专题62离散型随机变量及其分布列

离散型随机变量及其分布列

【基础知识梳理】................................................................................1

【考点1：随机变量】............................................................................2

【考点2：求简单随机变量的分布列】.............................................................2

【考点3：随机变量分布列的性质】...............................................................7

【基础知识梳理】

1.随机变量的有关概念

(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X,匕或〃，…表示.

(2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量.

2.离散型随机变■分布列的概念及性质

(1)概念：若离散型随机变量X可能取的不同值为xi,必，…，如…，a”X取每一个值…,

〃)的概率尸(*=Xi)=p”以表格的形式表示如下：

•••

XX\X2XiXn

••••••

PPiP2PiPn

此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.有时也用等式P(X=Xi)=pif/=1,2,…,

n表示X的分布列.

(2)分布列的性质：①p层0,i=l,2,3,…，〃；②%•=1

尸1

3.离散型随机变量的分布列的性质主要有三方面的作用：

(1)利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；

(2)利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件

的概率；

(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.

［方法技巧1

求离散型随机变■分布列的步骤

(1)找出随机变量X的所有可能取值Mi=l,2,3,…，〃)；

(2)求出各取值的概率尸(X=K)=pi；

(3)列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确.

【考点1:随机变量】

【知识点：随机变量】

1.（2022春・浙江绍兴•高二校考期中）先后抛掷一个骰子两次，记随机变量4为两次掷出的点数之和，则4

的取值集合是（）

A.{1,2,3,4,5,6}B.{2,3,4,5,6,7}

C.{2,4,6,8,10,12}D.{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}

2.（2022・高二课时练习）袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，则可以作为随机变量的是（）.

A.至少取到1个白球B.取到白球的个数

C.至多取到1个白球D.取到的球的个数

3.（2021秋•陕西榆林•高二陕西省神木中学校考阶段练习）甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答

题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误

的扣I分（即得-1分）.若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分（分数高者胜），则X的所有可能取值之和是（）

A.3B.4C.5D.6

Xi，X2,记X=min{Xi，X2},MP（2<X<4）=（）

A5c7_1cl

A--B.—C.—D.—

121232

5.（2022春・广东深圳•高二校考期中）甲、乙两班进行足球对抗赛，每场比赛赢了的队伍得3分，输了的

队伍得。分，平局的话，两队各得1分，共进行三场.用f表示甲的得分，则代=3}表示（）.

A.甲赢三场B.甲赢一场、输两场

C.甲、乙平局三次D.甲嬴一场、输两场或甲、乙平局三次

6.（2023・全国•高二专题练习）一副扑克牌共有54张牌，其中52张是正牌，另2张是副牌（大王和小王），

从中任取4张，则随机变最可能为（）

A.所取牌数B.所取正牌和大王的总数

C.这副牌中正牌数D.取出的副牌的个数

7.（2022・高二课时练习）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中

女生的人数，则{X<1}表示.

8.（2022・高二课时练习）将4把串在一起的钥匙逐一试开1把锁，其中只有1把能打开锁，依次试验，打

不开的扔掉，直到找到能打开锁的钥匙为止，则试验次数X的最大可能取值为.

【考点2：求简单随机变显的分布列】

【知识点：求简单随机变量的分布列】

1.（2022・高二课时练习）甲、乙两名篮球运动员每次投篮的命中率分别为0.8,0.7,他们各自投篮1次,

设两人命中总次数为X,则X的分布列为（）

X012X012X312X012

PPPP

ABCD

A.AB.BC.CD.D

3.（2004•全国•高考真题）从装有3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有6个红球，则随机

变量f的概率分布为：.

012

P

4.（2022秋・河南南阳•高二校考阶段练习）一袋中装有4只同样大小的球，编号分别为1,2,3,4,现从

中随机取出2个球，以X表示取四球的最大号码，则X的分布列为

5.（2022秋•山东潍坊・高二山东省安丘市第一中学校考阶段练习）4,8两个乒乓代表队进行对抗赛，每组

三名队员，A队队员为A/，42,4,8队队员为/力，生,按照以往比赛统计，对阵队员之间的胜负的概

率如卜：

对阵球员A队队员获胜的概率8队队员获胜的概率

21

4对S

33

23

42对电

55

23

4对以

55

现按表中对阵方式出场，每场获胜队伍得1分，负队的0分，设A队，B队最后所得总分分别为£与小求£与

7/的概率分布

6.（2023•全国•高三专题练习）本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车

点的收费标准是每车每次租时间入超过两小时免费，超过两个小时的部分每小时收费2元（不足1小时的

部分按1小时计算）.有甲、乙两人独立来该租车点车租骑游（各租一车一次）.设甲、乙不超过两小时

还车的概率分别为两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为;,；；两人租车时间都不会超过四小时.

4224

⑴求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；

（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量求f的分布列.

7.（2023・全国•高三专题练习）我校举办“学党史〃知识测试活动，每位教师3次测试机会，规定按顺序测试,

一旦测试合格就不必参加以后的测试，否则3次测试都要参加.甲教师3次测试每次合格的概率组成一个

公差为:的等差数列，他第一次测试合格的概率不超过；，且他直到第二次测试才合格的概率为竟，乙教师3

8Z3Z

次测试每次测试合格的概率均为3每位教师参加的每次测试是否合格相互独立.

⑴求甲教师第一次参加测试就合格的概率P:

⑵设甲教师参加测试的次数为小，乙教师参加测试的次数为〃，求f=7H+九的分布列.

8.（2022秋・河北唐山・高三开滦第二中学校考阶段练习）某电视台“挑战主持人〃的节目中，挑战者闯第一

关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得5分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得10

分，回答不正确得-5分.如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是：，回答第三个问题正确的概率为

%且各题回答正确与否相互之间没有影响.若这位挑战者回答这三个问题的总得分不低于5分，就算他闯

关成功.

⑴求至少回答对一个问题的概率；

(2)求这位挑战者问答这三个问题的总得分X的分布列；

⑶求这位挑战者闯关成功的概率.

9.(2022秋・北京丰台•高三北京丰台二中校考阶段练习)某家电专卖店试销48,C三种新型电暖器，销售

情况如下表所示:

第一周第二周第三周第四周

A型数量（台）10914a

3型数量（台）13914b

C型数量（台）71213c

⑴从前三周随机选一周，求该周C型电暖器销售量最高的概率；

⑵为跟踪调查电暖器的使用情况，根据销售记录，从该家电专卖店第一周和第二周售出的电暖器中分别随

机抽取一台，求抽取的两台电暖器中4型电暖器台数X的分布列和数学期望；

⑶直接写出一组a,b,c的值，使得表中每行数据的方差相等.

【考点3：随机变量分布列的性质】

【知识点；随机变量分布列的性质】

1.(2022・全国•高三专题练习)设随机变量f的概率分布列如下表:

1234

111

Pa

643

则P(|62|=1)=()A.看|C.D,

2.(2023秋•山东滨州•高三统考期末)已知等差数列｛斯｝的公差为d,随机变量X满足P(X=i)=

%(0<at<1),i=1,2,3,4,则d的取值范围是()

3.(2023•全国•高三专题练习)设离散型随机变量C的分布列如下表所示:

—10123

11112

P

105To55

则下列各式不正确的是()A.P(e<3)=1B.

C.P(2<(；<4)=1D.P(<<0.5)=0

4.(2022秋•广西钦州•高二校考阶段练习)已知随机变量X的分布列如下:

X01234

P0.1