河南省名校联盟2025-2026学年下学期高二数学4月阶段检测试卷（含答案）

高二数学注意事项:1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知函数fx=sinx+A.0B.1C.2D.32.已知Sn是等差数列an的前n项和,且S7=A.20B.23C.26D.293.已知随机变量X服从两点分布,且PX=1−A.0.2B.0.4C.0.6D.0.84.已知2−x7=A.−213B.27C.5.有5名护士到某医院实习,该医院将这5名护士分到心内科、心外科、骨科这三个科室,每个科室至少分1人，且每人只去一个科室，则不同的分配方案种数为A.40B.90C.150D.2406.已知点M−1,0,N0,1,在直线l:x−y+A.−13C.−737.已知函数fx=ex+x的图象在点0,fA.ln2C.32D.8.含甲乙丙的5人站成一排，其中甲不能站最左端，乙丙必须相邻且丙不能站最右端，则满足要求的不同站法种数为A.12B.16C.32D.34二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知2x−3xA.nB.x−3C.展开式中各项系数和为1D.展开式中二项式系数最大的项只有第4项10.在数列an中,a1=1,若A.1an+1C.数列1an的前n项和为2n+1−n−2D.数列11.某智能系统在进行数据分类时,其准确性受前一次分类结果的影响.记An表示事件“第n次分类正确”,PAn表示第n次分类正确的概率.已知PA1=34,且满足以下条件:若第n次分类正确,则第n+1次分类正确的概率为23;若第n次分类错误,则第A.pB.若第n次分类正确,则第n+2次分类正确的概率为C.数列pn+D.数列pn的前n项和为三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知函数fx=x3+313.已知数列an的前n项和为Sn=3n+14.某商场在清明节假期期间举办有奖消费活动,抽奖方法如下:A,B袋中各有5张奖券,其中A袋中有2张一等奖和3张二等奖,B袋中有3张一等奖和2张二等奖,先从装将标有数字1,2,3,4,5,6的号签签简中任抽1签,若是1,2,3,4号签,则从A袋中随机抽取1张奖券,若是5,6号签,则从B袋中随机抽取1张奖券.已知某顾客抽到了一等奖奖券,则该一等奖奖券来自B四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知数列an满足a1=13(1)求an(2)求an的前n项和S16.(15分)甲、乙两人参加某职业资格考试的面试,面试官准备了5个题目,每位面试者从中随机抽取2个回答,2个全回答正确,则面试合格.甲这5题中有3题会2题不会,乙有4题会1题不会.(1)求甲、乙面试都合格的概率；(2)记在这次面试中甲、乙答对题目的个数之和为X，求X的分布列.数学(A)第3页(共4页)17.(15分)如图，已知四边形ABCD为矩形，EF//平面ABCD，C，D，E，F四点共面，AD⊥FC，CD⊥EA(1)求证:EF⊥平面ADE(2)求直线AF与平面BCF所成角的正弦值.18.(17分)已知F1是离心率为233的双曲线E:x2a2−y2b2(1)求E的方程.(2)过点0,2作斜率为k的动直线l与E的左、右两支分别交于点M，N，在y轴上存在点Q,使得直线QM与QN(i)求点Q的坐标;(ii)求△QMN19.(17分)已知函数fx(1)讨论fx(2)若hx在0,+∞上恰有三个零点，求实数a(3)若x1,x2x1<x2是hx高二数学(A)答案一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.1.答案C∵f2.答案A方法一:由S7=7a4=77,得a4=11,由a2+a10=2a方法二:设公差为d,由题知S7=7a13.答案B因为X服从两点分布,所以PX=1+P4.答案C令x=2,得a0+2a1+22a2+23a3+⋯+27a5.答案C先将5名护士分成3组，每组至少1人，不同的分组方法种数为C52C32 A22+C53C6.答案A设Px,y.∵PM=2PN,∴x+12+y2=2x2+y−12,化简整理,得x−132+y7.答案D由题知,f′x=ex+1,f0=1,∴f′0=2,∴曲线y=fx在x=0处的切线方程为y−1=2x8.