专题1共顶点模型-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（解析版）

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题1共顶点模型

解题策略

X_______________Z

模型1:等腰三角形共顶点

已知在等腰4ACB与等腰△DCE中，CA=C3,CQ=CE,且NAC3=/DCE.

如图，连接BD,AE,交于点F,则:

(DABCD^AACE；

(2)AE=BD；

(3)NAFB=NACB；

(4)FF平分NBFE.

模型2：等腰直角三角形共顶点

已知在等腰RtAACB与等腰Rt^DCE中，NACB=NDCE=90°.

如图1，连接3D,AE,交于点F,连接FC.A

(DABCD^AACE；

(2)AE=BQ；

(3)AE±BD；

(4)FC平分N3FE；

(5)4秒+QE2=AD2+BE2；

(6)BF=AF+72FC,EF=DF+V2FC；

模型3：等边三角形共顶点

已知等边△ABC与等边△DCE,B,C,E三点共线.

A

F，

GH

BCE

如图，连接3D.AE,交于点F,3D与AC交于点G,AE与DC交于点H，连接CF.GH,则：

⑴△BC恒△ACE；

(2)AE=BD；

(3)ZAFB=ZDFE=60°；

(4)FC平分N3FE；

(5)BF=AF+FC.EF=DF+FC：

(6)4CGH为等边三角形.

模型4：相似三角形共顶点

已知在△AC3和△ECD中，备=能，NAC3=NECD.

EC

如图，连接3D,AE,交于点F,则:D

(DABCDGOAACE；

(2)ZAFB=ZACZ3.

Bc

/、

经典例题

\________________Z

【例1】(2022•全国•九年级专题练习)如图，△48C为等边三角形，D为AC边上一点,连接8。，M为8。

的中点，连接AM.

A

AA

图1图2B'

图3

⑴如图1,若A8=2，5+2,NA8D=45°,求△4M0的面积;

(2)皿图2,过点M作MN_L/1M与AC交于点E,与8c的延长线交于点N,求证：AD=CN；

(3)如图3,在(2)的条件下，将A/18M沿AM翻折得连接9N,当夕N取得最小值时，直接写出

BN-DE任

H的值•

【答案】(1)3+百;

(2)证明见解析;

【分析】(1)过点。作DH1AB,根据NA8O=45。，NBAC=60。解三角形求出“0=y/3AH=2g，可得

ShABD=6+2g再结合三角形中学性质即可解得；

(2)过点A作AGJ_8C,垂足为G,连接MG,又中位线性质和NAC8=60。，得zAGM=30：再通过四

点共圆证明N4NM=N4GM=30。，进而可得/M4N=60。，从而可证明△4PN为等边三角形，延长AM到

P,使MP=AM,连接PM构造三△AM。，得继而证明△84,三△CAN(SA5),从而可得

BP=CN,由此即可得出结论；

(3)取AC的中点Q,连接BQ,取8Q的中点K,连接KM,通过构造△4MQ〜△AN夕，得出即。为AC

的中点时，"N取最小值，再结合题目条件解三角形即可求解.

(1)

解：如解图1,过点D作DH上AB,

N4BO=45。，

:・BH=HD,

•・•在△ABC为等边三角形中，ZMC=60°,

,\tanz.BAC=R=V3,

AH

:.HD=WAH,

•二/B=BH+AH=43AH+AH.

又,：AB=2^+2,

•••、与4H+71H=2V5+2，

：-AH=2,

:,HD=\[3AH=2百，

•9-S^ABD=^AB-HD=^(2V3+2)x2V3=6+2聒,

•・・M为8。的中点，

；・SA4MD=△.*6+2V3)=3+V3；

A

解图1

(2)

如解图2,过点A作力G18C,垂足为G,连接MG,

•••△ABC为等边三角形，

：・BG=GC,

:・MG”AC,

"BGM=LACB=60°,

=Z.AGB-乙BGM=90°-60°=30°,

又IZM1MN,AG1BC,

•LAMN=Z.AGN=90°,

・,"、〃、G、N四点共圆，

=Z.AGM=30°,

=90°-Z.ANM=60°,

又*・MP=AM,AM1MN,

•••AN=PN,

又LMAN=60°,

・・・A力PN为等边三角形，AP=AN,

'：LBAC=乙PAN=60°,

+/.PAC=/.PAC+乙CAN,

：.Z.BAP=乙CAN,

如解图2,延长4M到户，使MPMM,连接PM

Z.AMD=zPMB,

：^AMD三〉PMB(SAS)

：.AD=BP,

在和△C71N中，

(AB=AC

\z.BAP=乙CAN,

(AP=AN

:MBAP三ACAN(SAS)

；・BP=CN,

：,AD=CN；

(3)

