三角函数图像教案1

I--------------------------------------------------------------------------------------------------1

高中数学适用年级高一\

适用

学科

适用区域苏教版区域课时时长（分钟）2课时

1知识点1正弦、余弦、正切函数的图象及性质

____________JL__1

1.能画出的图象，了解三角函数的周期性.

教学目标1

2.理解正弦函数、余弦函数在区间上的性质（如单调性、最大值和最小值、1

1

图象与轴的交点等）.［来

13.理解正切函数在区间上的单调性.：

3.理解正切函数在区间（-2二）上的单调性.i

22

1.能画出的图象.1

教学重点

2.正弦函数、余弦函数、正切函数的性质的理解与应用.1

2.正弦函数、余弦函数、正切函数的性质的理解与应用.

1教学难点正弦函数、余弦函数、正切函数的性质的理解与应用.I

•

1________________J

【知识导图】

（教学过程

一、导入■■■

本节课复习正弦、余弦、正切函数的图象及性质.

二、知识讲解

定义域RR{x\x=^k^+^,keZ]

值域[-U][-U]R

周期性7=2乃T=21T=7T

奇偶性奇函数偶函数奇函数

增：

减：增：增

减：减：

单调性(k7r--,k7r+—)(keZ)

_,713万减：22

r[2攵乃+—,2女乃+——](ZeZ

2[2k兀,2k兀+万](A£Z)无减区问

对称

(Qr,O)(AcZ)(攵乃+2,0)(keZ)仔,0)(丘Z)

中心2

对称轴x=k冗+x=k7r(kwZ)无

考点2如何求三角函数的值域

2.型可换元转化为二次函数；

3.与同时存在时可换元转化；

4.(或)型,可用分离常数法或由来解决.

三、例题精析

的定义域和最值

例题1

⑴函数y=2sinl)

(2)函数y二的定义域为

【规范解答】Q)利用三角函数的性质先求出函数的最值.

•.•0《xW9,，一《x—W,

・・・singT)£

I■-近2，11

/.yG,/.ymax+ymin=2—.

(2)要使函数有意义，必须有，

.14+女兀，A£Z

工4+E,A£Z.

故函数1的定义域为{x|x#+kii且xN+kit,k£Z}.

【总结与反思】

(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图像

来求

(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：

①形如y=asinx+bcosx+c的三角函数化为y=Asin(cox+®)+k的形式，再求最

值(值域)；

②形如y=asin2x+tsinx+c的三角函数，可先设sinx=t,化为关于t的二次函数

求值域(最值)；

③形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函数，可先设t=sinx±cosx,化

为关于t的二次函数求值域(最值).

类型二三角函数的单调性、周期性

列函数的单调区间及周期：

例题1

(l)y=sin(—2丫+1)；(2)y=|tanx|.

【规范解答】(1)y=-sin,

它的增区间是y=sin的减区间，

它的减区间是y=sin的增区间.

由2kn-W2x-W2kJi+,k《Z,

得kn—WxWk丸+,k£Z.

由2kn+W2x—W2kJi+,k《Z,

得k/+WxWk兀+,k《Z.

故所给函数的减区间为，k£Z；

增区间为，k£Z.

最小正周期T=y=7i.

(2)观察图像可知,y=|tanx|的增区间是，k0Z,减区间是，k6Z.

最小正周期T=TC.

【总结与反思】

⑴求形如y=Asin(u>x+Q)或y=Acos(3x+。)(其中，3>0)的单调区间时，要视“u)x

+4)”为一个整体，通过解不等式求解.但如果3V0,那么一定先借助诱导公式将3化

为正数，防止把单调性弄错.

(2)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式光化简，并注意复合函数单调性规律“同

增异减”.

(3)求含有绝对值的三南函数的单调性及周期时，通常要画出图像，结合图像判定.

类型三三角函数的奇偶性和对称性

psinx+cosx(xGR),函数y=f(x+6)的图像关于直线x=0对称，则。的值

例题1

力_________•

(2)如果函数y=3cos(2x+(p)的图像关于点中心对称，那么即|的最小值为()

【规范解答】(l)f(x)=2sin,

y=f(x+0)=2sin图像关于x=0对称,

即f(x+d))为偶函数.

