和平行线公理推论的运用，熟练掌握平行线的性质和平

行线公理推论的运用是解题的关健.

13.(仝国•八年级专题练习)综合与探究，问题情境；综合熨践课上，王老师组织同学们开展了探究三

角之间数量关系的数学活动.

(1)如图1,EF〃MN,点、A,4分别为直线瓦用N上的一点，点〃为平行线间一点且/必少二胎。。，

NPBN=120。,求NAPB度数；

问题迁移

⑵如图2,射线OM与射线ON交于点0,直线加〃〃，直线勿分别交。例，ON于点力，D,直线〃分别交

OM,ON于点8,G点尸在射线上运动.

①当点夕在力，8(不与48重合)两点之间运动时，设/4OP=Na,/BCP=40.则NCPQ,Na,Z/?

之间有何数量关系？请说明理由；

②若点尸不在线段A8上运动时1点〃与点力，B,。三点都不重合)，请你直接写出NCP9/怎/4间的

数量关系.

【答案】(1)110°

(2)①NCPD=Na+N/，理由见解析；②乙CPD=乙［3—乙a或4CP0=4a—£0

【分析】（1）过尸作尸丁〃石产,8PT〃F.F〃MN、得/P4"+/APT=1X00,/TPR+/PRN=1X。。，即

WZPAF+ZAPT+ZTPB+ZPBN=360°,把NB4b=130。，NP8N=120。，代入即可求出；

(2)①过〃作尸E〃A。交。。于£,由AO〃尸石〃8C,得Na=NO尸E,"=NCPE,故

4CPD=ZDPE+ZCPE=Na+〃；

②分两种情况：当〃在阴延长线时.,此时NC9=N/一N。；当尸在8。之间时,，此时NCTO=Na-N，.

【详解】(1)