取AC的中点Q,连接8。，取4。的中点K,连接KM,

*/将仆ABM沿AM翻折得△AB'M,,

=^MAB\AB'=AB=AC,

又・."/M=乙CAN,

・"MAB'="AN,

，乙MAN-乙CAN=^MAN-乙MAB',CP：乙MAC=iNAB',

又1•44NM=30。，AQ=^AC=^AB^

.AMAQ1

..---=----=—,

ANAB'2

：.LAMQ〜△力NB',

:・B'N=2MQ,

又・；8M=MD,BK=KQ,

:,KM〃QD,

又•:AB=BC,

・・・BQ1AC,

:,BQ1KM,

:・KQWMQ,当M点与K点重合时，MQ取最小值，此时夕N=2MQ取最小值,

・・・。点与。点重合，即。为AC的中点时，BW取最小值，如解图3-2；

设AD=a,

•:AABC是等边三角形，D点是AC的中点，

•'•"DM=Z-MDE=90°,Z-ABD=30°

••BD=6a，AB=BC=2a,

・・・MO=-BD=—a»

22

••AM=yjMD2+AD2=J弓a)?+#?0,

:・MN=AMtan乙MAN=—axV3=—a，

22

'：LMAE=Z.DAM,Z.AME=LADM=90°,

：-LAME~AADM,

,.MDDE

•--=---，

ADMD

：.DE=-a,

4

\*CN=AD=a,

B'

解图3-2

【点睛】本题主要考查了三角形综合，涉及了等边三角形、全等三角形、相似三角形的性质和判定以及解

三角形等知识点，难度大，综合性强，需要平时积累和训练.解题关键是根据题目的已知条件添加辅助线

构造适当的三角形转化线段和角的关系.

【例2】（2022•江苏•八年级专题练习）（1）问题发现：

如图I,△AC8和均为等腰直角三角形，Z.ACB=Z.DCE=90°,连接4。，BE,点4、D、£在同一条

直线上，则匕AE8的度数为,线段A。、BE之间的数量关系:

(2)拓展探究：

如图2,△AC8和△/)(?£均为等腰直角三角形，^ACB=LDCE=90°,连接4。，BE,点A、0、E不在一条

直线上，请判断线段4。、8E之间的数量关系和位置关系，并说明理由.

(3)解决问题：

如图3,△4C8和ADCE均为等腰三角形，LACB=LDCE=a,则直线4。和BE的夹角为.(请

用含。的式子表示)

【答案】(1)90°,AD=BEx(2)AD=BE,ADIBE；(3)a

【分析】(1)由已知条件可得AC=BC，CD=CE，进而根据NAC8—NOC8=NOCE—NOCB,可得NACO

=NBCE,证明△AC。丝△3CE(SAS),即可求得4D=8E；ZBEC=ZCDA=\35°；

(2)延长40交BE于点F,同理可得△ACOgZXBCE,设/朋8=a,则NC4D=NC8E=45°-a,根据

ZXfiE=45o+45°-a=90°-a,进而根据N4F8=180°-NRB-NABE=l800-a-(900-a)=90。，即可求解；

(3)延长BE交4。于点G,方法同(2)证明△ACOgZXBCE,进而根据三角形的内角和定理即可求得直

线4)和BE的夹角.

【详解】(1)••.△AC8和ADCE均为等腰直角三角形，LACB=LDCE=90°,

：-AC=BC，CD=CE，ZCDE=45°

AZCDA=135°

■:ZACB-ZDCB=ZDCE-ZDCB,

JNACD=/BCE.

在A4。。和4BCE中，

AC=BC

z^ACD—Z-BCE，

CD=CE

:.'ACD/XBCE(SAS),

，NBEC=NAOC=135。，AD=BE

-：ZA£B=90°

故答案为：90°，AD=BE

(2)AD=BE,AD±BEt理由如下,

同理可得^ACDWABCE,

贝I」AD=BE,

延长力。交BE于点F,

设/胡8=a,则NC4D=NCBE=45°-a

:.ZABE=45°+45o-a=90°-a

:.ZAFB=1800-ZFAB-ZABE=180°-a-(90o-a)=90o

：.ADA.BE

(3)如图，延长BE交4。于点G,

DCE均为等腰三角形,

:,AC=BC，CD=CE,

•/^ACB=ZDCE=a,

•・•^ACB+ZACE=NDCE+NACE,

:.NACD=NBCE.

在A4。。和4ACE中，

AC=BC

乙ACD=^BCE,

(CD=CE

•••△ACO丝△8CE(SAS),

：,ZCBE=ZCAD

'：^ACB=乙DCE=a

:./CBA=NCAB4(180°-a)=90°

:.NGA8+NG孙=(4CAD+Z.CAB)+(Z.ABC-乙CBE),

=Z.ABC+Z-CAB=180°-a,

/.ZAGB=180°-(ZGAB+ZGBA)=a,

即直线/I。和BE的夹角为a.

