上海民办扬波中学七年级下册数学期末试卷章末练习卷（含解析）

上海民办扬波中学七年级下册数学期末试卷章末练习卷（含解析）

一、解答题

1.已知直线28〃CD,点P、Q分别在48、CD上，如图所示，射线P8按逆时针方向以每

秒12。的速度旋转至力便立即回转，并不断往返旋转；射线QC按逆时针方向每秒3。旋转

至QD停止，此时射线P8也停止旋转.

（1）若射线P8、QC同时开始旋转，当旋转时间10秒时，P6与的位置关系为；

（2）若射线QC先转15秒，射线P8才开始转动，当射线P8旋转的时间为多少秒时，

PB'//QC.

0・4°・4

（各用图）Q（各用图）Q

2.已知AB〃CD,定点E,产分别在直线A8,CO上，在平行线A8,CO之间有一动点

4弓B

CFD

备用图1

[EB

备用图2田

（1）如图1所示时，试问NAKP,NEPF,NPFC满足怎样的数量关系?并说明理由.

（2）除了（1）的结论外，试问NAEP,ZEPF,NPPC还可能满足怎样的数量关系?请画

图并证明

（3）当/满足0°<4尸尸<180°,且QE,Q尸分别平分NPE8和NPFO,

①若NEP尸=60。，则/£。尸=

②猜想NEP歹与乙区2尸的数量关系.（直接写出结论）

3.已知，4811CD.点M在48上，点N在CD上.

（1）如图1中，ZBME.NE、NE/V。的数量关系为：;（不需要证明）

如图2中，ZBMF.NF、NFN。的数量关系为：；(不需要证明)

(2)如图3中，A/E平分/FND,MB平分NFME,且2/E+/F=180。，求NFME的度

数；

(3)如图4中，ZBME=60°,EF平分/MEN,NP平分NEND,且EQII/VP,则NFEQ的大

小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出/FEQ的度数.

(1)如图1,求证：ZA+ZC=90°；

(2)如图2,过点A作3D_LM4的延长线于点。，求证：ZABD=NC；

(3)如图3,在(2)问的条件下，点E、尸在上，连接跖、BF、CF,且8/平分

NDBC,BE平分NABD,若ZAFC=/BCF,/BFC=3/DBE,求NE8C的度数.

5.已知，如图：射线正分别与直线AB、C。相交于七、F两点、,NPFD的角平分线与

直线A8相交于点M,射线PM交CD于点、N,设NPfM=a。，NEMF=夕。且

(a-35)2+|/?-«|=O.

(1)a=,p=:直线A8与的位置关系是；

(2)如图，若点G是射线M4上任意一点，且NMGH=NPNF,试找出NFMN与NG”/

之间存在一个什么确定的数量关系？并证明你的结论.

(3)若将图中的射线PM绕着端点〃逆时针方向旋转(如图)分别与A3、CO相交于点

Mi和点NI时，作NPM避的角平分线Mg与射线/7M相交于点Q,问在旋转的过程中

的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由.

Q

B±

D

DDC

图

图12图3

二、解答题

6.已知AM//CN,点8为平面内一点，A8_L8C于8.

图1图2图3

（1）如图1,点9在两条平行线外，则N4与NC之间的数量关系为;

（2）点“在两条平行线之间，过点“作于点D.

①如图2,说明/48£>=NC成立的理由；

②如图3,BF平分NDBC交DM于点、F,BE平分〃\BD交DM于点、E.若

NFCB+NNCF=180。,NBFC=3NDBE,求/EBC的度数.

7.如图1,AB//CD,在/W、。。内有一条折线EP/L

图1图2

（1）求证：/AEP+ZCFP=NEPF；

（2）在图2中，画N3"的平分线与N力”的平分线,两条角平分线交于点Q，请你补全

图形，试探索NEQ尸与NEP厂之间的关系，并证明你的结论；

（3）在（2）的条件下，已知N由力和NO尸P均为钝角，点G在直线48、C7）之间，且满

足NBEG’NBEP,ZDFG=-ZDFP,（其中〃为常数且〃>1）,直接写出NEG尸与

nn

N出小'的数量关系.

8.如图1,AB//CD,E是A3、。。之间的一点.

(1)判定〃4E,/。/)£与乙4£。之间的数量关系，并证明你的结论;

(2)如图2,若ZBAE、NC£>&的两条平分线交于点F.直接写出NAF£>与NAEO之间的

数量关系；

(3)将图2中的射线。C沿。E翻折交4产于点G得图3,若ZAGO的余角等于2NE的补

角，求447T的大小.

9.已知：如图1,ABHCD,点、E,尸分别为A8，C。上一点.

