专题14、计数原理

专题14、计数原理

学校：姓名：班级：考号：

一、选择题

1.某校高三年级共有6个班,现在安排6名教师担任某次模拟考试的监考工作,每名教师监

考一个班级.在6名教师中，甲为具中2个班的任课教师,乙为剩F4个班中2个班的任课教

师,其余4名教师均不是这6个班的任课教师,那么监考教师都不担任自己所教班的监考工

作的概率为()

A.—B.—C.—D.—

15151515

答案：A

解析：对6名教师进行随机安排,共有4种安排方法.其中监考教师都不担任自己所教班的

监考工作时,先安排教师甲，若甲担任教师乙所教的两个班中的一个班的监考工作时,教师乙

有4种安排方法，其余4名教师可以任意安排，共有种安排方法;若甲担任甲和乙都

不教的两个班级中的一个班的监考工作时,教师乙有3种安排方法,其余4名教师可以任意

安排,共有C；C；A：种安排方法,因此监考教师都不担任自己所教的班级的监考工作的安排

1444\dA47

方法总数为C；C：A：+C；C；A：,故所求概率P=—=玉方=—.

2.某单位周一至周六要安排甲、乙、丙、丁四人值班，每人至少值一天班，则甲至少值两天

班的概率为()

A.一

B.

C.

52

9

D.

52

答案：A

解析：记甲值2天班为事件A,值3天班为事件B,每人至少值一天班记为事件Q.

厂3厂1「101厂2厂20101

必。)二班畤2匕•禺+43士羿一•阎=48()+1080=1560

A33

MA)=C；♦C；q0：・A；=540,相(8)=C；•。哼；A；=120

AfA

⑷+皿叽学」，故选A

P（A+B）=—

nz（Q）156026

3.某同学有7本不同的书.其中语文书2本、英语书2本、数学书3本，现在该同学把这7

本书放到书架上排成一排，要求2本语文书相邻、2本英语书相邻、3本数学书中任意2本

不相邻，则不同的排法种数为（）

A.12

答案：C

解析：先将2本语文书看成一个元素,2本英语书看成一个元素,然后排成一排,有和不

同的排法,再将3本数学书插到这2个元素形成的3个空隙中，有国种不同的排法,再排2

本语文书，有用种小同的排法,最后排2本英语书，有A；种不同的排法,根据分步乘法计数

原理，得共有=48种不同的排法，故选C。

4.一个停车场.5个琲成一排的空车位，现有2辆不同的车停进这个停车场，若停好后恰

有2个相邻的停车位空着，则不同的停车方法共有（）种

A.6B.12C.36D.72

答案：B

解析：由题意，若2辆不同的车相邻，则有=4种方法

若2辆不同的车不相邻，见利用插空法,2个相邻的停车位空着，利用捆绑法，所以有

综上，共有12种方法

所以B选项是正确的.

5.某种植基地将编号分别为1,2,3,4,5,6的六个不同品种的马铃薯种在如图所示的

ABCDEF

这六块实验田上进行对比试脸，要求这六块实验田分别种植不同品种的马铃薯，若种植时要

求编号1,3,5的三个品种的马铃薯中至少有两个相邻,且2号品种的马铃薯不能种植在

A、产这两块实验田上，则不同的种植方法有（）

A.360种B.432种C.456种I）.480种

答案：A

解析：由容斥原理,全排减去2站两端的,再减去，1,3,5不相邻,再加上2站两端且1,3,5

不相邻,所以N=360一类:恰两个相邻,选1,3,5中3个选两个排,再与另外4,6,排,最后插

入2,不插两端,方法数+&C：C+&&C；）=72,二类,三个相邻，1,3,5捆

绑在一起,再与4,5排,最后插入2,不插两端,方法数A；4；C；=360.考点:容斥原理,排列组

合问题。

6.2017年11月30日至12月2日，来自北京、上海、西安、郑州、青岛及凯里等七所联盟

学校（“全国理工联盟”）及凯里当地高中学校教师代表齐聚凯里某校举行联盟教研活动，在

数学同课异构活动中，7名数学教师各上一节公开课,教师甲不能上第三节课,教师乙不能上

第六节课,则7名教师上课的不同排法有种（）

A.5040B.1800C.3720D.4920

答案：c

解析：

7.(l+2V)(l+x)4的展开式中/的系数为()