故答案为：a.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，掌握旋转模型证

明三角形全等是解题的关键.

【例3】(2022•江苏•八年级课时练习)如图1,在△ABC中，4E_L8C于E,AE=BE,。是A£上的一点，

且。E=CE,连接B。，CD.

(1)试判断8。与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；

(2)如图2,若将△DCE绕点E旋转一定的角度后,试判断8。与AC的位置关系和数量关系是否发生变

化，并说明理由;

（3）如图3,若将（2）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变.

①试猜想8。与AC的数量关系，并说明理由；

②你能求出8£＞与4。的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由.

【答案】（I）BD=AC,BDLAC,理由见解析：（2）不变，理由见解析；（3）①BD=AC,理由见解析；②

能，60。或120°.

【分析】（1）延长8。交4c于足根据，54S”判定根据全等三角形的性质，即可求证；

（2）根据“S4S”判定△BE—4EC,根据全等三角形的性质,即可求证；

（3）①根据“S4S”判定△BED三AAEC,根据全等三角形的性质，即可求证；②设4c与BD交于点凡根据

全等三角形的性质，即可求证.

【详解】（1）BD=AC,BDLAC,

理由：延长8。交AC于F.

图1

VXE1BC,

JNAE8=NAEC=90。,

在ABE。和△AEC中

(BE=AE

乙BED=乙AEC

(DE=EC

：-LBED^LAEC{SAS),

：,BD=AC,/DBE=/CAE,

VZBED=90°,

・・・NE8D+N8QE=90。，

♦：4BDE=/ADF,

/.ZADF+ZCA£=90°,

:.ZAro=180°-90°=90°,

HD.LAC；

(2)

不发生变化，

理由是：•：NBEA=NDEC=90。,

JZBEA+ZAED=ZDEC+ZAED,

：・NBED=NAEC,

在4〃功和△AEC中，

BE=AE

乙BED=LAEC

DE=EC

:.'BED在4AEC(SAS),

：.BD=ACtZBDE=ZACE,

•・•ZDEC=90°,

JNACE+NEOC=90。，

•：4E0C=/D0F,

•••NBOE+N00/=90。，

/.ZDTO=I8O°-90。=90。，

：.BD±AC；

(3)①•：/BEA=NDEC=90。,

/.^BEA+ZAED=NDEC+NAED,

:・/BED=/AEC,

在ABED和△AEC中，

(BE=AE

{/.BED=乙AEC

(DE=EC

:•△BEg/\AEC(SAS),

：,BD=AC,

②能.设AC与BO交于点F,如下图:

理由：••・△ABE和△OEC是等边三角形，

:・AE=BE,DE=EC,NEDC=NDCE=60。,ZBEA=ZDEC=60°,

JZBEA+ZAED=ZDEC+ZAED,

；・NBED=NAEC,

在A8EO和△AEC中，

(BE=AE

\z-BED=Z.AEC,

(DE=EC

:.MBEDWAAEC(SAS),

:.乙BDE=4ACE,BD=AC.

:.乙DFC=180°-(乙BDE+Z.EDC+乙DCF)

=180°-(Z.ACE+乙EDC+乙DCF)

=180。一（60。+60。）

=60°,

即8。与AC所成的角的度数为60。或120°.

【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法与性质.

【例4】（2021・福建・闽江学院附中九年级期中）正方形A8CO和正方形AEFG的边长分别为3和1,将正方

形AER7绕点A逆时针旋转.

/•'

E

G'GE

（l）当旋转至图1位置时，连接B£,DG,则线段BE和。G的关系为；

（2）在图1中，连接8。，BF,DF,求在旋转过程中AB。产的面积最大值；

（3）在旋转过程中，当点G,E,。在同一直线上时，求线段8E的长.

【答案】（1）BE=DG.BE1DG,（2）7.5：（3）V34+A/34-V2

【分析】（1）利用正方形的性质证明AB/IE三4G即可证得结论；

（2）连接BD,BF,DF,AF,AC,设AC交BD于点K.利用勾股定理求出4口AK,由AF=e推出当点”,

A,K在同一直线上时，点F到5。的最大距离=或+日&=^^，由此可得结论；

（3）分两种情形:如图2-1中，当0,E,G共线时,连接4%交DG于形如图2—2中,当D,E,G共线时,

连接AF交0E于7.利用勾股定理求出07,可得结论.

【详解】解：（1）3E=0G,BEIDG,理由如下：

如图I中，设BE交4。于点0,交DG于点/.