EE

A---------------------------BA---------------------------B

(1)在A8,CQ之间有一点M(点M不在线段E尸上)，连接ME,MF,探究

Z4EM,/EMF,NMRT之间有怎样的数量关系，请补全图形，并在图形下面写出相应

的数量关系，选其中一个进行证明.

(2)如图2,在AB,C。之两点M,N,连接ME,WN,NF,请选择一个图形写出

ZAEM,NEMN,NMNF,NNUC存在的数量关系(不需证明).

10.问题情境

(1)如图1,已知A8〃CD,ZmA=125\ZPCD=155\求N8PC的度数.佩佩同学的

思路：过点。作PG〃48,进而PG//C。，由平行线的性质来求N8PC,求得

4BPC=.

问题迁移

(2)图2.图3均是由一块三角板和一把直尺拼成的图形，三角板的两更角边与直尺的两

边重合，ZACB=90\DF//CG,48与F。相交于点E,有一动点P在边BC上运动，连

接PE,PA,记NPED=/a,4PAC=40.

①如图2,当点尸在C,。两点之间运动时，请直接写出/4OE与N。，〃之间的数量

关系；

②如图3,当点P在B,。两点之间运动时，ZAPE与〃之间有何数量关系？请判

断并说明理由；拓展延伸

(3)当点。在C,。两点之间运动时，若/PED,NP4C的角平分线EN,AN相交于点

N,请直接写出4NE与Na,

图1

三、解答题

11.如图所示，已知射线C8//。4,A4//OC,NC=N。W=100°.点E、F在射线CB上，且

满足NPOB=Z4O4,0E平分NCUF

(1)求NEOB的度数;

(2)若平行移动AB,那么NOBUNOR7的值是否随之发生变化？如果变化，找出变化规

律.若不变，求出这个比值；

(3)在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使NOEC=NOBA?若存在，求出其度

数.若不存在，请说明理由.

(1)求ND4E的度数；

(2)如图②，若把“AE_LBC"变成"点F在。4的延长线上，FELBC",其它条件不

变，求NZ)尸石的度数；

(3)如图③，若把"人后_18(7〃变成"人苫平分/8石。〃，其它条件不变，ND4E的大小是

否变化，并请说明理由.

13.模型与应用.

(模型)

(1)如图①，已知4811CD,求证/1+zMEN+N2=360°.

①

(应用)

(2)如图②，已知A8IICD,则N1+N2+N3+N4+N5+N6的度数为_.

②

如图③，已知ABIICD,则/1+Z2+Z3+Z4+Z5+N6+...+/n的度数为

③

(3)如图④，已知4811CD,/4M1M2的角平分线Mi。与NCMnMn—i的角平分线MQ交

于点。，若NMiOMn=m°.

在(2)的基础上，求N2+N3+N4+N5+N6+......+/的度数.(用含m、〃的代数式

表示)

14.如图1,CE平分N/4CD,AE平分NB4C,ZEACtZACE-9()

⑴请判断与co的位置关系并说明理由;

(2)如图2,当NE=90且A3与。。的位置关系保持不变，移动直角顶点E,使

/MCE=/ECD,当直角顶点E点移动时，问血上与4/C。否存在确定的数量关系？并

说明理由.

(3)如图3,P为线段AC上一定点，点Q为直线CO上一动点且A8与CO的位置关系保持

不变，①当点。在射线CQ上运动时(点C除外)，/CPQ+NCQP与/BAC有何数量关

系？猜想结论并说明理由.②当点。在射线。。的反向延长线上运动时(点C除外)，

NCPQ+/CQP与/8AC有何数量关系？直接写出猜想结论，不需说明理由.

15.直线M/V与直线PQ垂直相交于0,点八在射线0P上运动，点8在射线0M上运

动,4、8不与点0重合，如图1,已知4：、8c分别是/84P和/A8M角的平分线，

(1)点48在运动的过程中，/ACB的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；

若不发生变化，试求出NACB的大小.

(2)如图2,将△A8c沿直线48折叠，若点C落在直线PQ上，则N48。=,

如图3,将△A8c沿直线A8折叠，若点C落在直线M/V上，则/八8。=

(3)如图4,延长84至G,已知N8A。、N04G的角平分线与N8。。的角平分线及其反

3

向延长线交于E、F,则N£4F=_；在中，如果有一个角是另一个角的彳倍，求NA8。

的度数.

【参考答案】

一、解答题

1.(1)PB」QU;(2)当射线PB旋转的时间为5秒或25秒或45秒时，PB*IIQC

【分析】

(1)求出旋转10秒时，/BPB，和NCQU的度数，设PB，与QC咬于0,过。作OEIIAB,

根

解析：(1)PB'-LQC；(2)当射线P8旋转的时间为5秒或25秒或45秒时，PB'WQC

【分析】

(1)求出旋转10秒时，/8P9和/CQC的度数，设P8与QC交于O,过。作0EII4B,根

据平行线的性质求得NP0E和NQOE的度数，进而得结论；

(2)分三种情况：①当。VK15时，②当15＜区30时，③当304V45时，根据平行

线的性质，得出角的关系，列出t的方程便可求得旋转时间.