A.12B.16C.20D.24

答案：A

解析：由题意得X3的系数为C：+2C：=4+8=12,故选A.

8.已知(1+X)")=斯+q(1—x)+生(1-X)-十…+4o(l-X)"'，则/=()

A.-180B.180C.45D.-45

答案：B

解析：

9(2x-3)，y的展开式中各项的二项式系数之和为()

A.-1B.1C.-512I).512

答案：D

解析：

10.已知(1+ar)(l+x)5的展开式中x2的系数为5,则。=()

A.-4B.-3C.-2D.-1

答案：D

解析：

11.在二项式(X2--］的展开式中，系数最大的项为()

IAJ

A.第五项B.第六项C.第七项D.第六项或第七项

答案：C

解析：依题意可知＜+1=。；1(一1)022-3，，()少411/62,二项式系数最大的是3与

C：；,所以系数最大的是T7=c；］,即第七项.

12.2”除以9的余数是()

A.lB.2C.4D.8

答案：D

解析：2"=(23『=⑻"=(9-1)“=%Y9)"X(—1)°+C；(9)“)X(—1)+

…c］。⑼，(寸。+＜北9)。'(一1『,

分析易得，其展开式中3°(9)晨(一1)°+。/(9)°〉(一1)人..。「。(9)，(一1广都可以被9

整除，

而最后一项为CJ(9)。x(T)"=T,

则233除以9的余数是8,

故选D.

二、填空题

13.用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数,则其中数字1,2相邻的偶数有

_____个.（用数字作答）

答案：24

解析：可以分情况讨论:①若末位数字为0,则1,2为一组，且可以交换位置，3,4各为1个

数字,共可以组成2•用=12（个）五位数;②若末位数字为2,则1与它相邻，其余3个数字

排列,且0不是首位数字,则有2•8=4（个）五位数;③若末位数字为4,则1,2为一组,且

可以交换位置，3,0各为1个数字，且0不是首位数字，则有2・（2=8（个）五位数，所

以全部合理的五位数共有24个.

14.已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡、若顾客甲只带了

现金，顾客乙只用支付宝或微信付款，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购

物后，恰好用了其中的三种结账方式，那么他们结账方式的可能情况有种.

答案：20

解析：当乙选择支付宝时，丙丁可以都选银联*或者其中一人选择银联木，另一人只能

选支付宝或现金，故有1+C；C；=5,而乙选择支付宝时，丙丁也可以都选微信，或者其

中一人选择微信，另一人只能选支付宝或现金，故有1+C；C；=5,此时共有5+5=10

种，

当乙选择微信时，丙丁可以都选银联卡，或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或

现金，故有1+C；C；=5,而乙选择微信时，丙丁也可以都选支付宝，或者其中一人选择

支付宝，另一人只能选微信或现金，故有1+C；C；=5,此时共有5+5=10种，

综上故有10+10=20种,

故答案为20.

15.若+｝）的展开式中x5的系数是-80,则实数。二

答案：-2

的展开式的通项为=G■伽2广二仁（如2广，

解析:

VX>

令10—』r=5,得厂=2,

2

所以C；/=-80,解得。二一2.