••••••四边形"BC。、四边形AEFG都是正方形,

Z.BAD=Z.EAG=90°,AB=AD,AG=AEf

:./.BAD+乙DAE=乙EAG+Z.DAE)

•••/.BAE=Z.DAG,

&LBAE^^DAG^,

(AB=AD

\^.BAE=/.DAG,

(AE=AG

BAE=△DAGt

:.BE=4G,Z-ABE=Z.ADG,

v乙BOD=乙ABE+乙BAD=Z.ADG+NO/。，

:.Z.BAO=Z.DJO=90°,

:.BE1DG,

故答案为：BE=DG,BELDG,

(2)如图1中，连接80,BF,DF,AF,AC,设力C交8。于点K.

•••西边形ABC。、四边形力E/G都是正方形，

AB=AD=3,/.BAD=90°,EA=EF=1,Z.AEF=90°,

BD=AC=V32+32=3vLAF=Vl2+l2=VL

:.AK=CK=-\/2,

2

VAF=V2»

••・当点P,A,K在同一直线上时，点F到80的最大距离=&+]&=

・•.△BDF的面积的最大值为:x3V2x|V2=7.5；

(3)如图2-1中，当。，E,G共线时，连接4F交DG于T.

图2-1

•.•四边形力E/G是正方形，

•••AF1EG,AF=EG=x/2，

AT=FT=TG=TE=

DT=>/AD2-AT2=①-(p/2)2=1V34,

...DG=GT-VDT=+1V34,

•••BE=DG,

・；

•.BF=2->/2+2-V34

如图2-2中，当D,E,G共线时，连接A/交DE于T.

图2・2

•••四边形AEFG是正方形,

AF1EG,AF=EG=V2,

AT=FT=TG=TE=-V2,

2

DT=>/AD2-AT2=卜-(p^)2=^V34，

DG=DT-GT=-\f34--V2

22t

vBE=DG,

综上所述，满足条件的DG的长为:归+：企或:闻-

【点睛】本题属于四边形综合题，考杳了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用等知

识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.

培优训练

X._____________________________________Z

一、解答题

1.(2022・四川自贡.九年级专题练习)问题：如图1,在等边三角形A4C内，点夕到顶点A、B、C的距离

分别是3,4,5,求NAP8的度数？

探究：由于附、PB、PC不在同一个三角形中，为了解决本题，我们可以将△A8P绕点A逆时针旋转60。

到AACP处，连结P产，这样就将三条线段转化到一个三角形中，从而利用全等的知识，求出N4P8的度

数.请你写出解答过程：

应用:请你利用上面的方法解答:如图2,△ABC中，ZCAB=90°,.45=AC,E、F为上的点,且用E4尸=45。,

求正：BE2+FC2=EF2

【答案】探究：ZAPB=\50°,应用：见解析

【分析】探究：运用旋转的性质，以及全等三角形的性质得对应角相等，对应边相等，得出NFP'=60°,

再利用等边三角形的判定得由△APP'为等边三角形，即可得出NAPP的度数，即可得出答案；

应用：利用已知首先得出△AEG丝44尸E,即可把EF,BE,放到一个直角三角形中，从而根据勾股定

理即可证明.

【详解】探究：解：将aABP绕顶点A旋转到△ACP处，

:.△BAP%ACAP',

：.AB=AC.AP=AP',/BAP=/CAP',

：.^BAC=ZPAP'=60°,

•••△APP'是等边三角形，

AZAPP'=60°,

因为BPP，不一定在一条直线上，

：.P'C=PB=4,PP'=必=3,P'C=PC=5,

"PP'C=90°,

:APP'C是直角三角形,

/.Z/4PZ?=ZAPzC=ZAPP,+NPPC=600+90°=150°,

・,./8%=150°；

应用：证明：把△Ab绕点A顺时针旋转90°,得到△4BG.连接EG.

则△4C&A/WG.

：.AG=AF,BG=CF,NA8G=N4=45°.

•.•NBAC=90°,NGA广=90”.

.*.ZGAE=ZEAF=45<>,

在和△?1尸E中，

AG=AF

LGAE=Z.FAE,

、AE=AE

:、△AEG9XAFE(SAS).

:,EF=EG,

又・,,NG8E=90°,

,\BE2+BG2=EG2,

SPBE2+CF2=EF2.

图2

【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，读懂题

目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键.

2.（2022.全国.九年级专题练习）【探究发现】（1）如图1,在四边形4BCD中，对角线4。1BD,垂足是。,

求证：AB2+CD2=AD2+BC2.

【拓展迁移】（2）如图2.以三角形ABC的边为边向外作正方形和正方形4CFG,求证：CE1BG.

（3）如图3,在（2）小题条件不变的情况下，连接GE,若/EGA=90。，GE=6,AG=8,则BC的长

.（直接填写答案）

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2旧.