答案C第1类,甲在最右端,先将乙丙看成1人与其余2人即3个元素排在甲的左边,有A33种不同站法,再排乙丙,乙丙有A22种不同站法,根据分步乘法计数原理,此类共有A33 A22=12种不同站法;第2类,乙站最右端,则丙站乙左边与乙相邻,乙丙有1种站法,再从除甲外其余2人中选1人站最左端,有A21种不同站法,再安排甲和剩余1人有A22种站法,根据分步乘法计数原理,此类有A21 A22=4种不同站法;第3类,甲乙丙都不在最右端,先安排最右端，从除甲乙丙外的2人中选1人站最右端，有A21种不同站法，再安排左端，先将乙丙看成1人与除甲外的剩余1人共2个元素中选1个安排在左端，有二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.答案AC对于A,由题知,2n=128,得n=7对于B,∵Tr+1=C7r2x7−r−3xr=−1对于C,令x=1,得2−17=对于D,∵n=7,∴展开式中共有8项,根据二项式系数的性质知,展开式中二项式系数最大的项为第4项和第5项,10.答案BCD对于A,∵2an+1−an+an+1an=0,且易知对于B,由前面的分析知1an+1=2对于C,1an的前n项和为21−2对于D,∵2nanan+1=2n2n−12n+11.答案ABD由已知得第n+1次分类正确的概率为对于A,p2=13p对于B,PAn+对于C,由pn+1=13pn+13,得pn+1−12=13pn−1对于D,由C项知,pn−12=14⋅13n−1=14三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.答案−2,f′x=3x2+3x−13.答案a命题透析本题考查数列的通项公式.解析当n=1时,a1=S1=5,当n≥2时,an=14.答案3设事件A1:抽到1,2,3,4号签,事件A2:抽到5,6号签,事件B:抽到一等奖奖券,则PA四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.命题透析本题考查数列的递推公式与数列求和.解析1∵∴3∴数列3nan是首项为3a1=∴3∴an(2)由(1)知Sn=∴Sn①-②，得23S==23=−2n+∴Sn16.(1)设事件A:甲面试合格,事件B:乙面试合格,事件C:甲、乙面试都合格,由题知,A,B相互独立,C∵PA∴P∴甲、乙面试都合格的概率为950.(5(2)由题知，随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4，(6分)PXPX=∴XX1234P131225950(15分)17.(1)∵EF//平面ABCD,EF⊂平面EFCD,平面EFCD∴CD//∵四边形ABCD是矩形,∴AD⊥∵CD∴CD⊥平面ADE，∴EF⊥平面ADE(2)由(1)知，ED⊥CD∵AD⊥∴AD⊥平面∴AD⊥DE,故DA,以D为坐标原点,向量DA,DC,DE的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系设DE=1,则∴AF=设平面BCF的法向量为m=则m⋅CF=−y+z=0,∴平面BCF的一个法向量为m=0设直线AF与平面BCF所成的角为θ,则sinθ∴直线AF与平面BCF所成角的正弦值为63.(1518.(1)设双曲线E的右焦点为F2,连接D由题意知,四边形DF1CF2∴2a=∵离心率e=ca=23∴b2∴E的方程为x2(2)(i)设Mx1代入x23−y2=∴Δ=−12k2+∴x1设Q0,t,则∴=−30k即k2t+要使上式在k2<13∴Q0(ii)由(i)知，MN=1+点Q0,−12到直线l∴S△设m=∴S△设hm=m+16m∴8∴0∴S△故△QMN面积的最小值为51519.(1)由题知,fx的定义域为0,+∞,f′x若a≤1,当0<x<1时,f′x<∴fx在区间0,1上单调递减,在区间1若1<a<e,则0<lna<1,当0<x<lna或x>1∴fx在区间0,lna上单调递增,在区间lna,1上单调递减,在区间1,+∞上单调递增;(3分)若a=e,则若a>e,则lna>1,当0<x<1或x>lna时∴fx在区间0,1上单调递增,在区间1,lna综上所述,当a≤1时,fx在区间0,1当1<a<e时,fx在区间0,lna上单调递增,在区间lna,1上单调递减,在区间1,+∞上单调递增;当a当a>e时,fx在区间0,1上单调递增,在区间1,lna(5分)(2)由(1)知hx显然x=1是hx设gx=ex−若a≤1,则∴gx在区间0∴gx最多有1个零点,即hx最多有2若a>1,当0<x<lna时,g′x<∴gx在区间0,lna上单调递减,在区间∵e0−a×0=1∴要使hx在0,+∞上恰有3个零点,则gx