高数第八单元

高数第八单元高数第八单元高数第八单元第八单元重积分8-1二重积分［教学基本要求］高等数学理解二重积分的概念，了解二重积分的性质；掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标）;会用重积分求一些几何量（体积、曲面面积）．微积分了解二重积分的概念、几何意义与基本性质；掌握直角坐标系和极坐标系下二重积分的计算方法；会用二重积分计算空间立体的体积．[知识要点］1．二重积分的概念、几何意义、基本性质与应用．2．二重积分的计算方法(化为二次积分）：（1）画出积分域的草图；（2）选择坐标系：主要根据积分域的形状，有时也参看被积函数的形式．坐标系积分域的形状被积函数形式面积元素直角坐标系矩形、三角形或任意形极坐标系圆形、环形、扇形或环扇形或（3）选择积分次序：原则有二，一是第一次积分容易,并能为第二次积分创造有利条件；二是对积分域的划分越少越好．坐标系积分域的形状积分次序直角坐标系形区域:化为先对后对的二次积分形区域：化为先对后对的二次积分既非形区域，也非形区域先划分积分域，使其每部分或为形区域，或为形区域极坐标系形区域：化为先对后对的二次积分注：有些问题中给定了积分次序，但依此次序可能计算复杂甚至于不能用初等函数形式表示，但是这并不能断言二重积分不能计算,此时应考虑交换积分次序或改变坐标系．因此二重积分有交换积分次序与转换坐标系的问题．（4）积分限的确定：第一步：先定后积分变量的上下限，它们均为常数；第二步：在后积分变量的上下限内任取一点，过该点作后积分变量坐标轴的平行线且方向相同，穿入的为下限，穿出的为上限．注:注意极坐标系下积分域为形区域时的两种特例即极点在边界上和极点在积分域内部时．3．利用奇偶、对称性简化二重积分的计算：记积分区域的对称性被积函数的奇偶性二重积分的化简结果关于轴对称，且轴上方部分为关于变量为奇函数或偶函数关于为奇函数，即时；关于为偶函数,即时．关于轴对称，且轴右方部分为关于变量为奇函数或偶函数关于为奇函数，即时;关于为偶函数，即时．［典型例题补充］例1选择题设是连续函数，是由所围成的区域，下列结论正确的是（）.A．B．C．D．解：答案应为C．如图，将积分区域划分为的和．则．又关于和都是奇函数，所以，,故．例2计算．［分析]所给积分次序中不能用初等函数表示出来,但这并不表示所给二重积分不能计算，此时应考虑交换积分次序．交换积分次序步骤如下：①有所给累次积分的上下限列出表示积分域的不等式组；②由所得的不等式组画出的草图；③写出新的累次积分．依题中所给的二次积分可以看出,积分区域为:,以此作出的图形．将二重积分化为先对，后对的积分次序进行计算．解：注：常见的原函数不是初等函数的函数有：等．例3设，求，其中．解:被积函数是分段函数，如图所示，记，则例4设连续，且，其中和所围区域,求．解：设，将所给表达式化为,两边在上取二重积分，有:，所以，解得．所以．例5求，其中为围成的区域．［分析］被积函数中含有绝对值符号，可以看出在区域内符号不是单一确定的．因此可以仿定积分计算，以的线去划分积分区域，将划分成若干子区域，使在每个子区域内保持单一符号,以消除被积函数中的绝对值符号．同时，由积分区域和被积函数的形式可以看出,计算中应选择利用极坐标．解：记为，为，则．例6设平面区域,是定义在上的任意连续函数．试求．[分析］是任意连续函数，要求含有的函数的二重积分．考虑到定义在上的，被积函数中出现，我们知道是偶函数，是奇函数,因此联想到是否可以利用奇偶、对称性．解：是偶函数，因此是奇函数；又是奇函数，有是奇函数；是偶函数，可得是奇函数，有上述积分为0．例7设是上的连续函数,证明．证明：,又故．注：所给问题为定积分不等式问题,这种问题常常利用二重积分来解决．二重积分是借助于定积分建立起来的，同时它也开拓了定积分的计算途径．在证题过程中，常要用到定积分、二重积分对积分变量的无关性．［课堂练习］一、填空题1．D是由，,,所围区域，则．2．交换二重积分次序．3．设，则在极坐标下二次积分的形式为．4．设为，则。5．函数在正方形区域的平均值为.二、选择题1．下列叙述正确的是(）A．二重积分的几何意义是以为曲顶，以D为底的曲顶柱体体积；B．二重积分为二次积分；C．若是关于的奇函数，且积分区域D关于轴对称，当在D上连续时,必有；D．若D为，D1为，且，则2．将二次积分化为极坐标系下的累次积分为（）A.;B.；C.；D。3．，，则（）A。；B。；C。；D。4．设,其中在上连续，则=（)A.2；B.;C。；D.5．设,比较与的大小(）A.；B。;C.；D.三、解答题1．求,D：.2．将二重积分，,化为极坐标系下的累次积分．3．求,D：．4．求曲线，,,围成图形的面积．5．求坐标平面，和所围的体积．答案一、1。2.3.4.5.二、1．C2．D3．C4．A5．C三、1．2．3．4．5．［单元测试]A组一、填空题：1．设为以，,为顶点的三角形区域,则．2．二元函数在有界闭区域D上连续，,则．3．以区间，为底，以为顶点的曲顶柱体体积可表为．4．交换二重积分次序，．5．设，，则．二、单项选择题：1．累次积分可以写成（)．A．；B．;C．；D．2．改变积分次序=（)．A．；B．；C．；D．3．设，则必有（）．A.；B。;C。；D。但符号无法确定4．设D是平面上以，和为顶点的三角形区域，D1是D在第一象限中的部分，则（）．A.；B。；C.；D。05．圆之外和圆之内公共部分面积（)．A。B。C.D.三、计算题：1．画出的积分区域，并在直角坐标系下化为累次积分．2．求,．3．求，,,，．4．求，，,，．5．求，，．6．求，．四、应用题：1．求由曲线围成的平面图形的面积．2．求由平面,和柱面所围成的立体的体积．五、证