三数列-高考数学数列专练

(3)数列

1.已知在等差数列｛4｝中，4+《=20,%=12,则％二(।

A.10B.8C.6D,4

2.设公差的等差数列｛《)中，出,%，4成等比数列，则甘=()

v<|十十

344

A.1B.-C.-D,-

4453

3.已知数列{4},料｝均为等差数列，其前〃项和分别为S“，T“,满足(2〃+3电=(3〃-1)兀

则…+%=(

)

A.2B.3C.5D,6

4.已知等比数列｛%｝的前〃项和为S.,且，*-S.=2,其中"cN”.若在%与人之间插入3个

数，使这5个数组成一个公差为"的等差数列，则4=()

A.2B.3C.-D,—

22

5.设等比数列｛2｝的前〃项和为5.，己知。2。3=8《，生=16,则S§=()

A.15B.18C.31D.63

6.已知等比数列｛%｝为递增数列，々=5■.记S”，7；分别为数列｛%｝,色｝的前〃项和，若

n

°2=4/，§3+4=12,则s.二()

7.北宋数学家沈括博学多才、善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，

不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？经过反复尝试，沈括提出对于上底有时个，下底有必

个，共〃层的堆积物(如图所示)，可以用公式S.[(Md)〃+("2d)c]+《(r)求出物体

的总数，这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列他，

(a+l)S+l),(〃+2)・(〃+2),…M+〃-1)(力+〃-1)=〃的和.若由小球堆成的上述垛积共7层，

小球总个数为238,则该垛积最上层的小球个数为（）

A.2B.6C.12D.20

8.德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响.他幼

年时就表现出超人的数学天才，10岁时，他在进行1+2+3+…+100的求和运算时，就提出倒

序和加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也

9n-98

称之为高斯算法.已知数列则4+4+…+须=（）

2/1-99

A.96B.97C.98D.99

9.（多选）已知等差数列｛《,｝的前〃项和为S”，且4S「5S4=20,%=1,贝乂）

A.«,=-11

B.Sg=-9

C当〃=5时，S”取得最小值

2

D.记bn=a2n，则数列也｝前n项和为2n-9〃

10.（多选）己知等差数列｛qj的前〃项和为S”，公差为d,且4<0,若4）+每=42,则下

列命题正确的是（）

A.数列｛〃“｝是递增数列

B.《3是数列｛〃“｝中的最小项

C.L和S”是母｝中的最小项

D.满足S“<0的〃的最大值为25

11.（多选）在等比数列｛〃”｝中，《%=2,%=4,则（）

A.｛qJ的公比为血B.｛q｝的公比为2

C.a.+4=20D.数列log2—为递增数列

12.（多选）数列｛4｝中，记5”为数列｛qj的前〃项和，1为数列｛%｝的前〃项积，若4=16,

2可「4二。（〃£河），则（）

（\V-51

A.«=-B.5„=32-—

■⑶2"7

C.数列｛log?atl｝是单调递增数列D.当7；取最大值时，〃=4或〃=5

13.对于数列｛q｝,定义数列｛〃用+4｝为数列乩｝的“和数列"，若4=1,数列｛%｝的“和数列”

的通项公式为3-2",则数列｛凡｝的前21项和S.=.（结果保留指数形式）

14.已知数列｛6｝满足%=5,〃2”=2凡+1,24+|=aa+4+2（〃eN'），设｛可｝的前〃项和为S,,

则S,=.

15.为了让自己渐渐养成爱运动的习惯，小明1（）月1日运动了5分钟，从第二天开始，每天运

动的时长比前一天多2分钟，则从10月1口到10月的最后一天，小明运动的总时长为

分钟.

16.等比数列｛q｝的前〃项和记为S“，若§2=-1应=17邑，贝1」§6=.

17.己知S”是等差数列｛a,,｝的前项和.

（1）证明：1是等差数列；

n

（S

（2）设。为数列」的前项和，若E=2,邑=14,求7；.

n

18.设也｝是等差数列，也｝是等比数列，且-&=L

（1）求｛凡｝与也｝的通项公式；

（2）设｛4｝的前n项和为S”，求证：（S”+i+4用）〃=S"+也用-S/”；

19.已知数列也｝满足：4=2,%=4,数列也-〃｝为等比数列.

