专题7 概率统计（解析版）-高考数学备考复习重点资料归纳

2023年新高考地区数学名校地市选填压轴题好题汇编一概率统计

一、单选题

1.（2023•河北衡水•衡水市第二中学校考模拟预测）某同学连续抛掷一枚硬币若干次，若正面朝上则写下1,

反面朝上则写下0,于是得到一组数据.记命题〃：”这组数据的中位数是3”，命题必“这组数据的标准差

为£“，则〃是q的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】根据某同学连续抛掷一枚硬币若干次，若正面朝上则写下1,反面朝上则写下0,于是得到一组数

据，若想这组数据的中位数是2I,则必须抛偶数次，且正反次数相同，则此时这组数据的平均数“x=一-5,

则这组数据中七-工=±4，则这组数据的标准差区（为一可-1,即〃是q的充分条件；

2个—―=2

'没蛆同学连续抛掷一枚硬币〃次，其中正面朝上则写下1的有加次，则此时这绢数据的『均数天二'，

n

若这组数据的标准差是5,则这组数据的标准差

化简得!'1-2+'=0,解得上=《，则这位同学连续抛掷一枚硬币〃次，其中有一半为正面朝上，一半

⑴〃4n2

为反面朝上，则这组数据的中位数是g,即〃是4的必要条件；综上所述：〃是。的充要条件，故选：C.

2.（2022•湖北•黄冈中学模拟预测）某旅游景区有如图所示A至H共8个停车位，现有2辆不同的白色车和

2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法总数为（）

ABCD

EFGH

A.288B.336C.576D.1680

【答案】B

【脩析】解:第一步:排白车，第一行选一个位置，则第二行有三个位置可选，由于车是不相同的，故白车的停法有

4x3x2=24种，

第二步，排黑车，若白车选AF,则黑车有3£皮7,出/,虑（”,。及以7共7种选择,黑车是不相同的,故黑车的停

法有2x7=14科】，根据分步计数原理，共有24x14=336种,故选：B

3.12023年1月浙江省绍兴市选考科目适应性考试数学试题）一个袋中有/〃个红球，〃个白球，〃个黑球

（\＜m＜n＜5,PN4）,从中任取1个球（每球取到的机会均等），设。表示取出的红球个数，友表示取出

的白球个数，则

A.E倡）＞£（$）,。））＞。仁）B.E侑）＞仪4）,/）信）＜。心）

C.石信）＜£（4）,/）信）＞/）值）D.£信）＜以$）刀信）＜/）心）

【答案】D

【解析】由题意可知：随机变曷&的分布列如下图所示:

01

/；+pm

p

m+〃+pin+n+p

n+p,inm

所以有£&)=()•+1--------

m+〃+〃m+n+pm+n+p

o(G=(0__+(]___Jinn+nip

m+〃+〃m+n+pm+n+p/«+??+p(in-^n+p)2

随机变量$的分布列如下图所示:

001

m+pn

p

in+〃+pin+〃+〃

反3=0上上匕+1•—

m+〃+〃m+n+pm+n+p

mn+up

D（fl）=（0-—^尸.-（1--J.—

m+n+pm+n+pin+n+pm+n+p（m+n+p）2

因为1«雨〈〃45,所以怦〈叩,因此有E（4）vE低）,。（刍）＜。（刍），故本题选D.

4.12022•山东济南•模拟预测）从装有"个红球和〃个蓝球的袋中（。，〃均不小于2）,每次不放回地随机摸

出一球.记“第一次摸球时摸到红球”为A，“第一次摸球时摸到蓝球”为&；“第二次摸球时摸到红球”为用，“第

二次摸球时摸到蓝球”为打，则下列说法错误的是（）

A.0（用）=高B.尸（4lA）+P（B21A）=l

C.P⑻+P（BJ=1D.P（8JQ+P（印4）=1

【答案】D

【解析】由题意可知，P（A）=/7，尸（4）=二，

a+ba+b

P（BJ=P（ABJ+P（A再）=卷・占、+上•-%=

a+ba+b-\a+ba+b-\a+b

P（^）=P（A^）+P（AB）=-^-―\+-LC1=，，

1a+ba+h-\a+bra+b-7\a+Tb

从而P（即+P（8?）=1,故AC正确;

aa-\ab

又因为P（闺A）="A'）=0±"4±"1=a7，Aj="二与）=.q±心上忆L=_2—,

J"P（A）aa+b-\、-"q⑷a+b-\

a+ba+b

故p（印A）+P（RA）=I,故B正确;

ba

P（ql/）=2M2="〃1=_^,

'~）P（A2）ha+b-l

a+b

故P（BJA）+P（8JA）=—^+—^二上¥7H1,故D借误.故选：D.

