专题14 概率与统计（理选填题）（解析版）

五年（2019-2023）年高考真题分项汇编

专题14椭率易挑叶（理送康）

岛考•埃版分桁

概率与统计题型主要包含二项式定理，排列组合，随机抽样，统计与概率等主要考查题型为:

考点01排列组合与二项式定理

考点02事件概率

考点03随机事件分布列

情存真房精折

考点01：排列组合与二项式定理

一选择题：

1.（2023年新课标全国I卷）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选

修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）.

【答案】64

【解析】：（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有CC=16种；

（2）当从8门课中选修3门，

①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有C：C：=24种；

②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有C：C：=24种；

综上所述：不同的选课方案共有16+24+24=64种.

故答案为：64.

2.（2020年高考课标II卷理.科）4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个

小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有种.

【答案】36

【解析】：・・・4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排

1名同学「•先取2名同学看作一组，选法有：C；=6

现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：A：=6

根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6x6=36种

1

故答案为：36.

二、填空题

1.（2023年天津卷）在（2丁一的展开式中，d项的系数为

【答案】60

【解析】：展开式的通项公式心1二鹿（201（」）=（-1）AX26-AXC^XX,8-4A,

令18—4%=2可得，k=4,则/项的系数为（—i『x267xCj；=4x15=60.故答案为：60.

442

2.（2021年高考浙江卷•）已知多项式（彳-if+（x+1）=x+a*+a2x+a3x+a4,则a,=,

a2+a3+a4=_

【答案】（1）.5;（2）.10.

【解析】:（x-1）3=xy-3x2+3.r-1,（x+1）4=x“+4x3+6.d+4x+l,

所以4=1+4=5,/=-3+6=3,4=3+4=7,4=-1+1=0,所以%+6+4日。故答案为5,10.

3.（2020年高考课标HI卷理科）（f+2日的展开式中常数项是（用数字作答）.

x

【答案】240

【解析】：・・・（f+2）其二项式展开通项：

&=。；・（巧6【闫’=《小飞2）"'

二。（2）""2-"当12—3，・=0,解得〃=4

/八6

2

x+±的展开式中常数项是：C："=C；J6=15xl6=240.故答案为：240.

kx）

【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握（a+b）〃的

展开通项公式（+I=C，"-72'，考查了分析能力和计算能力，属「基础题.

52,

4.（2020年浙江省高考数学试卷）设（I+2x）=a［+a2x+ayx++//,则os=________;。1+。2+

【答案】（1）.80（2）.122

【解析】：（1+2x）5的通项为1句=Q（2xX=2「C3,令，=4,则1=24C>4=80x4，.二%=80；

%+%+%=2'C；+2,C；+2P；=122

5.（2022新高考全国I卷・）［1-上］。+》）8展开式中f）,6的系数为________________（用数字作答）.

IX）

2

【答案】-28

【解析】：因为1一上（x+y），=（工+》『一上（工+），）'，

kXJX

所以0-的展开式中含f），6的项为C；dy6一1c；V）,5=-28/》6,

（1）,广的展开式中/），6的系数为々8故答案为：-28

6.（2021高考天津）在（2d+：）的展开式中，/的系数是.

【答案】160

【解析】：（2丁+/的展开式的通项为口=超（2/厂]■，=2-G>fj,

令18—4r=6,解得r=3,所以1的系数是丁点=160.故答案：160.

7.（2021高考北京）在（丁-_1）4的展开式中，常数项为.

X

【答案】-4

【解析】：卜:j的展开式的通项心（Ji.

令12-4/«=（）,解得/^=3,故常数项为q・（-l）'C：・-4.

8.（2。20天津高考）在卜+1）的展开式中，炉的系数是.

【答案】10

【解析】因为卜+蛾）的展开式的通项公式为a=墨/06,2，.产&=（）,]23,4,5）,令

5-3r=2,解得厂=1.所以产的系数为c；x2=10.故答案为：10.

9.（2019•浙江・）在二项式（0+4的展开式中，常数项是,系数为有理数的项的个数

是.

【答案】16a，5

【解析】（&+4展开式的通项为（“=C；（夜）9-/（r=0J2,,9）,当/•=（）时，可得二项式（&+x）9

展开式的常数项是7；=《（0）9=16夜.若系数为有理数，则（9-r）为偶数即可,故r可取1,3,4,5,7,9,

即WE,EOo共5项.

10.2（019•天津•理・）（2工一止）的展开式中的常数项为.