16（21一1）”展开式中二项式系数和为32,则（2/+x—1）"展开式中/的系数为

答案：-30

解析：由（2x—l）”展开式中二项式系数和为32,可得2n=32,解得几=5,

（2X2+X-1）5=（X+1）5（2X-1）5,

根据二项式定理可以求得（x+l）s的展开式中，

三次项、二次项、一次项系数和常数项分别是10,10,5,1,

（2x-l）s的展开式中，常数项及一次项、二次项、三次项的系数分别是T10,T0,80,

所以展开式中V项的系数为一10+100-200+80=-30.

三、解答题

17“渐升数”是指除最高数位上的数字外，其余每•个数字比其左边的数字大的1E整数（如

13456和35678都是五位“渐升数”）.

】.求五位“渐升数”的个数；

2.如果把所有的五位“渐升数”按照从小到大的顺序排列，求第120个五位“渐升数”

答案：1.126;2.36789

解析：1.根据题意，“逝升数”中不能有0.则在其他9个数字中任取5个,每种取法对应1

个“渐升数”，则共有C]=126个五位“渐升数〃

2.对于这些“渐升数”，1在首位的有Gt=70（个），2在首位的有07=35（个），3在首位的有

仁二15（个）.

因为70+35+15=120,所以第120个“渐升数”是首位为3的最大的五位“渐升数”.为

36789.

18.按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？

1.分成三份，1份1本，1份2本，1份3本.

2.甲、乙、丙三人中，一人得1本,一人得2本,一人得3本.

3.平均分成三份,每份2本.

4.平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本.

答案：L无序不均匀分组问题.先选1本有C：种选法，再从余下的5本中选2本有种选

法;最后余下的3本全选有C；种选法.故共有C：C；C；=60（种）选法.

2.有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同三人，在1题的基础上，还应考虑再分配，共

有=360.

3.无序均匀分组问题.先分三步，则应是种选法，但是这里出现了重复.不妨记六本

书为A,B,C,D,E,F,若第一步取了A8,第二步取了C。，第三步取了族，记该种分

法为（A8,CD,EF）,贝！种分法中还有

（A8,EF,CD）,（CD,AB,EF）,（CD,EF,AB）,（EF,CD,AB）,（EF,AB,

CO）,共有国种情况,而这A；种情况仅是48,CD,EF的顺序不同，因此只能作为一种

C泊C；

分法,故分配方式有=15.

4.有序均匀分组问题.在3题的基础上再分配给3个人,共有分配方式•父二90

（种）.

解析:

19.从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人，普通队员2人组成4人服务队

1.若要求服务队中至少有1名女生,共有多少种不同的选法.

2.若要求服务队中队长或副队长至少有1名女生,共有多少种不同的选法.

答案：1.解：C63GA2+C62c2242=660种

2.解：C63GAi外？4匕2儿2矽%㈤=种

解析：

65432

20.已知（3x-1），=a（）/+/x+a2x+a3x+a4x+a5x+abx+a7.

1.求。0+4+。2+。3++〃5+。6+%的值;

2.求|4|+1%|+1叼I+&I+16I+1%I+14I+1%I的值;

3.求4+6+。5+。7的值

+a+a=7

答案：1.令x=1得/+q+a2+。34s+4+%(3x1-1)，=2=128.

2.|恁|+|4|+|%|+&|+|4|+|6|+|4|+|%|即(3工+1)7展开式的各项系数和,

令x=l,可得

|%|+1q|+1%I+1%I-I4I+1%I+14I+1%1=(3x1+1)，=4,.

3.令小）=（3工-1）7,

则/(I)=4)+4+%+%+。4+%+〃6+%，

/(-1)=_4+4_—4+%―4+。79

••・2(q+%+6+%)=/⑴+八-1)=2,-47，

4+/+%+为=26-2"=-8

解析:

21.已知在的展开式中，第6项的系数与第4项的系数之比是6:1.

1.求展开式中x"的系数：

2.求展开式中系数绝对值最大的数：

3.求〃+9C：+81C：+…+9”-iC：的值.

答案：1.由C：（-2）5：C：（-2）3=6:ln〃=9

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