【分析】（1）根据AC1BD,利用勾股定理分别求出入82+CD2和4"+"2即可证明结论；

（2）利用正方形的性质证明AC4ggAGAB（SAS）,可得NCE4=NG84,根据NGB4+NAN/3=9O。等量

代换求出/EMN=90°即可；

（3）利用勾股定理分别求出AE、CG^BE,然后利用（1）中结论求出6c即可.

【详解】解：（1）-：ACLBD,

JZAOD=NAOB=NCOD=ZBOC=90°,

由勾股定理得：AB2+CD2=OA2+OB2+OD2+OC2,AD24-BC2=OA2+OD2+OB2+OC2,

：.AB2+CD2=AD2+BC2；

(2)•••在正方形ABDE和正方形4CFG中，AC=AG,AE=AB,NCAG=N£48=90。,

・•・NCAG+ZGAE=/E48+/GAE,即ZCAE=/GAB,

C.LCAE^^GAB(SAS),

・・・NCEA=NGBA,

•；NG3A+NANB=90。，NANB=4MNE,

••・NCE4+NMNE=9()。，

:.NEMN=9()。,

：.CE1BG；

(3)如图3,连接CG,BE,

*：LEGA=90°,GE=6,AG=8,

.*"C=8,AE=\!6+82=10»

：,AB=\0,

ACG=V82+82=8伍Z?C=V102+102=]0后

,：CE1BG,

工由(1)可知：GE2+BC2=CG2+BE2,即36+BO2=128+200,

VBOO,

:.BC=2旧.

故答案为：2g.

【点睛】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握勾股定理是解答此题的关键.

3.（2022・全国,八年级课时练习）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角顶点，并将它们的底角

顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形.如图1,在“手拉手”图

形中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE,连结BD,CE,则△八乌△4CE.

E

B

图1

(1)请证明图1的结论成立;

(2)如图2,△ABC和aAEO是等边三角形，连接8。，交于点O,求N30C的度数;

(3)如图3,AB=BC,ZABC=ZBDC=6Q°,试探究/A与NC的数量关系.

【答案】(1)见解析

(2)60°

(3)Z/4+ZZ?CD=18O°,理由见解析

【分析】(1)利用等式的性质得出NBAO=NCAE,即可得出结论；

(2)同(1)的方法判断出△A8O且△4CE,得出N4O8=N4EC,再利用对顶角和三角形的内角和定理判

断出N30060。，即可得出答案；

(3)先判断出△8QP是等边三角形，得出8D=8P,N。8p=60。，进而判断出△(SAS),即可

得出结论.

(1)

解：证明：・.・NBAC=NDAE,

/.^BAC+ZCAD=ZDAE+ZCAD,

：.ZBAD=ZCAE,

在A48。和△4CE中，

(AB=AC

\z-BAD=Z.CAE,

(AD=AE

•••△ABOdACE(SAS)；

(2)

如图2,

E

图2

VAABC^IIAAOE是等边三角形,

：,AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=60°,

；・NBAD=/CAE,

在△ABO和△ACE中，

(AB=AC

UBAD=LCAE,

IAD=AE

:.WBD9XACE(SAS),

/.^ADB=^AEC,

令AQ与CE交于点G,

•・•ZAGE=ZDGOt

・•・1800-ZADB-ZDGO=180°-ZAEC-/AGE,

JZD(9E=ZDAE=60°,

/.NBOC=60。；

(3)

ZX+ZBCZ>180°.理由:

如图3,延长。。至P,使DP=OB,

图3

•・•ZZ?DC=6O°,

•••△8OP是等边三角形，

：・BD=BP,ZDBP=6Q°,

,/NA8C=60°=NOB尸，

/.NABD=NCBP,

*：AB=CB,

:.AABD@4CBP(SAS),

/.ZBCP=ZA,

•••/BCQ+N8CP=180。,

/.ZA+ZBCD=180°.

【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和

性质，构造等边三角形是解本题的关键.

4.（2022・重庆开州•八年级期末）在正方形ABC。中，连接对角线AC,在AC上截取AE=BC,连接BE,

过点人作AFJL8E于点儿延长人尸交8c于点M.

（1）如图1,连接ME并延长交4。的延长线于点Q,若BC=5,求A/IQM的面积；

（2）如图2,过点A作4P_L4M于点A,交CO的延长线于点尸，求证：AP-2FM=BE.

【答案】（l）S-QM=g/

⑵见解析

【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一性质，再利用边角边的判定定理，可证AAEM三AABM,再根据

全等的性质以及正方形的性质证明△8£1（?为等腰直角三角形，求出AQ的长，最后用三角形的面积公式求出

△4QM的面积即可；

（2）如图（见详解），在雨上截取“=FM,连接8G,先利用角边角的判定定理证明△力BA1三Zk/IDP,

再利用角边角的判定定理证明4ABG幺BCE,就能得到AM=APfAG=BE,MG=2FM,即可证明4P-2FM=

BE.