【答案】28

3

2%一止）的展开式中的常数项为C；-（2x）6=28x64x2=28

【解析】:

考点02事件概率

1.（2023年天津卷）甲乙丙三个盒子中装有一定数量黑球和白球，其总数之比为5:4:6.这三个盒子中

黑球占总数的比例分别为40%,25%,50%.现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概

率为；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为.

3

【答案】①.0.05②.-##0.6

5

【解析】：设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5几4〃,6〃，所以总数为15〃，

所以甲盒中黑球个数为40%x5〃=2〃，门球个数为3〃；

甲盒中黑球个数为25%X4/2=〃，白球个数为3/；

甲盒中黑球个数为50%x6〃=3〃，白球个数为3〃；

记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件A,所以，

P（71）=0.4x0.25x0.5=0.05：

记“将三个盒子混合后取出一个球，是门球”为事件区，

黑球总共有2n+〃+3〃=6〃个，白球共有9〃个，

/、9〃33

所以，0（8）=q^=：.故答案为；0.05；

15AT55

2.（2022年高考全国甲卷数学（理）・）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为

【答案】4.

【解析】从正方体的8个顶点中任取4个，有〃=C：=70个结果，这4个点在同一个平面的有

利=6+6=12个，故所求概率P='=2=之.故答案为：A.

n703535

3.（2022年高考全国乙卷数学（理））从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入

选的概率为.

3

【答案院

【解析】：从5名同学中随机选3名的方法数为C；=10

甲、乙都入选的方法数为c；=3,所以甲、乙都入选的概率P=上

4

3

故答案为：—

4.（2021高考天津・）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对

的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为二和9，且每次活动中

65

甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为,

3次活动中，甲至少获胜2次的概率为.

【答案】①.|2

542

【解析】：由题可得一次活动中，甲获胜的概率为二x一二二；

653

（¥1r八3220

则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为C；x±xl-F-=—.故答案为：£

5.（2020天津高考・）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为g和1.假定两球是否落入盒子互不影响，则

甲、乙两球都落入盒子的概率为;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.

【答案】（1）.7I⑵。；2

63

【解析】甲、乙两球落入盒子的概率分别为且两球是否落入盒子互不影响，

23

所以甲、乙都落入盒子概率为

236

甲、乙两球都不落入盒子的概率为（l-；）x（l-g）=g,

所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为［2.故答案为：I2

363

6.（2020江苏高考・）将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率

是_.

【答案】|

【解析】根据题意可得基本事件数总为6x6=36个.

点数和为5的基本事件有（1,4）,（4,1）,（2,3）,（3,2）共4个.

411

・•・出现向上的点数和为5的概率为「=去=§.故答案为：

7.（2019•上海・）某三位数密码锁，每位数字在0-9数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是.

5

【答案】三?7

100

【解析】法一：i=c：°c，c：=W（分子含义:选相同数字X选位置X选第三个数字）

103100

法二：p=i-%草l=w（分子含义：三位数字都相同十三位数字都不同）

103100

8.（2019•江苏・第6题）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学

中至少有1名女同学的概率是.

【答案】47

10

【解析】从5名学生中抽取2名学生，共有10种方法，其中不含女生的方法有3种，因此所求概率为

7

10

考点03随机事件分布列

1.（2020年浙江省高考数学试卷）一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回,

拿出红球即停，设拿出黄球的个数为则24=0）=;E/）=.

【答案】（1）.1（2）.1

【解析】：因为4=0对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，

所以P（4=0）=；+；xg=；,

随机变量4=0,1,2,

434324323

=2）=1----=-,所以E（4）=0X1+]X1+2X1=1.

-333-333

2.（2022年浙江省高考数学试题）现有7张卡片，分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随

机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为久则尸（4=2）=,E8=_________.

【答案】①.蓝，②.争呜

【解析】：从写有数字1223456的7张卡片中任取3张共有C；种取法，其中所抽取的卡片上的数字

6

C+Cc：J6

的最小值为2的取法有C"C；C：种，所以。(4=2)=

由已知可得4的取值有1,2,3,4,

Pe=l）=*=WPC=2）=M尸化=3）增=卷,尸抬=4）=白=2

hir』八.15-16_3.112兵公上/1612

所以E（g）=lx—+2x—+3x—+4x-=一，故答案为：一，一.

353535357357

3.(2019•全国I•理・)甲、乙西队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队嬴得四场胜利时，该队获胜，

决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的

概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率

是.

【答案】0.18

【解析】：因为甲队以4：1获胜，故一共进行5场比赛，巨第5场为甲胜，前面4场比赛甲输一场，

若第1场或第2场输1场，则6=C；x0.6x0.4x0.52x0.6=0.072,

若第3场或第4场输1场，则，=0.62xC\x().5x().5x().6=OJOS,

所以甲以4：