专项训练三 概率与统计（考点4 统计与概率的综合应用）(原卷版)

专项三概率与统计

考点4统计与概率的综合应用

大题拆解技巧

【母题】(2020年全国I卷)某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位:件)按标准分为

A.B,C,D四个等级.加工业务约定:对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90

元,50元,20元;对于D级品,厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接

加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分

厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如

下：

甲分厂产品等级的频数分布表

等级ABCD

频数40202020

乙分厂产品等级的频数分布表

等级ABCD

频数28173421

(I)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率.

(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据J.家应选哪个

分厂承接加工业务？

【拆解1】已知条件不变，分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率.

【拆解2］已知条件不变，分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润.

【拆解3】甲分厂加工100件产品的平均利润为15元/件,乙分厂加工100件产品的平均利润

为10元/件.以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?

小做变式训练

2021年是中国共产党成立100周年，中共中央要求我们要熟悉党史、学习党史.某社区为了解

居民对党史的认知情况，举行了一次党史知识竞赛，并从所有的居民竞赛试卷中随机抽取n份

试卷进行成绩分析，得到成绩频率分布直方图（如图所示）淇中成绩在［50,60）的试卷份数是24.

⑴求m,n的值；

⑵用分层抽样的方法在成绩为［80,9（））和［90［00］这两组中共抽取5份试卷，并从这5份试卷中

任取2份试卷的居民进行点评，求成绩在190/00］恰有1份试卷的概率.

【拆解1］已知条件不变，求m,n的值.

【拆解2］已知条件不变，且1】『0.03,11二200,用分层抽样的方法在成绩为［80,90）和［90,100：这两

组中共抽取5份试卷，则成绩在网）,90）和［90,100］这两组中应分别抽取多少份试卷？

【拆解3】用分层抽样的方法在成绩为［80,90）和［90,100］这两组中分别抽取3份试卷和2份

试卷.并从这5份试卷中任取2份试卷的居民进行点评.求成绩在［90.100］恰有1份试卷的概率.

通法技巧归纳

1.计算古典概型事件的概率可分三步：(1)计算基本事件总个数n;(2)计算事件A所包含的基本

事件的个数m;⑶代入公式求出概率.

2.求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的知识转化为事件，然后利用古典概型的有关知识

解决，一般步骤：(1)将题目条件中的相关知识转化为事件;(2)判断事件是否为古典概型;(3)选

用合适的方法确定基本事件个数;(4)代入古典概型的概率公式求解.

突破实战训练

〈基础过关,

1.党的十八大以来，习近平总书记在不同场合多次强调要“厉行节约，反对浪费”，耍加大

宣传引导力度，大力弘扬中华民族勤俭节约的优秀传统.某自助餐厅为响应号召，通过就餐

人员用餐后的剩余食物情况进行调查后并采取适当的奖惩政策.

(1)现有5人用餐，互相之间都不认识.若这5人中有3男2女，从这5人中任取2人,求恰有1

男1女的概率.

(2)若每人每次用餐需68元，用餐后若无剩余食物,则返回5元奖励;若剩余在0克到50克之间,

则不奖不罚;若剩余在50克到100克之间，则罚10元;若剩余在100克以上，则罚20元.近期调

查200位来就餐人员，统计结果如下表：

食物剩

无剩余(0.50](50,100]100克以上

余量(克)

人数1801262

将频率当作概率，求某人来就餐消费的总费用的平均值.

2.2021年3月5日,人社部和全国两会政府乍报告中针对延迟退休给出了最新消息，人社部

表示正在研究延迟退休改革方案,两会上指出十四五期间要逐步延迟法定退休年龄.现对某市

工薪阶层关于延迟退休政策的态度进行调查，随机调查了50人,他们月收入的频数分布及对

延迟退休政策赞成的人数如下表：

月收入(单[15,[25,[35,[45,[55,[65,

位:百元)25)35)45)55)65)75|

频数510151055

赞成人数123534

(1)根据所给数据，完成下面的2x2列联表，并根据列联表，判断是否有99%的把握认为“月收入

以55百元为分界点”对延迟退休政策的态度有差异；

月收入高于月收入低

合计

55百元的人数于55百元的人数口

落成

不赞成

合计

(2)若采用分层抽样从月收入在［25,35)和［65,75］的被调查人中选取6人进行跟踪调杳,并随机

给其中3人发放奖励,求获得奖励的3人中至少有1人月收入在［65,75)的概率.

参考公式:KJ——幽吧----,其中n=a+b+c+d.

(a+bXc+dXa+ci(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

3.第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月在中国北京举行.为迎接此次冬奥会，北京市

组织大学生开展冬奥会志愿者的培训活动，并在培训结束后统一进行了一次考核.为了了解本

次培训活动的效果，从A,B两所大学随机各抽取10名学生的考核成绩,并作出如图所示的茎

叶图.

破

6

897

58

9

(I)计算A,B两所大学学生的考核成绩的平均值；

(2)由茎叶图判断A,B两所大学学生考核成绩的稳定性;(不用计算)

(3)将学生的考核成绩分为两个等级，如表所示，现从样本考核等级为优秀的学生中任取2人,

求2人来自同一所大学的概率.

考核成绩[60,85][86,100]

考核等级合格优秀

4.某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时,

可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，若备件不足再购买，则每个500

元,现需决策在购买机器时应同时购买儿个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三

年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替I台机器更换的易损零件数发生的概率.记X

表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.

⑴从这100台机器中随机抽取1台，求该台机器两年内更换的易损零件数为8的概率；

⑵求X的分布列；

⑶以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n=18与n=19之中选其一,应选用哪个？

〈能力拔高〉

5.有甲、乙两家公司都需要招聘求职者，这两家公司的聘用信息如卜.:

甲公司乙公司

职位ABCD职位ABCD

月薪/千元5678月薪/千元46810

获得相获得相

应职位0.40.30.20.1应职位0.40.30.20.1

的概率的概率

(I)若两人分别去应聘甲、乙两家公司的C职位(一人只应聘一家公司).记这两人被甲、乙两

家公司录用的人数和为n,求n的分布列.

(2)根据甲、乙两家公司的聘用信息，如果你是求职者，你会选择哪一家公司？说明理由.

(3)若小王和小李分别被甲、乙两家公司录用，求小王月薪高于小李的概率.

6.已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为32,48,32.现采用分层抽样的方法从中抽

取7人，进行睡眠时间的调查.

(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？

(2)若抽出的7人中有3人睡眠不足,4人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进步的身

体检查.

①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的数学期望和方差；

②设事件A为“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的

概率.

〈拓展延伸〉

7.为了了解某小区业主与物业满意度情况之间的关系，某兴趣小组按性别采用分层抽样的方

法，从全小区中抽取容量为200的样本进行调查.被抽中的居民分别对物业服务进行评分、满分

为100分.调查结果显示:最低分为40分，最高分为90分.随后，兴趣小组将男、女居民的评分

结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率分布直方图，图表如下：

男居民评分结果的频数分布表

分数区间频数

[40,50)3

[50.60)3

[60,70)16

[70.80)38

[80.90]20

女居民评分结果的频率分布直方图

为了便于研究，兴趣小组将居民对物业服务的评分转换成了“满意度情况”，二者的对应关系如

下：

分数[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90]