湖南省多校2025-2026学年下学期高二数学4月阶段检测试卷（含答案）

高二数学注意事项:1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。4.本试卷主要考试内容:人教A版必修第一、二册占30%,选择性必修第一册到第三册7.3占70%。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.不小于2的所有整数构成的集合可表示为A.{x∈C.{x∈2.若fx为奇函数,当x>1时,fxA.−32B.−233.将复数1+iA.−54.x−3A.-30B.-29C.1D.315.设双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左焦点为F1−c,0,过A.2B.10C.102D.6.从1,2,3,⋯,10这A.121B.235C.137.已知随机变量X服从两点分布,随机变量Y的分布列为若PX=0=0.5,且X与Y123P0.20.60.2A.0.25B.0.4C.0.65D.0.98.函数fx=A.−14B.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.已知数列an,A.a5+C.b1b2b10.若∃x∈(0,4],A.-10B.−6511.在正四棱锥P−ABCD中,AB=6,PA=35,H是PB的中点,M为底面的中心,点T在四棱锥P−ABCD的外接球(球O)的球面上,点NB.平面HAD将该四棱锥P−ABCDC.NT的最大值为4D.TA2三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.设函数fx=3x−213.振风塔享有“万里长江第一塔”的美誉.某中学社会实践小组为测量振风塔的高度,开展了一次实地测量的活动.他们在塔底B所在的水平地面上选取C,D两点,测得CD=21米,∠BCD=15∘31′,∠BDC=150∘,在点C处测得塔顶A的仰角为14.如图，给这八个方格涂色，现有红、蓝、黄、紫、绿、黑六种颜色可供选择，要求相邻的方格涂不同的颜色，且两端都涂红色，则不同的涂色方法共有_____▲_____种.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知函数fx(1)求f−π(2)求fx(3)若fx在区间0,m上有零点，求16.(15分)某用户只在某外卖平台的甲、乙两家餐厅点餐，根据历史数据，选择甲餐厅的概率为0.6，选择乙餐厅的概率为0.4,甲餐厅的准时送达率为0.95,乙餐厅的准时送达率为0.9.已知该用户每次外卖点餐准时送达与否相互独立.(1)求该用户每次外卖点餐准时送达的概率.(2)平台推出“准时保”，每单需支付0.5元的服务费，若外卖未准时送达，则平台赔付3元；若外卖准时送达，则平台不赔付.该用户愿意购买“准时保”的条件是亏损期望不超过0.3元，试问他是否愿意购买“准时保”？说明你的理由.17.(15分)如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，(1)证明:EF//平面A(2)在答题卡上，作出平面B1DF与AC(3)求平面B1DF与平面AB18.(17分)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a(1)求E的方程.(2)已知点P1,1，过点P且斜率为k1的直线l1与E交于A，B两点，过点P且斜率为k2 k2≠k1的直线l2与E交于C，D两点，M，N(I)若P与M重合，求k1(II)判断直线MN是否过定点.若是,求出该定点;若不是,请说明理由.19.(17分)在正项数列an中,记bn=an+2⋅anan+12,若(1)试问数列3n2(2)已知正项数列an存在等比型递推结构,且a(1)求an(II)设pn=n+22n+1log2an+1,记pn高二数学参考答案1.D不小于2的所有整数构成的集合可表示为{x2.Af−3.A1+i5−104.Bx−335的展开式中系数为有理数的项为5.D不妨设直线MF1的方程为y=abx+c，则M0,acb，因为MF1=10c6.C设被选取的4个数为a1,a2,若这4个数成等差数列,设公差为d,则1≤d=a4−a13d≤3,当d=1时,满足条件的a1,a2,a3,a4有7组,当d=2时,满足条件的a1,7.C(方法一)令Z=X+Y,则PZ=1(方法二)由随机变量X服从两点分布,得DX又EY=1×0.2+2×0.68.Dfx=e2x−2xex+x2−ex+x=ex−x2−ex−x.设gx=ex−x,则g′x=ex-1,当x<0时,g′x<09.BC对于A选项,因为等式左边是两项之和,右边只有1项,所以a5+a7=a12未必成立,A错误.对于B选项,等式两边均为3项之和,且下标之和相等,所以a6+a7+a20=3a11, B正确.对于C选项,等式两边均为3项之积,且下标之和相等,所以b1b210.ABD若∃x∈(0,4],fx=3x2令f′x>0,得0<x<2,f因为f4=−16<f故a2+10a>−1611.BCD连接PM,则PM⊥平面ABCD.易知O在PM上,PM= PA2−AM2=45−18=33,设OM=x,在△OMA中,(33− x)2=x2+322,得x=32,所以球O的半径R=33−32=532,表面积为4π×5322=75π,A错误.取PC的中点E,连接HE,DE,易得HE//BC//AD12.10因为f′x=93x13.73在△BCD中,∠CBD=180∘−150∘−15∘31′=14∘29′,由正弦定理得CDsin∠CBD= BCsin∠14.13020因为两端都涂红色,所以中间4个方格也可以涂红色.当中间4个方格中有2个方格涂红色时,涂红色的位置有3种选择,剩下的有5×5×5×4当中间4个方格中只有1个方格涂红色时,涂红色的位置有4种选择,剩下的有5×5×4×4 当中间4个方格都不涂红色时,有5×4综上,不同的涂色方法共有1500+640015.解:(1)f−π(2)由1−sinx−3cosx≥0则sinx+则−7π6解得−3π2则fx的定义域为−3π(3)(方法一)令fx=0，得sinx即tanx=−因为x∈0,m,所以故m的最小值为2π3.13(方法二)令fx=0,得因为x∈0,m,所以所以m+π3≥π故m的最小值为2π3.1316.解:(1)设事件B=“外卖点餐准时送达”，A1=“在甲餐厅点餐”，A2=由全概率公式得该用户每次外卖点餐准时送达的概率P=PB∣(2)他愿意购买“准时保”.8分理由如下:设他购买“准时保”的净收益为Y元，则Y的所有可能取值为-0.5,2.5.9分PY=−PY=则EY=因为EY=−0.29>−0.3【备注】第(2)问的理由还可以这样写:设他购买“准时保”的亏损为Y元,则Y的所有可能取值为0.5,−2.5PY=则EY=因为0.29<0.3,所以他愿意购买“准时保”17.(1)证明:因为CE=2EA，BF=2FA又BC//B1C1，所以EF//B1C1，2分因为EF⊄平面AB1C(2)解:延长B1D,交BC延长线于点G连接FG,交AC于点H.6分因为G∈B1D,所以G∈平面B1DF,所以FG⊂平面B1DF,所以H为平面(3)解:以B为坐标原点，BA,BC,BB1所在直线分别为0,0B1D设平面B1DF的法向量为m=x,y,z,则令y=1,得m易知平面ABB1A1的一个法向量为设平面B1DF与平面ABB1A1的夹角为θ则sinθ故平面B1DF与平面ABB1A118.解:(1)设a=2tt>0，则b=3t，则因为E经过点1,32,所以14t2故E的方程为x24(2)(1)设Ax1,y1,Bx2,得k1=则k2=故k1k(ii)直线l1:y=k1x−1+1=k1x−k1+1.由因为y1+y2=k1x1+x2+2k2=6又k==−9+所以直线MN的方程为y=12因为12k1MN过定点0,−319.(1)解:设cn=3n所以数列3n2存在等比型递推结构.(2)(i)解:因为数列an存在等比型递推结构，所以可设an+2⋅anan+12=t，d1=a2a1=2,d所以dn