（I）

（1）解：•・•四边形A8CO是正方形

•'•AB=BC=5.

'：AE=BC,

••AE=AB=5.

又1BE,

・••血M=Z-BAM.

且RM=AM,

：.LAEMABM(SAS).

：.LAEM=/-ABM=90°,^AEQ=90°.

•・"QAC=45°

:,乙Q=180°-乙AEQ-/,QAC=45°.

:.乙Q=Z.QAC.

•'•AE—QE—5,

:、AQ=yjAE2+QE2=5V2.

:AAQM=•48=；x5V2x5=

(2)

证明：如图，在加上截取/G=FM,连接BG.

•・•四边形ABC。是正方形，P在CO的延长线上,

：.^ABM=Z.ADP=90°.

又1・4P1AM,

：.LPAM=/.BAD=90°,

：.LBAD-Z,DAM=乙PAM-Z.DAM,

=乙DAP.

又YAB=AD,

：.LABM三△ADP(ASA).

=AP.

VXC是正方形ABCD的对角线，

：.LBAC=45°,

：,LEAM=Z.BAM=-LBAC=22.5°,

2

：^AMB=180°-/-ABC-乙BAM=67.5°.

又=NM,AE1BE,

・•・B尸垂直平分MG,

；・BM=BG,

：.LAMB=乙BGM=67.5°,

=1800-Z.AMB-乙BGM=180-67.5-67.5=45°.

又・：BM=BG,BF1MG,

，乙CBE二3乙MBG=22.5°.

：,LBAG="BE.

'：LABG=乙ABC—乙MBG=90°-45°=45°.

=乙BCE.

又748=BC,

AAABGBCE（ASA）.

•\AG=BE.

又・「FG=FM,

：.MG=2FM.

•・ZM=MG+4G,

AZP=2FM+BE,^AP-2FM=BE.

【点睛】本题考宣正方形的性质、全等三角形的判定、等腰三角形的性质以及垂直平分线的性质几何综合，

熟练掌握相关性质定理以及全等三角形的判定定理并灵活应用是解题的关键.

5.（2022•福建省福州延安中学模拟预测）如图,在心△A8C中，^ACB=90°,AC=BC,。为斜边A8上一

动点（不与端点A,B重合），以C为旋转中心，将CO逆时针旋转90。得到CE,连接AE,BE,尸为4E的

中点.

c

⑴求证:BELAB；

（2）用等式表示线段CD,BE,b三者之间数量关系，并说明理由；

（3）若C尸=|,CD=通,求taMBCE的值.

【答案】（1）见解析

（2HCF2+BE2=2CD2,见解析

【分析】（1）通过证明△ACO丝A4C上即可证明；（2）连接。ADE,通过证明两边对应成比例及其夹角

相等，证AGCFSACBD,得CF与4。的关系，然后根据勾股定理得出结论；（3）利用（2）中的结论即

可求解.

（I）

证明：

TCO旋转90。得到CE

:,CD=CE,乙BCE+乙BCD=90°.

9：LACB=Z-ACD+乙BCD=90°

：-LACD=乙BCE

在“AC。和△4CE中，

AC=BC

{^ACD=乙BCE

CD=CE

•'△ACQg△BCE（SAS）

."SO=UBE

,：LACB=90°,AC=BC,

：.LCAB=Z.CBA=Z.CBE=45°

：^ABE=^-CBA+"BE=90°

⑵

法一：解：4CF2+BE2=2CD2

理由如下：

取AC中点为G点，连接GF,DE,

•・•尸为AE中点

・・・FG为MCE的中位线，

：.FGIICE,FG=^CE,

：.LCGF+/.ACE=180°.

*：LBCD4-LACB=乙BCD+Z.ACD+乙DCE=180°

:・LCGF=乙BCD.

*：AC=BC,CD=CE,

.FG_FG_1£G_C£_1

,音CD2，~AC~BC5，

,FG__CG_

"CD~BC'

:.'GCFSACBD

.CF_1_

"BD~2

即CF=泗.

在Rt^BDE中，BD2+BE2=DE2

在取△CDE中，CD=DExsin45°=—DE

2

:,DE=V2CD

：.(2CF)2+BE2=2CD2

：.4CF2+BE2=2CD2

法二：角牟：4CF2+BE2-2CD2

•:延长CF交AB于点H

连接BF

由(1)得，Z.ABE=90°

•・•尸为的中点

：

.BF=-2AE=AF

*：AC=BC

AC,尸在线段AB的垂直平分线上,

尸垂直平分AB.

・・・，为48中点.

・•・"/为延的中位线

:.FH--B2E.

•・•'ACDmXBCE,

=AD

：.FH=-AD.

