湖北省孝感2025-2026学年下学期高三数学4月二模试卷（含答案）

孝感市2026届高三年级第二次统一考试数学本试卷满分150分，考试用时120分钟.注意事项:1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.集合A=xx2-A.-3,0B.-32.方程x2-A.3+iB.1+3iC.-3+iD.3.已知等差数列an的前n项和为Sn,且S4=4S2A.8B.9C.10D.114.若e1,e2是夹角为60∘的两个单位向量,则a=A.30∘B.60°C.90°D.1205.设一个圆台的侧面积、体积分别为S1、V1，将它的高扩大到原来的2倍(上、下底面圆的半径均不变),得到的圆台的侧面积、体积分别为S2、VA.S2=C.S2<6.在△ABC中,tanC=12,BC边上的高等于A.1010B.1010C.-7.已知函数fx=x-2ax+b为偶函数,且A.x0<x<4∣B.C.xx>2,或8.以A-2,2、B2,A.56B.57C.5二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.如图，四面体A-BCD中，AB⊥平面BCD，BE⊥AC，垂足为E，BF⊥A.若BC=BD，则B.若BC=BD，则C.若BC⊥CD，则AD⊥D.若BC⊥CD，则10.数列an满足an+1+an=-1n+1n∈N*，且a1=-2，数列an的前n项和为Sn，从an的前A.a10=C.Pn>11.已知函数y=fx的定义域是[0,+∞),满足fx=-2x+2,0≤x<1,-x2A.-1C.1506D.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.曲线y=ex在点P处的切线与直线y=-12x-213.已知抛物线y2=4x的焦点为F,点P是抛物线上一点,且满足PF=5,过点P作抛物线准线的垂线,垂足为M,14.在一组数2,2,7,12,27中插入两个整数a,b,使得新的一组数极差为原来极差的两倍,且众数和中位数保持不变，则a-四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)如图，正方形ABCD所在的平面与平面CMD垂直，且DM⊥(1)证明:平面AMD⊥平面BMC(2)当∠DCM=30∘时,求直线AM与平面16.(本小题满分15分)已知函数fx=sinωx+φ在区间-π3,0单调,其中ω为正整数,(1)求fx(2)在△ABC中，fA=32,AB=3,BC17.(本小题满分15分)甲、乙两支球队参加某球类比赛,如果每局比赛甲队获胜的概率为p0<p<1,乙队获胜的概率为1-p，且每局比赛的结果相互独立.比赛有两种方案，方案一(1)当p=23时，采用方案一还是方案二对乙更有利(不用说明理由(2)当p=12时(i)求在甲队最终获胜的条件下，比赛恰好进行了四局的概率；(ii)若比赛结果为3:0或者3:1时，胜方得3分，负方得0分，比赛结果为3:2时，胜方得2分，负方得118.(本小题满分17分)已知函数fx(1)函数h1x=a(2)若gx≥bx+1x2+1(3)函数h2x=cfx+3gx，若该函数有且仅有三个极值点x1,x2,x319.(本小题满分17分)P是一个动点,PA与直线y=x垂直,垂足A位于第一象限,PB与直线y=-x垂直,垂足B位于第四象限,若四边形OAPBO为原点的面积为1,设(1)求轨迹C的方程；(2)已知M-2,0,N2,0(3)记坐标原点为O0，过O0的直线y=kx0<k<1交曲线C于点A1，将O0A1绕点A1旋转,与直线y=x在第一象限交于点O1,即点O1满足O0A1=O1A1,以此类推,过点On-1n∈N*作斜率为k的直线交曲线C于点An,将On-1An绕点A参考答案1.C2.A3.D4.C5.C6.A7.B8.B9.BC10.ABD11.AB1.CA={x∣-3<x2.A由x2-6x+3.D设公差为d,则4a1+6d=4.Ca⋅e1=e1-2e2⋅5.C设原圆台底面半径分别为a、b，高为h，母线长为l1，则S1=πa+bl1，l1=a-b2+h26.A设BC边上的高为AD,tanC=ADCD=12,设AD=x,则CD=2x,BC=3x,cos=27.B由函数fx=x-2ax+b为偶函数可知函数fx是二次函数且关于y轴对称,则fxf2-x>0,a-x4-故不等式f2-x>0的解集为{x8.B依题意,直线y=x与椭圆相切,直线y=x上除切点外任意一点均在椭圆外.由椭圆的定义可知切点是直线y=x上与A、B两点距离和最小的点.A-2,2关于直线y= x对称的点为9.BCA:BE与CD异面,显然不正确;B:若BC=BD,易得又BE⊥AC,BF⊥AD,则AEAC=AFAD,所以EF//因为AB⊥平面BCD,CD⊂平面BCD,又BC⊥CD,AB,BC所以CD⊥平面ABC,又BE⊂平面ABC,故又BE⊥AC,且AC,CD是平面ACD内两条相交直线,所以BE⊥又AD⊂平面ACD,故BE又BF⊥AD,且BE,BF是平面BEF内两条相交直线,所以AD⊥平面BEF.