a+b-la+b-la+b-l

5.12022•广东惠州・高三阶段练习）甲罐中有5个红球，3个白球，乙罐中有4个红球，2个白球.整个取球

过程分两步，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用A/、A2表示由甲罐取出的球是红球、白球的事件；

再从乙罐中随机取出两球，分别用氏C表示第二步由乙罐取出的球是“两球都为红球”、“两球为一红一白”的

事件，则下列结论中不正确的是（）

A.P（8|A）=黑B.P（C|A）=：C.尸⑻吟D.P（C）=g

【答案】c

C210

【解析】在事件A发生的条件下，乙罐中有5红2白7个球，则2（*4）=滴=擀，A正确：

「I「I174

在事件&发生的条件下，乙罐中有4红3白7个球，贝1」?（。|4）=中=五=不，B正确;

因P（A）=1P⑷］，P（8⑷=与,2（8区）爷=（,

ooL1jL\

则P（B）=P（A）P（5lA）+P（4）P（Bl4）4x*1x《=1,C不正确;

oL1oL14Z

因P（c⑷4，P（C1A）=皆吟,

乙1/।

贝ijp（c）=p（A）p（clA）+P（A2）P（a&）i¥+?x品募

D正确.故选:C.

oZ1oZ1o4

6.12022•广东•高三阶段练习）某地质勘探队为研究各地区的水是否存在某种矿物质，现从不同地区采集了

100个样本，勘探队中的成员甲提议用如下方式进行检测，先将100个样本分为10组，每组再选取部分样

本进行混合，对混合样本进行检测，如果不含该矿物质，则检测下一组，若含有该矿物质，则逐个检测；

成员乙提议将100个样本分为5组或20组等等.假设每个样本含有该矿物质的概率"=0.01.且每个样本

是否含有该矿物质相互独立.则下列选项中检测次数的期望值最小的是（）（参考数据：

0.995«0.951,0.9910«0.904,0.9920=0.818)

A.5个一组B.10个一组C.20个一组D.逐个检验

【答案】B

【解析】若5个一组时，每组检测次数为4=1或5,P(^=l)=0.995«0.951,=6)=1-0.995«0.049,

4的分布列是

16

P0.9510.049

E(f)=1x().951+6x0.049=1.245,总检测次数X的期望为EX=20E<=20x1.245=24.9,

若10个一组时，每组检测次数为4,*1或11,%=1)=0.992-0.904,尸(1=u)=1-0.9910a0.096,

。的分布列是

0111

P0.9040.096

E«,)=lx0.904+llx0.096=1.96,总检测次数*的期望为E%=1=10x1.96=19.6,

若20个一组时，每组检测次数为。2,$=1或21,0(42=1)=0.9y~0.818,P(^=21)=l-0.9920«0.182,

《2的分布列是

121

P0.8180.182

£4）=1x0.818+21x0.182=4.64,总检测次数X2的期望为EX2=5E$=5x4.64=23.2,

若逐个检测，总检测次数为100,因此10个一组检测次数的期望值最小，故选：B.

7.12022•湖北•高三期中）在A、B、。三个地区爆发了流感，这三个地区A、B、C分别有6%、5%、4%的

人患了流感，假设这三个地区的人口数的比为5：7：8,现从这三个地区中任意选取一个人.则下列叙述正

确的是（）

A.这个人患流感的概率为0.15

B.此人选自A地区且患流感的概率为0.0375

C.如果此人患流感，此人选自A地区的概率为含30

D.如果从这三个地区共任意选取100人，则平均患流感的人数为4人

【答案】C

【解析】记事件。：选取的这个人患了流感，记事件E：此人来自4地区，记事件R此人来自8地区，记

事件G：此人来自C地区，则。=El/UG,且aEG彼此互斥，

57X

由题意可得P(E)===0.25,P(F)=—=0.35,P(G)=—=0.4,

202020

P(D|E)=0.06,P(D|F)=0.05,P(D|G)=0.04,A.由全概率公式可得

P(D)=P(E)P(DIE)+P(F)P(DIF)+P(G)•P(D\G)=0.25x0.06+0.35x0.05+0.4x0.04=0.0485；A错误;

B.P(初=4=0.25,P(D|£)=0.06,选自八地区且患流感的概率为0.015()；B错误；

C.臼条件概率公式可得「㈤必二需二皿犷=琮翳=霁，C正确.

