福建龙岩市高级中学等校2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷（含答案）

第=page22页，共=sectionpages22页福建龙岩市高级中学等校2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=(0,-1,1)与b=(0,2k-3,A.0 B.1 C.-1或3 D.-32.曲线y=13x3-A.-π4 B.π3 C.23.已知O是坐标原点，空间向量OA=1,1,2，OB=-1,3,4，OC=2,4,4，若线段ABA.22 B.3 C.8 4.若函数f(x)=x2-x，则函数f(A.6 B.3 C.2 D.15.已知空间三点A(1,1,1)，B(-1,0,4)，C(2,-2,3)，则AB与A.π3 B.π6 C.2π6.函数f(x)=eA. B.

C. D.7.已知函数f(x)的导函数为f'(x)A.32 B.1 C.-1 8.若函数fx=2-mx-A.0,1 B.1,2 C.2,3 D.-∞二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在空间直角坐标系中，已知A2,1,1，B1,3,2，C3,2,2，则(

)A.点A关于xOz平面对称的点是A'2,-1,1

B.点B关于x轴对称的点是B'1,-3,2

C.10.下列命题是真命题的有(

)A.平面α经过三点A(1,0,-1)，B(0,1,0)，C(-1,2,0)，n=(1,u,t)是平面α的法向量，则u=0，t=1

B.直线l的方向向量为a=(1,-1,2)，直线m的方向向量为b=2,1,-12，则l与m垂直

C.直线l的方向向量为a=(0,1,-1)，平面α的法向量为n=(1,-1,-1)，则l⊥α

D.A

，B11.已知函数f(x)=xA.当a=1时，f(x)的单调递减区间为[-4,0]

B.存在a<0，使得f(x)有三个零点

C.当a>0时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知空间向量a=(2,-1,1)，b=(1,1,2)，则|a+b|=13.已知空间向量a=1,1,0，b=-2,1,2，则向量a在向量b14.已知函数f(x)=alnx+12四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)在长方体ABCD-A1B1C1D1(1)用向量AB,AD,(2)求异面直线AE与A1C16.(本小题15分)已知函数fx=2lnx-(1)求a、b的值；(2)求fx在e-17.(本小题15分)已知函数fx(1)若a=4，求f(2)若fx有两个极值点，求实数a的取值范围；18.(本小题17分)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD//BC，AB⊥AD，PA=1，AB=(1)求证：CM//平面PAB(2)求平面PAB与平面PCD所成角的余弦值；(3)在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面PAQ的距离为2217？若存在，求出19.(本小题17分)已知函数f(x)=sinx-x(1)求切线l的方程;(2)判断f(x)在(0,参考答案1.D

2.D

3.B

4.B

5.C

6.B

7.D

8.B

9.ACD

10.BD

11.AD

12.313.(214.[9,+∞)

15.解：(1)因为E为B1C与BC1的交点，且所以BE=12所以AE(2)因为在长方体中，故以DA,DC,根据题意可得E1,4,2AE=-1,4,2可得AE⋅AE=1+16+8所以cosAE故异面直线AE与A1C所成角的余弦值为

16.解：(1)因为f(x)=2lnx-ax2+b，

所以f'(x)=2x-2ax．

依题意得f'(1)=0，f(1)=1，即2-2a=0-a+b=1．

解得a=1，b=2，

经检验，a=1，bxe(1(1,ef+0-f-单调递增极大值1单调递减4-又4-e2<-e-2，

所以f(x17.解：(1)若a=4，f则f'令f'x>0，解得x>2，令所以函数fx单调递减区间为0,2，单调递增区间为2,+∞(2)由fx=x由fx有两个极值点，则f'x所以Δ解得-12<a<0

18.解：(1)取PA中点E，连接EM、EB，又M是PD的中点，所以EM//AD，且又AD//BC，BC=1，AD=2，所以所以四边形EMCB为平行四边形，所以MC//又EB⊂平面PAB，MC⊄平面所以CM//平面PAB(2)因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂所以PA⊥AB，又AB⊥AD，所以以A为坐标原点，以AP为z轴，以AB为x轴，以AD为建立空间直角坐标系，如图所示，则P0,0,1，A0,0,0，B3,0,0所以AP=0,0,1，AB=3令平面PAB的法向量为n=x,y令y=1，则x=0，z=0，所以平面PAB令平面PCD的法向量为m=x,y令y=1，则x=33，z设平面PAB与平面PCD所成角为θ0<所以cosθ所以平面PAB与平面PCD所成角的余弦值为3(3)设BQBD=λ且0≤λ≤1，则BQ=λBD，由所以AQ=设平面PAQ的法向量为n1=x,令x=3，则y=3λ-又PD=0,2,-1，点D到平面PAQ的距离为所以n1⋅PDn1所以在线段BD上存在点Q，使得点D到平面PAQ的距离为2217

19.解：(1)f'(x)=cosx-a+1-xex，

所以切线的斜率k=f'(0)=-a，由题意得a=1．

所以f(x)=sinx-x-1ex，所以f(0)=si