2

'：CH=-AB

：.CF=CH-FH=^(AB-AE)=|FD.

在RfACDH中,

CD2=CH2+DH2

\'AH=BH=CH

：.AD2+BD2=(AH-DH)2+(DH+BH)2=2DH2+2AH2=2DH2+2CH2

：.AD2+BD2=ZCD2

，4C产+BE2=2CD2

或者：连接8。

在RsBDE中,BD2+BE2=DE2

在Rt^CDE中，CD=DExsin45°=—DE

2

：-DE=y[2CD

，(2⑺2+8产=2CD2

：.4CF2+BE2=2CD2

法三：解：4CF2+BE2=2CD2

理由如下：

连接BF

c

由(1)得，Z.ABE=90°

•・•尸为A£的中点

：

,BF=-2AE=AF

*：AC=BC

・・・C,/在线段AB的垂直平分线上,

尸垂直平分AB.

延长CV交AB于点。如图所示，以点。为原点以A8所在直线为x轴，建立平面直角坐标系.

设=Q,OB=b

则力(一00),B(b,0),C(0,b),D(a-b,0)

•:△AC。四△8CE,

：.BE=AD

・・・E(0,a)，尸(0，5

・•・在心ZkCOO中，

•'•CD2=b2+(a—b)2=2b2+a2-2ab

BE1=a2,

CF2=(b-£)2=匕2+[一帅

乙1

：222

.2CF+-2BE=CD.

BP4CF2+BE2=2CD2.

(3)

解：VCFCD=遍,由(2)f^4CF2+FF2=2CD2,

解得：BE=1.

过点E作EGJ_3C于点G

c

HE=45%

:.在RthBEG中，GE=BE-sin45°=—,

2

:,BE=BG=—2.

•CD=V5»

由(1)得CE=CD=瓜

:.在RSBEG中，CG=>JCE2-EG2=J(V5)2-(^)2=|企，

在RsCEG中,

【点睛】本题考查三角形全等、相似、勾股定理等，属于几何综合题目，灵活运用知识点，作辅助线，构

造直角三角形是解题的关键.

6.12022•浙江湖州•中考真题）已知在RAABC中，ZACB=90°,«,人分别表示N4,的对边，a>b.记

△4BC的面积为S.

图2

图3

⑴皿图1,分别以AC,C8为边向形外作正方形4COE和正方形8GFC.记正方形ACQE的面积为S1，正方

形BGFC的面枳为S2.

①若&=9,S2=16,求S的值：

②延长£人交G〃的延长线于点M连结/W,交3C于点M,交居于点〃.若Z7/_LA〃（如图2所示），求

证：S2-Si=2S.

⑵如图3,分别以AC,C8为边向形外作等边三角形ACO和等边三角形C8E,记等边三角形ACO的面积

为SI,等边三角形C5E的面积为S?.以人3为边向上作等边三角形八8"点。在内），连结EF,CF.若

EFLCF,试探索Sz—Si与S之间的等量关系，并说明理由.

【答案】（1）①6；②见解析

（2）S2-SI=[S,理由见解析

【分析】（1）①将面积用。的代数式表示出来，计算，即可

②利用AN公共边，发现△朋NSAAMB,利用警=黑，得到小〃的关系式，化简，变形，即可得结论

ANNB

（2）等边△ABF与等边ACBE共顶点B,形成手拉手模型，AABCSFBE,利用全等的对应边，对应角，

得到：AC=FE=b,NFEB=NACB=90°,从而得到NFEC=30。，再利用Rt△CFE,cos30。=竺=2二立，

CEa2

得到。与匕的关系，从而得到结论

（1）

•・§=9,S2=16

：・b=3,a=4

•INAC8=90。

.*.S=^ab=^x3x4=6

②由题意得：/项N=NANB=9。。,

'：FHLAB

：.NAFN=90°—ZFAH=/NAB

•••△EANsZWVB

.FA_AN

**AN-NB

.a+ba

得：ah+/=a2

2S+Si=S2.

即S2-Si=2S

(2)

S?-Si=；S,理由如下：

•••△AB/和△BEC都是等边三角形

:・AB=FB,NABC=66°-NFBC=NFBE,CB=EB

:.△ABCWAFBE(SAS)

：.AC=FE=b

NFEB=NACB=90。

AZFEC=30°

VfFICF,CE=BC=a

.•?=£=cos30°=当

-・bL=-6a

2

•*•5=24-ab=­a

2

由题意得：Si=f/,S2=^a

・・・S2-Si=^Q2—^b2=^Q2

114416

・・・S2-S1=1S

【点睛】本题考查勾股定理，相似，手拉手模型，代数运算，本题难点是图二中的相似和图三中的手拉手

全等

7.(2022・贵州遵义・三模)某校数学兴趣学习小组在一次活动中，对一些特殊几何图形具有的性质进行了如

下探究：

⑴发现问题:如图1,在等腰△48C中=AC,点M是边BC上任意一点，连接力M,以/1M为腰作等腰△/MN,

使HM=71N,/MAN二/BAC,连接CN.求证：Z.ACN=

(2)类比探究：如图2,在等腰△力BC中，=30°,AB=BC,4c=4,点M是边8C上任意一点，以4M为

腰传等腰△4MN,使AM=MN,乙AMN=LB.在点M运动过程中，AN是否存在最小值？若存在，求出最

小值，若不存在，请说明理由.