【详解】

解：(1)如图1,当旋转时间30秒时，由已知得N8Pe=l(rxl2=120。，ZCQC=

3°xl0=30°,

过。作OEIIAB,

'：ABWCD,

：.4811OEIICD,

NPOE=1800-NBP8'=60°,ZQO£=NCQU=30。，

ZPOQ=90°,

PB'A.QC,

故答案为：PBUQC'；

(2)①当0VK15时,加图，则N8PB，=12t。，NCQU=45°+3t°,

■：AB\\CD,PB'WQC,

ZBPB'=NPEC=Z.CQC,

即12t=45+33

解得，t=5；

②当15VK30时，如图，则N4P8'=12t-180°,ZCQC=3t+45°,

ABWCD,PB'WQC,

Z8PB'=NBEQ=NCQC,

即12t-180=45+36

解得，t=25；

C1

U~(♦一国)bp\C

\

\

\

\

\・

B1

③当30<t<45时，如图,则/BPB'=12t-360°,ZCQC=3t+45\

C1

.

\

X-----------------gA

\\\、

\、\\

XX

X、

、、、\\\

、\

X、

V4811CD,PBr\\QC,

ZBPB'=N8EQ=NCQC,

即121-360=45+33

解得，t=45；

综上，当射线P8旋转的时间为5秒或25秒或45秒时，PB'WQC.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，第(1)题关键是作平行线，第(2)题关键是分情况讨

论，运用方程思想解决几何问题.

2.(1)ZAEP+ZPFC=ZEPF；(2)ZAEP+ZEPF+ZPFC=3G0°；(3)①150°

或30；②/EPF+2ZEQF=360°或NEPF=2ZEQF

【分析】

(1)由于点是平行线，之间

解析：(1)NAEP+NPFC=4EPF；(2)N4EP+NEPF+NPFC=360°；(3)①150°或30；

②NEPF+2AEQF=360°nJcZEPF=2NEQF

【分析】

(1)由于点/)是平行线48,C。之间有一动点，因此福要对点/)的位置进行分类讨论：

如图1,当P点在£尸的左侧时，ZAEP,NEPF,NPPC满足数量关系为：

/EPF=ZAEP+NPFC；

(2)当。点在炉的右侧时，NAEP,/EPF,NPFC满足数量关系为：

ZAEP+Z.EPF+/PFC=360°；

(3)①若当尸点在所的左侧时，NEQF=NBEQ+NQFD=15U°；当P点在E尸的右侧时,

可求得/跖。+©。=30°；

(2)(1)qjZEPF=1800-2ZBEQ+18(F-2ZDFQ=36()0-2(ZREQ+ZPFD),由

/EQF=NBEQ+/DFQ,得出NEP/+2/七。/=360°：可得EPF=ZBEP+"FD,由

/BEQ+ZDFQ=NEQF,得也|NEPF=2NEQF.

【详解】

解：(1)如图1,过点P作PG//A/3,

图1

;PGUAB,

:.^EPG=ZAEP,

\AB//CD,

:.PG//CD,

:.^FPG=^PFC,

:.ZAEP+NPFC=NEPF；

(2)如图2,当P点在炉的右侧时，ZAEP,ZEPF,/PFC满足数量关系为:

ZAEP+/EPF+4PFC=360°；

图2

过点夕作PG//AB,

PG//AI3,

.•.ZEPG+Z4EP=I8O°,

VABHCD,

:.PG//CDt

.•.4PG+NPW=180°,

ZAEP+NEPF+NPFC=36O0；

(3)①如图3,若当夕点在痔的左侧时,

B

/EPF=&T,

"PEBiZPFD=36OP6O°=3O0P,

EQ、FQ分别平分ZP年和NP/7),

:"BEQ=；NPEB,ZQFD=g4PFD,

:"EQF=NBEQ+ZQFD=:(/PEB+NPFD)=ix300°=150°：

22

如图4,当P点在E尸的右侧时，

图4

ZEPF=60°,

.•.ZP£B+ZPro=60°,

/.NBEQ+4QFD=；(/PEB-/PFD)=；x60°=30。；

故答案为：150。或30；

②由①可知：NEQF=NBEQ+NQFD=g(/PEB+NPFD)=；(360。-NEPF),

/.ZEPF+2Z.EQF=360°；

4EQF=NBEQ+NQFD=；(4PEB+ZPFD)=；4EPF,

NEPF=2NEQF.