D.从这三个地区中任意选取一个人患流感的概率为0.0485,任意选取100个人，患流感的人数设为X,

则乂~8(100,0.0485),g|JE(X)=100x0.0485=4.85；D错误.故选：C

二、多选题

1.12023春・湖南长沙•高三长郡中学阶段练习)某校3200名高中生举行了一次法律常识考试，其成绩大致

服从正态分布，设X表示其分数，且X~N(70,82),则下列结论正确的是()

(附：若随机变量X服从正态布N3b则

-涕卜//+er)=0.6827,WX〃+2(T)=0.9545,-女襟k//+3cr)=0.9973)

A.E(X)=0.2,Z)(X)=8B.*7砥k78)=0.34135

C.分数在［62,78］的学生数大约为2185D.分数大于94的学生数大约为4

【答案】BCD

222

【解析】X~N(70,8，，A=70,a=8AE(X)=70,D(X)=8,A选项错误；

P(7(^iJV78)=P(/^WA+a)=2^Z=o.34135,B选项正确;

尸(62领k78)=P(//-aM〃+b)=0.6827,3200x0.6827«2185,C选项正确;

1-09973

P(X>94)=P(X>〃+3b)=-^—^=0.00135,3200x0.00135»4,D选项正确.故选：BCD

2.(江苏省徐州市2022-2023学年高三上学期期末复习数学试题)为了确保在发生新冠肺炎疫情时,能够短

时间内完成大规模全员核酸检测工作，采用“10合I混采检测”，即：每10个人的咽拭子合进一个采样管一

起检测.如果该采样管中检测出来的结果是阴性，表示这10个人都是安全的.否则，立即对该混采的10

个受检者暂时单独隔离，并重新采集单管拭子进行复核，以确定这1()个人中的阳性者.某地区发现有输入

性病例，需要进行全员核酸检测，若该地区共有10万人，设感染率为〃(每个人受感染的概率)，则()

A.该地区核酸检测结果是阴性的人数的数学期望为人

B.随机的10个一起检测的人所需检测的平均次数为11次

C.该区采用“10合1混采检测”，需要重新采集单管拭子的平均人数为人

D.该区采用“10合1混采检测''比一人一检大约少用份检测试剂

【答案】BD

【解析】感染率为〃，没有感染的概率为1-〃，则为阴性的人数为八则丫B(IO5,I-P),

所以核酸检测结果是阴性的人数的数学期望为故A错误，

感染率为〃，io个人的咽拭子混合在一起检测时，设随机变量x表示这io个人•共所需的检验次数，若第

一次混检都是阴性，所需检测次数为1,x=i：若是阳性，每人还得再单独检测一次，此时x=ii,且

P(X=1)=(1-p)10,P(x=ll)=|-(1-p)10,

于是平均检测次数是E(X)=lx(l-°)|。+1.1-(1-〃严］=11-10*(1-〃严，故B正确,

采用“1()合1混采检测”，1管中需要重新采样的概率为1-(1-所以10万人中需要重新采集单管拭子

的平均人数为-〃猥］人，故C错误，

采取“10合1混采检测”方案，10万人可能需要进行检测的平均次数大约为：

I(XXXX)

Y^［l1-10(1-p),0］=110000-100000x(1-〃严,

即进行“10合I混采检测”方案，比“一人一检”方案少使用约

MXXXX)-［ll(XXX)-14、)00乂(|一〃尸］=1。')0()><(1-〃/一10(乂)0=10110乂(1一〃严一1］份检测试剂,故D正确，

故选：BD

3.(2022・重庆一中高三阶段练习)已知随机变量X服从正态分布N(O,l),定义函数/("为X取值不超过x

的概率，即/(x)=P(XW”.若%>0,则下列说法正确的有()

A./(-x)=1-/(x)B.f(2x)=2f(x\

C./(x)在(0,*)上是增函数D.P(|X|<x)=2f(x)-l

【答案】ACD

【解析】对于A,因为随机变量X服从正态分布N((),I),f(x)=P(X^x),

所以〃T)=P(X>x)=l-〃x),所以A正确，

对于B,因为〃2x)=P(X<2x),2/(x)=2P(X<x),所以B错误，

对于C,因为随机变量X服从正态分布N(0,l),/(x)=P(X<x),

所以当x>0时，随1的增大，P(X«x)的值在增大，所以/(x)在(0,+“)上是增函数，所以C正确，

对于D,因为/(T)=1-/(X),

所以P(|XKX)=P(-XMXKX)=1—2/(—X)=1—2[1-/(X)]=2/(X)—1,所以D正确，故选：ACD

三、填空题

1J江苏省徐州市2022-2023学年高三上学期期末复习数学试题)一个盒子中装有〃(4W〃W10,〃wN)个小

球，甲、乙两个同学轮流且不放回地抓球，每次最少抓I个球，最多抓2个球.约定：由甲先抓，且谁抓

到最后一个球谁赢.若乙有必赢的策略，则〃=.