故选项C正确;又EF⊂平面BEF若AC与EF也垂直，由AC、AD与EF共面，则AC与AD重合，故选项D不正确.10.ABDA:当n=1时,a1+a2=1,又∵a∴a所以n为偶数时,an+1-an∴an的奇数项所成的数列是首项为-2,公差为-2的等差数列,偶数项所成的数列是首项为3,公差为2的等差数列.故a10=a2B:S101=a1+C:由于an的奇数项都是偶数,偶数项都是奇数∴Pn=Cn2+Cn2C2n2=n-D:T=1又T1=1-P1=1=11.AB (1)当a=(2)若a>0，则f2025<1，即a>(3)若a<0，则f2026>0，即a<0f2+50612.ln2,2设切点Px0,y0,则有∴y∴点P的坐标为ln213.5-52如图,不妨设点Px0,y0在第一象限,则x0>0,y0>0,PM=PF=x0+p2=x0ΔMPF的面积为S设△MPF的内切圆的半径为r,内心为点O',则由S△O'MF+S△O14.31若插入两个整数后众数不变,则插入的数可以是“两个都是2”,或是“一个为2,另一个不是2",或是"两个不相等的且不是2,7,12,27".①因为新的一组数极差加倍，所以插入的两个数不可能都是2；②因为中位数保持不变，若插入的数“一个为2，另一个不是2”，则一个为2，另一个数不小于7,又因为极差加倍,则另一个数为52,此时a-③若插入的两个数是不相等的且不是2，7，12，27，且极差为50，中位数保持不变，则两个数可以为:a=a所以,a-b的最小值为15.解:(1)∵平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD,BC⊥CD∴BC⊥平面CMD.又DM⊂平面CMD,故∵DM⊥CM,且BC,CM∴DM⊥平面BMC∵DM⊂平面AMD故平面AMD⊥平面BMC.6(2)解法一:以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-因为∠DCM=30∘,设ADD0∴MC=设n=x,y,z是平面n⋅MC设直线AM与平面MBC所成角为θ,则sinθ=所以直线AM与平面MBC所成角的正弦值是55.13解法二:由(1)得DM⊥平面MBC，由AD//平面MBC可知A、D到平面MBC等,设A到平面MBC的距离为d,则d=DM设AD=2，由∠DCM=30∘得DM=1设直线AM与平面MBC所成角为θ,则sinθ=所以直线AM与平面MBC所成角的正弦值是55..1316.解:(1)由题意,fx的最小正周期T≥2π3由ω为正整数可得ω=1又因为图象关于点π3,0对称,所以fπ3=0由φ∈0,π2,若ω=若ω=2若ω=3,sinπ+φ所以ω=2,φ=π(2)由fA=32可得sin2A+π3=从而2A+π3=2π设BC边上的中线为AD,AC=bAD​解得b=1所以△ABC的面积S=17.解:(1)采用方案一对乙队更有利.1分当p=23时,乙队每局获胜的概率为:P乙队最终获胜所以乙队最终获胜的概率为727..4(根据“比赛局数越多,对实力较强者越有利”可知,采用方案一,乙队最终获胜概率较大.也可以算出两种方案乙最终获胜的概率,对比可知采用方案一,乙队最终获胜概率较大.)(2)(i)记“甲队最终获胜”为事件A，“比赛恰好进行了四局”为事件B.三局甲队最终获胜的概率为:C312四局甲队最终获胜的概率为:C3五局甲队最终获胜的概率为:C4∴甲队最终获胜的概率PA=∵甲队最终获胜且比赛恰好进行了四局的概率PAB=∴在甲队最终获胜的条件下,比赛恰好进行了四局的概率PB∣(甲队乙队每局获胜的概率相等,因此最终获胜的概率也相等,从而PA=12,酌情给分)(ii)PPPPX=∴X的分布列为X0123P5163163516.13分∴EX18.解:1∵∴h∴h1当a≥0时,h1'x>0恒成立,因此h当a<0时,由h1'x>0,∴6ax2+1>0,∴0<x综上可知:当a≥0时,h1x在当a<0时,h1x在0,-16a上单调递增,在设φx又φx≥0,所以x=0为φxφ'x下面证明,当b=ln3时,φ当x≤-1ln3,即xln3+1≤0当x>-1ln3,即xln3+1>eln∴φ当且仅当x=0时等号成立,故b=ln综上可知:b=ln3(3)∵h∴h∵x≠0 ∴c=-ϕ'ϕx在-∞,0,2ln3,+∞上单调递减,因为函数h2x有且仅有三个极值点,即x1,x2,由图象知方程c=ϕx最多有三个实根,且注意到ϕ1=-3ln3=ϕ3,假设x2≤1,则x3≥即有:1<x(本题用其它解法,过程详细、推理清晰可得全分,过程不全的可酌情给分)19.解:(1)设Px,y,由题意可知四边形OAPB的面积∴x2因为点A位于第一象限，点B位于第四象限.∴x2-y2=所以动点P的轨迹C的方程为:x22(未限定x的范围的