综合以上可得NEPF与NEQF的数量关系为：Z.EPF+2/EQF=360°或ZEPF=2NEQF.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，平行公理和及推论等知识点，作辅助线后能求出各个角的

度数，是解此题的关键.

3.(1)ZBME=ZMEN-ZEND；ZBMF=ZMFN+NFND；(2)120°；

(3)不变，30°

【分析】

(1)过E作EHIIAB,易得EHIIABIICD,根据平行线的性质可求解；过F作

FHIIAB

解析：⑴NBME=/MEN-NEND；NBMF=NMFN+NFND；(2)120°；(3)不变,

30°

【分析】

(1)过£作EHII48,易得EHIIA8IICD,根据平行线的性质可求解；过F作FHII48,易

得FHIIA8IICD,根据平行线的性质可求解；

(2)根据(1)的结论及角平分线的定义可得2(ZBA4E+ZEND)+ZBMF-AFND=180\

可求解N8MF=60。，进而可求解;

(3)根据平行线的性质及角平分线的定义可推知N任进而可求解.

【详解】

解：(1)过£■作E川I48,如图1,

H---------->£

图1

NBME-NMEH,

'：ABWCD,

HEWCD,

/.ZEND=4HEN,

：.ZMEN=AMEH+NHEN=A8ME+NEND,

即NBME=ZMEN-ZEND.

如图2,过F作FHII48,

/.ZBMF=/MFK,

'：ABWCD,

FHWCD,

ZFND=NKFN,

ZMFN=NMFK-ZKFN=ABMF-ZFND,

即：4BMF=4MFN+NFND.

图2

故答案为/BME=NMEN-ZEND；ZBMF=NMFN+NFND.

(2)由(1)得/BME=Z.MEN-ZEND；ZBMF=NMFN+zFND.

••NE平分NFA/。，MB平分NFME,

/.ZFME=N8ME+NBMF,ZFND=AFNE+,END,

2ZMEN+NMFN=180-,

2(NBMf+zEND)十NBMF-NFND=180°,

2Z8ME+2NENO+NBMF-ZFND=180°t

即2NBMF-iZ.FND+NBMF-ZFND=180°,

解得NBMF=60°,

/.ZFME=2ABMF=120°；

（3）NFEQ的大小没发生变化，NFEQ=30°.

由（1）知：4MEN=NBME+/END,

,/EF平分/MEN,NP平分NEND,

/.ZFEN=ZMEN=（ZB/WFJ-ZEND）,ZENP=Z.END,

,/EQIINP,

ZNEQ=ZENP,

ZFEQ=AFEN-ZNEQ=（ZBME+zEND）-；iEND=；2BME,

,/ZBME=60°,

ZFEQ=yx60°=30°.

【点睛】

本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作平行线的辅助线是解题的关键.

4.（1）见解析；（2）见解析；（3）.

【分析】

（1）先根据平行线的性质得到,然后结合即可证明；

（2）过作，先说明，然后再说明得到，最后运用等量代换解答即可；

（3）设NDBE=a,则NBFC=3

解析：（1）见解析：（2）见解析；（3）ZEBC=105°.

【分析】

（1）先根据平行线的性质得到NC=N83，然后结合AB_L8C'即可证明；

（2）过R作BH//DM,先说明Z/WO=NCB〃，然后再说明B"〃NC得到NCW7=N。，

最后运用等量代换解答即可；

（3）设NO8£=a,则N8FC=3a,根据角平分线的定义可得N48。=/C=2a,

ZFBC=yZO8C=a+45。，根据三角形内角和可得/8FC+NFBC+ZBCF=180°,可得

ZAFC必BCF的度数表达式，再根据平行的性质可得NZFC+ZNCF=180。,代入即可算出a

的度数，讲而完成解答.

【详解】

（1）证明：:AMHCN,

NC=/BDA,

1.,A4JLBC于4,

4=90。，

ZA+ZfiDA=90o,

ZA+ZC=90°；

（2）证明；过B作BH//DM,

4O_LM4,

/.ZABD+ZABH=90°,

文:AB1BC,

：.ZAB〃+NC8H=90°,

ZABD=/CBH,

•/BH//DM,AM//CN

：.BH//NC,

4CBH=ZC,

ZA^D=ZC；

(3)设N08E=a,则N8FC=3a,

...BE平分/ABDt

ZABD=Z.C=2at

又:AB±BCtBF平分NDBC,

N。8c=/48。+/48c=2。+90,即：ZFBC^^Z.DBC=a+45°

又/BFC+NFBC+NBCF=180°,即：3a+a+45°+ZBCF=180°

ZBCF=135°-4a,

ZAFC=ZBCF=135°-4o,

文:AM//CN,

NAFC+NA/CF=180°,即：NAFC+NBCN+NBCF=180°,

1350-4a+135°-4a+2a=180,解得a=15°,

NABE=15°,

/.ZE8C=NABE+Z.Z\BC=15o+90o=105°.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质及角的计算，熟练应用平行线的性质、角

平分线的性质是解答本题的关键.