⑴求数列｛4｝的通项公式；

(2)求和：S„=+a2+--•+an.

20.设｛q｝是首项为1的等比数列，数列｛〃,｝满足"=中.已知外,3%，9%成等差数列.

（1）求｛q｝和｛包｝的通项公式;

q

（2）记S”和7；分别为｛〃“｝和也｝的前〃项和.证明：T*.

答案以及解析

1.答案：B

解析：由等差数列｛%｝中，因为%+4=20,可得24=%+@=20,所以4=1。,

又由%=12,且/="?t可得6=2%—%=20—12=8.故选：B.

2.答案：C

解析：因为等差数列｛q｝中，的，%，4成等比数列，所以即

8-4〃『=（4+2"）・（4+7"）,即年/=2/，因为”工0,解得2d=q,

4+%+6_3/_%_q+2d_2d+2d_4

所以4+a4+%3&&eq+3d2d+3d5'。

3.答案：A

解析：因为数列｛4｝,｛〃“｝均为等差数列，可得生十火十%=3q=*xl5%=ES]5,

且4+%=〃+九，乂山九二半3,可得以+如二〃因此

乙Iu

%十色=_g_=3.&=3X±=2故选.

4A.

a+'2T2加23-

157,5

4.答案：B

解析：因为凡+1—S“=2,所以当"N2时，=2,两式相减得q+1-q「（S“一S”_J=0,

即，*=2。“，所以公比为2,%=2《，又当〃=1时，/-4=2,得4=2,所以等比数列㈤｝

的通项公式为凡=2",〃eN'，所以。,=4,4=16,公差"二g三&=3=3.故选：B.

44

5.答案：C

解析：设等比数列｛凡｝的公比为q,因为。2%=84，所以。闻〃“二的，

,416c,

因为〃尸0,所以4/=4=8,又4=16,所以。='=d=2,因为4g3=8q=8,解得4=1,

U4O

-夕s)lx(l-25)

所以Ss=---------------^=31.故选：C

\-q1-2

6.答案：C

14

解析：%=%%=%q=1=%=—，S3+7^=12=>2^+3+—=12,则

qq

2g2_9g+4=(2q-l)(4-4)=0nq=J,%=4.由于｛4｝为递增数歹ij,则q=4,4=:，

所以｛4｝的通项公式为勺=4"-2,所以=]故选：c

M-1-4Fl'

7.答案：B

解析：由题意，得c=a+6,d=b+6,则由\((2/2+d)a+e+2d)c]+,(c—〃)=238得

、[(2〃+〃+6”+(〃+2〃+12)(a+6)]+/a+6-a)=238,整理得"+3(a+b)=21,所以

a+b=7-g<7.因为小〃为正整数,所以必=3或6.因此有，a+b=6,a+b=5,a+b=6

或,一而

ab=3

无整数解，因此必=6.故选B.

8.答案：C

96949698

解析：令S=q+"+•••+%+%=+…4

97959597

098969496

5=阳+%+,••+%+4=/+记+•••+—+—,

9597

9694969898969496

两式相加得：25=----d--------!"♦••+------1------+------1-------F•••+----H-------

97959597)97959597；

969894969694

—+—+—+—+…+—+—4-以丝=98x2,5=98,故选：C.

9797；<9595；(9595；<9797

9.答案：BCD

解析：设公差为人因为4邑一554=20,则4x（5q+等</）一5（4%+等1）=20,

解得d=2.由4=4+5，/=1得4=-9.选项A错误：

S”=一9〃+"(丁)x2=一10〃=(〃-5)2一25,则品二-9,选项B正确,

二次函数性质知道〃=5时，S.最小，选项C正确;

b/if=a2n+2_a2n=2d=4,所以也｝为等差数列，b[=%=F,前〃项和为

-7〃+〃("％4=2〃2-9",选项D正确.故选：BCD.