+小=+kn,kez,<b=kn+,keZ,

又・・・|6|W,/.<!>=.

(2)由题意得3cos(2X与+p)=3cos管+e+2兀)

=3cos=0,4-Q=kn+,k£Z,

A(|)=kn—,kez,取k=0,得|eI的最小值为.

【总结与反思】

若f(x)=Asin(u>x+。)为偶函数，则当x=0时，f(x)我得最大值或最小值.

若f(x)=Asin(3x+«)为奇函数,则当x=0时,f(x)=O.

如果求f(x)的对称轴，只需令3x+®=+kn(k£Z),求x.

如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令3x+0=kn(k£Z)即可.

类型四三角函数的单调性、对称性

P，函数f(x)=sin(3x+)在(，冗)上单调递减，则3的取值范围是()

例题1

(2)已知函数f(x)=2cos(3K+(p)+b对任意实数x有f(x+)=f(-x臧立，且f()=1,则实

数b的值为

【规范解答】(1)由VXVTT得3+<U)X+53+,

由题意知(3十，真3+)C[,],

,,故选A.

(2)由f(x+)=f(—x)可知函数f(x)=2cos(3x+<t))+b关于直线乂=对称，又函数f(x)在对

称轴处取得最值，故土2+b=1,...b=-1或b=3.

【总结与反思】

对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数3的范围的问题，首先，明确已知的单调区间

应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系

可求解.(2)函数y=Asin(ox-t-4>)+b的图像与其对称轴的交点是最值点.

四、课堂运用

os(-2x)的单调减区间为.

2.函数y=sinx的定义域为［a,b］,值域为［-1,］,则b-a的最大值为.

3.已知函数f(x)=Atan(3x+6)(3>0,［如<),y=f(x)的部分图像如图，则f()=.

答案与解析

1.【答案】同解析

【解析】由y=cos(：-Zt)=cos(2L：)得

2knW2x-W2kJi+Ji(kEZ),

故kn+WxWkir+(kGZ).

所以函数的单调减区间为［kn+,kii+］(kez).

2.【答案】问解析

【解析】由正弦函数的图像知S一砌皿=等一著=专

3.【答案】同解析

【解析】由题中图像可知，此正切函数的半周期等于一=,即最小正周期为，

所以3=2.由题意可知，图像过定点(.0),

所以0=Atan(2X+小)，即+d)=kn(k£Z),

所以<|>=kn-(k£Z),

又I巾|v，所以<!)=.

又图像过定点。1),所以A=L

综上可知，f(x)=tan(2x+),

故有定力=tan(2X畀戏)=tan.=小.

巩固if(x)=sin(一”6<0),y=f(x)图像的一条对称轴是直线x=

⑴求(p;

(2)求函数y=f(x)的单调增区间.

2.设函数f(x)=sin(—)—2cos2+1.

⑴求f(x)的最小正周期.

(2)若函数y=g(x)与y=f(K)的图像关于直线x=l对称，求当x£［0,］时,y=g(x)的最大值.

答案与解析

1.【答案】同解析

【解析】(1)令2X+6=kn+,k£Z,A4)=kn+,k£Z,

又一ji<e<0,则6=一.

(2)由⑴得：f(x)=sin,

令一+2kirW2x-W+2kn,k£Z,

可解得+knWxW+kn,kwZ,

因此y=f(x)的单调增区间为，k£Z.

2.【答案】同解析

【解析】(1)/U)=sin枭oscos詈sincosy

x/3.TtX37LT

=2s,nT-2C0ST

=sin(—),

故加)的最小正周期为T=Y=8.

4

(2)方法一在y=g(x)的图像上任取一点(x,g(x)),

它关于x=l的对称点(2—x,g(x)).

由题设条件，知点(2—x,g(x))在y=f(x)的图像上，

从而g(x)=A2_x)=45sin卓2r)苦］

—cos(+).

当OWxW时，W+W,

因此y=g(x)在区间［0,］上的最大值为

g(X)max=V^COS亨=1.