5.(1)35,35,平行；(2)ZFMN+ZGHF=180°,证明见解析；(3)不变,

2

【分析】

（1）根据（a-35）2+|p-a|=0,即可计算a和B的值,再根据内错角相等可证

ABIICD：

解析：（1）35,35,平行；（2）ZFMN+NGHF=180°,证明见解析；（3）不变，2

【分析】

（1）根据（a-35）2+|0-a|=O,即可计算a和6的值，再根据内错角相等可证2811CD；

（2）先根据内错角相等记GHIIPN,再根据同旁内角互补和等量代换得出

ZFMN+AGHF=180Q：

（3）作NPEMi的平分线交MiQ的延长线于R,先根据同位角相等证ERIIFQ,得

ZFQM产NR,设/PERNREB=x,ZPM#=NRMiB=y,得出/EPMi=2NR,即可得

NFPN\

【详解】

解：（1）•>,（a-35）2+|6-a|=0,

a=6=35.

...ZPFM=NMFN=35°,ZEMF=35°,

...ZEMF=NMFN,

AB\\CD；

（2）ZFMN+AGHF=180°；

理由：由（1）得八811CD,

ZMNFMPME,

ZMGHMMNF,

：.ZPME=NMGH,

：.GHWPN,

：.ZGHM=NFMN,

ZGHF+NGHM=180°,

/.ZFMN+AGHF=180°；

（3）邕工的值不变，为2,

理由：如图3中，作NPEMi的平分线交MiQ的延长线于R,

,/ABWCD,

ZPEM1=NPFN,

4PER=g/PEM1,4PFQ=；4PFN,

：.ZPER=4PFQ,

：.ERIIFQ,

,R

S3

ZFQMi=NR,

设NPER=Z.REB=x,ZPM\R=Z.RM\B=y,

.[y=x+ZR

川ml有：[2y=2x+N£7M'

可得/EPMi=2ZR,

ZEPMi=2NFQMi，

NEPM]NFPN\

'ZFQM「NQ=2.

【点睛】

本题主要考查平行线的判定与性质，熟练掌握内错角相等证平行，平行线同旁内角互补等

知识是解题的关键.

二、解答题

6.（1）ZA+ZC=90°；（2）①见解析；②105'

【分析】

（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；

（2）①过点B作BGIIDM,根据平行线找角的联系即可求解；②先过点B作

BGII

解析：（1）N4+NC=90。；（2）①见解析；②105。

【分析】

（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；

（2）①过点8作8GIIOM,根据平行线找角的联系即可求解；②先过点8作8GIIOM,

根据角平分线的定义，得出NA8FNG8F,再设NO8E=a,ZABF=6,根据

NCBF+NBFC+N8CF=18。，可得2。+6+3骁+3。+6=180"，根据AB_L8C,可得6+6+2覆=90”,最

后解方程组即可得到NABE=15°,进而得出NEBC=AA8E+N23。=15。+90。=105。.

【详解】

解：（1）如图1,AM与8c的交点记作点O,

,/AMWCN,

ZC=ZAOB,

-：AB±BC,

ZA+Z.AOB=90\

ZA+NC=90°；

(2)①如图2,过点8作8GliDM,

•/BD±AM,

：.DB±BG,

：.Z08G=90°,

/.ZABD+Z.48G=90°,

AB±BC,

ZCBG+Z48G=90°,

ZA8O=NCBG,

'：AMWCN,BGWDM,

BG//CN,

NC=NCBG,

ZABD=Z.C：

②如图3,过点8作8GIIOM,

•「8F平分NO8C,8£平分NA8。,

ZO8F=NCBF,ZDBE=ZABE,

由(2)知NA8O=NCBG,

ZABF=ZGBF,

设NDBE=a,ZABF=8,

贝ijNABE-a,ZABD-2a~^CBG,

ZG8F=NAFB=6,

Z8FC=3NDBE=3a,

ZAFC=3a+6,

ZAFC+NA/CF=180°,ZFCB+NNCF=180",

ZFCB=ZAFC=3a+6,

△8CF中，由NC8F+Z8FC+N8CF=180°得：

2a+0+3a+3a+6=18O°,

•/AB±BC,

J.6+6+2a=90°,

a=15°,

：.Z.ABE=15\

：.ZE8C=NABE+Z.A8c=15°+90°=105°.

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角

的余角（补角）相等进行推导.余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相

关联.解题时注意方程思想的运用.