10.答案：AC

解析：对于A：因为等差数列｛6｝的前〃项和为S”，公差为d,且4<0,%。+45=%2，

所以q+9d+4+14d=a]+\\d，所以%=^+12^=0,因为q=-124<0,所以d>0,数列｛%｝

是递增数列，A正确；

对于B：因为数列｛%｝是递增数列，所以最小项是首项q,B错误；

对于C：因为《<0,43=。，所以当〃=12或〃=13时，5“取最小值，C正确；

对于D：由不等式S“+"(；1)4=〃(%-124)+"；l)d=g(/?-25)<0,可得<25,

又因为〃£N*,所以满足S“<0的〃的最大值为24,D错误.

故选：AC.

11.答案：BC

r2fa

解析：设等比数列｛q｝的公比为办依题意得解得所以。“=2”工

故6+々5=22+24=20,故BC正确，A错误；

对于D,log2—=1-»,则数列<嚏2,为递减数列，故D错误.故选：BC.

12.答案：ABD

解析：由26住-2=0,得誓=；，即｛q｝首项为16,公比为;的等比数列，

1

2

log2^=log2^=5-/2,故数列｛log?4｝是单调递减数列，C错误；

因为｛勺｝首项为16,公比为;的等比数列，单调递减，牝=1,所以当(取最大值时，〃=4或

〃=5,D正确；故选：ABD

13.答案：4"-3.

解析：因为4=1,数列也｝的“和数列”的通项公式为3・2",所以数列，%+/=32,

S2l=4+(/+%)+(&+%)+…+(々20+421)

=14-3x22+3x244-...+3x22O=14-12x(1~4lO)=4ll-3,故答案为：4"-3.

1-4

14.答案：〃2

解析：由2%=。“+-，所以。用-%=限--，所以数列｛4｝为等差数列，

并设其公差为乩首项为《，又因为小”=2%।1,即41(2〃l)d=2[q1)J]I1,解得

d=a｝+\,因为q=4+24=5,所以q=l,d=\,所以Sn=〃+"〃"x2=〃2.

2

故答案为：〃t

15.答案:1085

解析：由题意小明每天的运动时长构成等差数列｛4｝,其中6=5,d=2,

所以品=31x5+卫产x2=l()85(分钟)，即小明运动的总时长为1085分钟.故答案为：1085.

16.答案：-21

解析：因为\=17'，显然“工1,

4

则4(1力「(]7)0+力二]7、4(~),化简得"/=17,解得/=16,

\-q\-q\-q

则9=±25=-1=4+的，当夕=2时，=-1,丁-64)=2]，

\-q-1

当,/=一2时，q=l,56=4°一一)=&二竺1=_21.故答案为:-21.

\-q3

17.答案：（1）见解析

17

2

（2）T=2n+—n（n-1）4-4-

4

解析：（1）证明：:s“二（4+4）",.♦.&=（4+%）.

02n2

，工_2±=（q+。“）_（%+%_L）=幺...[盘]是等差数列.

nn-\222

（2）二S]=2,S4=14,

数列图的首项为2,第四项为g.公差",二:一1J.

32

2

Tn=277+-w（/z-l）=-n+—n.

18.答案：（1）勺=2〃-1,b„=2-1；

⑵证明见解析

解析：（1）设等差数列｛4｝的公差为d,等比数列也」的公比为9,

*.*4=4=/一%=4-4=1，

1+"-4=1,\+ld-q2=\,

解得d=q=2,

n

:.atl=\+2（n-l）=2n-\,hn=2-'.

（2）证明：•・•2+I=22工0,

•••要证明（S,向+~应=-S也,

即证明（5用+4加）“=2£川也一S也，

即证明S”+]+a“+i=2S”+]-S”,即证明a“+i=Sll+l-Sn,

由数列的通项公式和前〃项和的关系得：《向=5.“-5”，

二（S用+4用）〃=S”+"|-S,"

19.答案：（1）〃+2"

（2）^n2+-n+2n-\

22

解析：⑴因为4=2,%=4,数列｛勺一〃｝为等比数列,

所以=d—2=2,贝^^^=2

q-1

即｛（一科是以1为首项，2为公比的等比数列，

所以/一〃=2"，则凡=〃+2力.

⑵5“二囚+生+