【答案】6或9

【解析】若〃=4,只要甲第一次抓1个球，乙抓1个或2个球，剩余的球甲可以抓完，则甲有必赢的策略；

若〃=5,只要甲第一次抓2个球，乙抓1个或2个球，剩余的球甲可以抓完，则甲有必赢的策略；

若〃=6,若甲第一次抓1个球，则问题转化为剩余5个球，由乙先抓，结合〃=5可知，乙有必赢的策略,

若甲第一次抓2个球，则问题转化为剩余4个球，由乙先抓,结合〃=4可知，乙有必赢的策略，综上，若〃=6,

则乙有必赢的策略;

若〃=7,若甲第一次抓1个球，则问题转化为剩余6个球，由乙先抓，结合〃=6可知，甲有必赢的策略,

若甲第•次抓2个球，则问题转亿为刺余5个球，由乙先抓，结合〃=5可知，乙有必赢的策略；

以此类推，当〃=9时乙有必赢的策略.综上：若乙有必赢的策略则〃的取值为6或9.故答案为：6或9.

2.（2023•福建・统考一模）近年来，“剧本杀”门店遍地开花.放假伊始，7名同学相约前往某“剧本杀”门店体

验沉浸式角色扮演型剧本游戏，目前店中仅有可供4人组局的剧本，其中A,8角色各1人，。角色2人.已

知这7名同学中有4名男生，3名女生，现决定让店主从他们7人中选出4人参加游戏，其余3人观看，要

求选出的4人中至少有1名女生，并且A,8角色不可同时为女生.则店主共有种选择方式.

【答案】348

【解析】由题意，根据选出的女生人数进行分类，

第一类：选出1名女生，先从3名女生中选1人，再从四名男生中选3人，然后安排角色，两名男生扮演A,

8角色有A；种，剩余的1名男生和女生扮演C角色，或A,8角色1名男生1名女生，女生先选有C；,剩

下的一个角色从3名男生中选I人，则C；种，所以共有C；C（A"CC）=144种，

第二类：选出2名女生，先从3名女生中选2人，再从四名男生中选2人，然后安排角色，两名男生扮演A,

8角色有A；种,剩余的2名女生扮演C角色，或4,8角色1名男生I名女生，选出1名女牛.先选隹色有C；C；,

剩下的一个角色从2名男生中选1人，则C；种，所以共有C；Cj：A；+C；C；C；）=18O种，

第三类：选出3名女生，从先从3名女生中选3人，再从四名男生中选1人，然后安排角色，A,B角色1

名男牛」名女生，选出1名女生先选角色有C；C；,剩下的一个角色让男生扮演，余下的2名女生扮演角色

C,所以共有C；CC；C；=24种，由分类计数原理可得：店主共有144+180+24=348种选择方式，

故答案为：348.

3.（2023春•湖南长沙•高三长郡中学阶段练习）某校电子阅览系统的登录码由学生的届别+班级+学号+特别

码构成.这个特别码与如图数表有关，数表构成规律是：第一行数由正整数从小到大排列得到，下一行数

由前一行每两个相邻数的和写在这两个数正中间卜方得到.以此类推，特别码是学生届别数对应表中相应

行的自左向右第一个数的个位数字，如：1997届3班21号学生的登陆码为1997321*.（•为表中第1997行

第一个数的个位数字).若某学生的登录码为202*2138(*<3),则可以推断该学生是.届2班13

号学生.

12345G78…

3579111315-

81216202428…

20283G4452…

【答案】2022或2023

【解析】根据图数表发现：第MAcN*)行的前两个数之差为2皿，

设第〃(〃wN')的第一个数为%,则%=4++2"-=24+T-,

等式％=4+4+2"“=2an+两边同时除以2M可得:

也一汪=1日@=2

2〃T2n-21'且2Tz'

所以数歹“白｝是首项为2,公差为1的等差数列，3=2+〃-1=〃+1,

所以凡=5+1)2”,

因为2"的个位数为：2,4,8,6,2,…的规律，

所以｛2'｝的个位数呈周期性变化，且周期为4,

因为*43,所以*=0,1,2,3,

若今=0,则々wo=202lx2?。，因为2018=4x504+2,所以220国的个位数是4,故生。阳的个位数为4；

若*=1,则嗫尸2O22X220%因为2019=4x504+3,所以2-的个位数是8,故/丁的个位数为6;

若》=2,则生。22=2023、2初0,因为2020=4X505+0,所以Z?。20的个位数是6,故。期2的个位数为8;

若"=3,则生33=2024x2202、因为2021=4x505+1,所以2他的个位数是2,故的心的个位数为8；

因为202*2138（*<3）的个位数为8,所以*=2或3,

故答案为：2022或2023.

4.（2023春.广东广州•高三中山大学附属中学校考）在概率论发展的过程中，通过构造试验推朝或验证某些

结论是统计学家们常用的方法，若事件4,B,C满足P（A8）=P（A）尸（8）,P（AC）=P（A）P（C）,

户（BC）=P（"）P（C）同时成立，则称事件A,B,C两两独立，现有一个正六面体，六个