7.（1）见解析；（2）；见解析；（3）

【分析】

（1）过点作，根据平行线性质可得：

（2）由（1）结论可得：，，再根据角平分线性质可得；

（3）由（2）结论可得：.

【详解】

（1）证明：如图1,过

解析：（1）见解析；（2）NKP厂+2NEQ尸=360。；见解析；（3）

ZEPF+z?ZEGF=360°

【分析】

（1）过点。作PG//45,根据平行线性质可得；

（2）由（1）结论可得：NEPF=ZAEP+NCFP,NEQF=NBEQ+/DFQ,再根据角平

分线性质可得"QF=NBEQ+NDFQ=1（360°-NEPF）；

（3）由（2）结论可得：ZEGF=ZBEG+ZDFG=-（ZBEP+ZDFP）=-（360°-ZEPF）.

【详解】

（1）证明：如图1，过点产作PG//A8,

,/AB//CD,

PG//CD,

•.ZAEP=4ZCFP=Z2,

又Z1+Z2=ZEPF,

ZAEP+Z.CFP=ZEPF；

图1

(2)如图2,

由(1)可得：NEPF=zAEP十乙CFP,乙EQF=4BEQ+乙DFQ,

■「NMP的平分线与NW「P的平分线相交于点Q,

/.NEQF=NBEQ+NDFQ=g(NBEP+NDFP)

=1[360°-(ZA£P+ZCFP)]=^(360°-/EPF),

o

/.ZEPF+2ZE(2F=360;

图2

(3)由(2)可得：ZEPF=ZAEP+CFP,Z.EGF=ZBEG+ZDFG,

•「/BEG=二/BEP,ZDFG=-ZDFP,

nn

：.NEGF=NBEG+NDFG=L(/BEP+NDFP)

n

=-[360°-(ZAEP+ZCFP)]=-(360°-NEPF),

NEPF+，i/EGF=36O。；

【点睛】

考核知识点：平行线性质和判定的综合运用.熟练运用平行线性质和判定是关键.

8.(1),见解析；(2)；(3)60°

【分析】

(1)作EF//AB,如图L则EF//CD,利用平行线的性质得N1=ZBAE,Z2=

ZCDE,从而得到NBAE+NCDE=NAED；

(2)如图2,

解析：(1)ZBAE+NCDE=ZAED,见解析；(2)ZAFD=^-ZAED；(3)60。

【分析】

(1)作EF//48,如图1,贝l]EF〃C。，利用平行线的性质得/1=N8AE,Z2=ZCDE,从

而得到NCDE=^.AED；

(2)如图2,由(1)的结论得N4FD=NBAF+NCOF,根据角平分线的定义得到NBM=

^-ZBAE,/CDF=；NCDE,则NAFD=；(N8AE+NCDE),加上(1)的结论得到

NAFD=g/AED；

(3)由(1)的结论得NAGD=NMF+NCOG,利用折叠性质得NCDG=4NCDF,再利用

3

等量代换得到NZGD=2/AED一二NBAE,力||上90。一/AGD=18(T-2NAED,从而可计算

出NBAE的度数.

【详解】

解：(1)NBAE+NCDE=ZAED

理由如卜.：

作EF//AB,如图1,

QAB//CD,

：.EF//CD.

;.NT=NBAE,N2=NCO£,

N84E十ZCDE=ZAED；

图1图2图3

(2)如图2,由(1)的结论得NAm=N8AF+NC£)b,

NBAE、NCDE的两条平分线交于点Q,

:.NBAF’NBAE,^CDF=-ZCDE,

22

ZAFD=-(Z.BAE+ZCDE),

2

­.ZBAE+ZCDE=ZAED,

:.Z.AFD=-ZAED；

2

(3)由(1)的结论得NAGQ=NB4尸+NCQG,

而射线DC沿DE翻折交AF于点G,

:"CDG=4NCDF,

NAGD=NBAF+4NCDF=-NBAE+2NCDE=-ZBAE+2(ZAED-NBAE)=

22

3

2ZAED——NBAE,

2

90。-ZAGD=180°-2ZAED,

3

90°-2ZAED+-NBAE=1800-2ZAED,

2

.\ZBAE=60°.

【点睛】

本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线

平行，内错角相等.

9.（1）见解析；⑵见解析

【分析】

（1）过点M作MPIIAB.根据平行线的性质即可得到结论；

（2）根据平行线的性质即可得到结论.

【详解】

解：（1）NEMF=ZAEM+ZMFC.ZAEM+ZE

解析：（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）过点M作MPIIAB.根据平行线的性质即可得到结论；

（2）根据平行线的性质即可得到结论.

【详解】

解：（1）/EMF=ZAEM+ZMFC.ZAEM+ZEMF+ZMFC=360°.