(3)拓展应用：如图3,在正方形力BCD中，点E是边BC上一点，以DE为边作正方形QErG,"是正方形

的中心，连接CH.若正方形DE/G的边长为6,CH=2五,求△CD"的面积.

【答案】(1)证明见解析

(2)AN存在最小值，最小值为：2

(3).714+2

【分析】(1)先证明△ABMgACAN,再利用全等三角形性质即可得证；

(2)过A作A”_L8C于”，设先根据AC的长度及/B度数，解直角三角形，求出x值，再证明

〉ABCs丛AMC,得4M与AN的比值，将AN的最小值转化为AM的最小值，由垂线段最短知4M_L5c时

取最小值，即可得解；

(3)连接BD、EH,过〃作HQLCD,证明△BDC^/^EDH,得BE的长度，设CE=x,解直角三角形CDE,

求出x值，利用相似三角形性质知NOC〃=45。，求出HQ的长度，代入三角形面积公式即可.

(I)

证明：・：/BAC=/MAN,

/.NBAC-/CAM=/MAN-/CAM,

即NB4M=NCAM

*：AB=AC,AM=AN,

・•・△A8M丝ZSACN,

：.ZCAN=ZABM.

(2)

解：4N存在最小值，理由如下：

过A作人，_LBC于，，如图所示,

设AH=x,

N8=30。，

；・AB=2x=BC,BH"x，C"=(2-⑹%,

在阳△AC"中，由勾股定理得：［(2—⑹62+/=42,

解得:/=4(2+75),舍去负值，

***x=V6+近,

:・AB=2瓜+2品

...些=2、京+2&=三,

AC42

•:NAMN=/B,AM=MN,AB=BC,

•••△BACS&WAM

.AM_AB_遍+鱼

"AN~AC_2'

•AZ2AMV6-V2...

••AN=-r=—7==---AM,

v6+\/22

由垂线段最短知，当AM_LBC时，AM取最小值，最小值为A”的长度,

故AN存在最小值，最小值为：渔券x(而+&)=2.

(3)

解；连接B£),EH,过〃作“Q_LC7)于Q,如图所示,

•・•，为正方形。所G的中心,

：.DH=EH,ZDHE=90°,

;四边形A8CO为正方形，

：,BC=CD,ZBCD=90°,

，ZBDE+NCDE=NCDH+ZCDE=45°,

，NBDE=NCDH,

,,BD_DE_/x

*CD=DW_VZ，

:,ABDEs丛CDH,

JNDCH=NABE=45。,BE=^2CH=4.

设CEr,则CD=x+4,

，：DE=6,

・••由勾股定理得：X2+(X+4)2=62,

解得：x=V14—2或x=—V14-2(舍)，

:.CD=VT4+2>

在RtXCDH中,CQ=QH=2,

•••△CO”的面积为gx(V14+2)x2=714+2.

【点睛】本题考查了手拉手全等［相似）模型、正方形性质、勾股定理解直角三角形、垂线段最短、特殊

角的三角函数值等知识点.本题综合性强，根据题意作出辅助线借助相似三角形求线段间的关系是解题关

键.

8.(2022•重庆一中七年级期中)如图，等腰三角形48c和等腰三角形ADE,其中A8=AC,AD=AE.

图2

(1)如图1,若NBAC=90°,当C、。、E共线时，A。的延长线A/LLBC交BC于点区则NACE=：

(2)如图2,连接CD、BE,延长交8c于点F,若点”是BC的中点，ZBAC=ZDAE,证明：ADA.CD,

(3)如图3,延长DC到点M,连接BM,使得NA8M+NACM=180。，延长ED、8M交于点N,连接AN,

若NBAC=2NNAD,请写出NAOM、ND4E它们之间的数量关系，并写出证明过程.

【答案］⑴22.5。

(2)见解析

(3)ZDAE+2ZADM=180°,详见解析

【分析】(1)由等腰直角三角形性质得=NC4F=45。，再由三角形外角性质知NACE=N8。凡代入求值

即可：

(2)连接AP,过4作由手拉手相似得△ACOSAAF”，得NC。bJ/B4C,再由/4。