方法二区间［0,1关于X=1的对称区间为［,2］,

且y=g(x)与y=f(x)的图像关于直线x=l对称，

故y=g(x)在［0,］上的最大值为

y=f(x)^［、2］上的最大值.

由(1)知f(x)=sin(—),

当WxW2时，一W—W.

因此y=g(x)在［0,］上的最大值为

^(-r)nm=V3sin/=坐.

⑴求/(X)的定义域;

(2)求的值域及取最大值时x的值.

2.已知函数.

⑴求/哈)的值；

(2)试写出一个函数，使得，并求的单调区间.

答案与解析

1.【答案】同解析

【解析】(1)由1—2sinx20,根据正弦函数图像知：

定义域为.

(2)因为一iWsinxWl,所以一1W1—2sinxW3,

因为1—2sinx20,所以0W1—2sinxW3,

所以f(x)的值域为。］,当x=2kn+,k£Z时，f(x)取得最大值.

2.【答案】同解析

【解析】(1)因为f(x)=sin,所以f=sin=sin=.

(2)g(x)=cosx—sinx.理由如下:

因为g(x)f(x)=(cosx—sinx)(sinx+cosx)=cos2x—sin2x=cos2x,

所以g(x)=cosx—sinx符合要求.

又g(x)=cosx—sinx=cos,

由2kJi+ii<x+<2kn+2n,得2kn+<x<2kn+,keZ.

所以g(x)的单调递增区间为，kez.

五、课堂小结

1.正弦函数的图象及性质.

2.余弦函数的图象及性质.

3.正切函数的图象及性质.

基础

I.函数y=的定义域是

2.设函数f(x)=3sin(x+),若存在这样的实数xl,x2,对任意的x£R,都有f(xl)W

f(x)Wf(x2)成立，则|xl—x2|的最小值为.

3.已知函数f(x)=cosxsinx(x£R),给出下列四个命题：

①若f(xl)=-f(x2),则xl=-x2；

②/5)的最小正周期是2兀；

③f(x)在区间［一，］上是增函数；

④f(x)的图像关于直线*=对称.

其中真命题是.

答案与解析

1.【答案】［ku,kn+］(k£Z)

【解析】|sinx+cosx|-1200(sinx+cosx)2>1

=sin2x20,・'・2k□W2x/2kn+n,k^Z,

故原函数的定义域是［kn,kn+］(kGZ).

2.【答案】2

【解析】f(x)=3sin(x+)的周期T=2JIX=4,

f(xl),应分别为函数的最小值和最大值、

故由一刈的最小值为亨=2.

3.【答案】③@

【解析】f(x)=sin2x,当xl=0,x2=时，

f(xl)=-f(x2),但K1W-X2,故①是假命题;

的最小正周期为五,故②是假命题;

当x£［一,］时,2x£［一,］，故③是真命题；

因为f()=sinn=—,

故f(x)的图像关于直线*=又对称，故④是真命题.

巩固田函数f(x)=sin2x—cos2x4-1.

(l)SxG［,］时，求f(x)的最大值和最小值；

(2)求f(x)的单调区间.

2.已知a>0,函数f(x)=-2asin+2a+b,当时，一5《f(x)《l.

(1)求常数a,b的值;

(2)设g(x)=f且Igg(x)X),求g(x)的单调区间.

答案与解析

L【答案】同解析

【解析】(1次E)=sin2x—小cosZr+1=2sin(2x—5)+1.

J

WxW,W2xWn,W2x-W,

Wsin(2x-)W1：，lW2sin(2x-)W2,

于是2W2sin(2x-)+1W3,

二.f(x)的最大值是3,最小值是2.

⑵由2kir-W2x-W2kn+,k£Z

得2kn—W2xW2kn+,k£Z,

kn-&x《kn+,k£Z,

即f(x)的单调递增区间为[kJi-,kn+],kGZ,

同理由2k/+W2x—W2kn+,k£Z

得f(x)的单调递减区间为[k“+,kir+],k£Z.

2.【答案】同解析

【解析】(l)：x£,，2x+E.

/.sin£,

-2asin曰[-2a,a].

/.f(x)G[b,3a+b],

又・・・-5Wf(x)