证明：过点M作MPIIAB.

,/ABIICD,

/.MPIICD.

/.Z4=Z3.

,/MPIIAB,

/.Z1=Z2.

,/ZEMF=Z2+Z3,

/.ZEMF=Z1+Z4.

ZEMF=ZAEM+ZMFC；

Ei

证明：过点M作MQIIAB.

,/ABIICD,

/.MQIICD.

/.ZCFM+Z1=180°；

,/MQIIAB,

ZAEM+Z2=180°.

ZCFM+Z1+ZAEM+Z2=360°.

ZEMF=Z1+Z2,

ZAEM+ZEMF+ZMFC=360°；

(2)如图2第一个图：ZEMN+ZMNF-ZAEM-ZNFC=180°；

过点M作MPIIAB,过点N作NQIIAB,

ZAEM=Z1,ZCFN=Z4,MPIINQ,

/.Z2+Z3=180°,

,/ZEMN=Z1+Z2,ZMNF=Z3+Z4,

ZEMN+ZMNF=Z1+Z2+Z3+Z4,ZAEM+ZCFN=Z1+Z4,

/.NEMN+ZMNFNAEM/NFC

=Z1+Z2+Z3+Z4-Z1-Z4

=Z2+Z3

=180°；

如图2第二个图：ZEMN-ZMNF+ZAEM+ZNFC=180<>.

过点M作MPIIAB,过点N作NQIIAB,

/.ZAEM+Z1=180°,ZCFN=Z4,MPIINQ,

/.Z2=Z3,

ZCMN=Z1+Z2,ZMN「=N3+Z4,

/.ZEMN-ZMNF=Z1+Z2-Z3-Z4,ZAEM+ZCFN=180°-Z1+Z4,

ZEMN-ZMNF+ZAEM+ZNFC

=Z1+Z2-Z3-Z4+180°-Z1+Z4

=180°.

【点睛】

本题考杳了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

10.(1)；(2)①，②，理由见解析；(3)

【分析】

(1)过点作，则，由平行线的性质可得的度数；

（2）①过点作的平行线，依据平行线的性质可得与，之间的数量关系；

②过作，依据平行线的性质可得，，即

解析：（1）80：（2）①=+②乙4PE=N/7-Na,理由见解析；（3）

【分析】

（1）过点尸作PG//A8,则PG〃CD,由平行线的性质可得N8PC的度数；

（2）①过点P作以）的平行线，依据平行线的性质可得NAP£与Na,4?之间的数量关

系；

②过“作。。//。/，依据平行线的性质可得N/?=NQPA,/a=/QPE,即可得到

ZAPE=ZAPQ-NEPQ=N0-Na；

（3）过P和N分别作见的平行线，依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到

4NE与Na,"之间的数量关系为/4NE=；（Na+N0.

【详解】

解：（1）如图1,过点P作PG//A3,则PG//8,

由平行线的性质可得/B+NBPG=I8O°,ZC+ZCPG=180,

又NPBA=125°,/PCD=155°,

NBPC=360*-125°-155°=80°,

故答案为：80；

（2）①如图2,ZAPE与5/夕之间的数量关系为乙4PE=Na+"；

过点P作PMIIFD,则PMIIFDIICG,

PMIIFD,

zl=za,

1.,PMIICG,

Z2=Z0,

z1+z2=za+zB，

即：ZAPE=/a+“，

②如图，HE与Na,N夕之间的数量关系为NAPE=N/?—Na；理由:

过/作尸。//。尸,

B

GAC

/DF//CG,

PQf/CG,

Z/?=ZQPA,乙a=/QPE,

ZAPE=ZAPQ-/EPQ=N”/a；

(3)如图，

由①可知，ZN=Z3+N4,

1/EN平分NDEP,AN平分NPAC,

/.Z3=^/a,Z4=工/0,

22i

/.ZANE与Na,之间的数量关系为N4NE=g(Na+N0.

【点睛】

本题主要考杳了平行线的性质，解决问题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质得

出结论.

三、解答题

11.(1)40°；(2)的值不变，比值为；(3)ZOEC=ZOBA=60°.

【分析】

(1)根据OB平分NAOF,0E平分NCOF,即可得出

ZEOB=ZEOF+ZFOB=ZCOA,从而得出答案；

(2

解析：(1)40°；(2)NOBUNO”*的值不变，比值为(3)/OEC=/OBA=60°.

【分析】

(1)根据OB平分NAOF.OE平分/COF,即可得出NEOB=NEOF+NFOB=^NCOA,从而

得出答案；

(2)根据平行线的性质，即可得出NOBC=NBOA,ZOFC=ZFOA,再根据

ZFOA=ZFOB+ZAOB=2ZAOB,即可得出NOBC：NOFC的值为1：2.

(3)设NAOB=x，根据两直线平行，内错角相等表示出/CBO=NAOB=x,再根据三角形的

一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出/OEC,然后利用三角形的内角和等于

180。列式表示出/OBA,然后列出方程求解即可.

【详解】

(1),/CBIIOA

ZC+ZCOA=180°

,/ZC=100°

ZCOA=180°-ZC=80°

ZFOB=ZAOB,OE平分NCOF

ZFOB+ZEOF=；(ZAOF+ZCOF)=COA=40°;

/.ZEOB=40°;

(2)ZOBC：NOFC的值不发生变化

1.,CBIIOA

/.ZOBC=ZBOA,ZOFC=ZFOA

,.1ZFOB=ZAOB

ZFOA=2ZBOA

/.ZOFC=2ZOBC

ZOBC：ZOFC=1：2

(3)当平行移动AB至3OBA=60。时,ZOEC=ZOBA.

设NAOB=x,

VCBIIAO,

ZCBO=ZAOB=x,

,/CBIIOA,ABIIOC,

/.ZOAB+ZABC=180°,ZC+ZABC=180°

ZOAB=ZC=100°.

•/ZOEC=ZCBO+ZEOB=x+40°,

ZOBA=1800-ZOAB-ZA0B=180o-100o-x=80°-x,

x+40°=80°-x,

/.x=20°,

ZOEC=ZOBA=80°-20°=60°.

【点睛】

本题主要考查了平行线、角平分线的性质以及三角形内带和定理，熟记各性质并准确识图

理清图中各角度之间的关系是解题的关键.

12.(1)ZDAE=14°；(2)ZDFE=14°；(3)NDAE的大小不变，NDAE

=14。，证明详见解析.

【分析】

(1)求出NADE的度数,利用NDAE=90°-ZADE即可求出NDAE

解析：(1)NDAE=14°；(2)ZDFE=14°；(3)NDAE的大小不变，NDAE=14°,证明详

见解析.

【分析】

(1)求出NADE的度数，利用NDAE=90°-ZADE即可求出NDAE的度数.

(2)求出NADE的度数，利用NDFE=90°-ZADE即可求出NDAE的度数.

(3)利用AE平分NBEC,AD平分NBAC,求出/DFE=15。即是最好的证明.

【详解】

(1)/ZB=45°,ZC=73°,

ZBAC=62°,

,/AD平分NBAC,

/.ZBAD=ZCAD=31°,

ZADE=NB+NBAD=450+31°=76°,

,/AE±BC,

ZAEB=90°,

ZDAE=90°-ZADE=14°.

(2)同(1),可得，ZADE=76°,

,/FE±BC,

ZFEB=90°,

/.ZDFE=900-ZADE=14°.

(3)ND4上的大小不变./D4E=14。

理由：:AD平分/BAC,AE平分NBEC

/.ZBAC=2ZBAD,ZBEC=2ZAEB

•「ZBAC+ZB+ZBEC+ZC=360°

/.2ZBAD+2ZAEB=360°-ZB-ZC=242°

/.ZBAD+ZAEB=121°

ZADE=ZB+ZBAD

/.ZADE=45°+ZBAD

ZDAE=1800-ZAEB-ZADE=1800-ZAEB-450-ZBAD=135°-(ZAEB+ZBAD)=135°-121°=14°

【点睛】

本题考查了三角形内角和定理和三角形外角的性质，熟练掌握性质是解题的关键.

13.(1)证明见解析；(2)900°,180°(n-l)；(3)(180n-180-2m)°

【详解】

【模型】

(1)证明：过点E作EFIICD,

ABIICD,

EFIIAB,

Z1+zMEF

解析:(1)证明见解析；(2)900°,180°(n-l)；(3)(180n-180-2m)°

【详解】

【模型】

(1)证明：过点E作EFIICD,

1.,ABIICD,

/.EFIIAB,

N1+ZMEF—180°,

同理N2+zNEF=180°

Z1+z2+NMEN=360°

【应用】

(2)分别过E点，F点，G点,H点作Li,L2,L3,L4平行于AB,利用(1)的方法可得

Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z5=180x5=900°：

由上面的解题方法可得:Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6+...+/n=180°(n-l),

故答案是：900°,180°(n-l)；

(3)过点。作SRIIAB,

,/ABHCD,

SRIICD,

ZAM1O=ZM10R

同理NCMnO=ZMnOR

ZAM104-ZCMnO=ZM1OR4-ZMnOR,

/.ZAMiO+zCMnO=ZMiOMn=m0,

,/MiO平分NAM1M2,

ZAMIM2=2ZAMIO,

同理NCMnMn-l=2ZCM