中考数学重难点专题题位训练及押题预测专题39中考最值难点突破阿氏圆问题(原卷版+解析)

专题39中考最值难点突破阿氏圆问题（原卷版）

模块一典例剖析+针对训练

类型一求和最小

典例1（2023秋•山西期木）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.

已知平面上两点力、B,则所有符合二（〃>0且左W1）的点尸会组成一个圆.这个结论最先由古希

睹数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆.

阿氏圆基本解法：构造三角形用似.

【问题】如图1,在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C（加，0）,Q（0,〃），点。是平面内

OP

一动点，且。尸=「，设二7二%，求PC+幼。的最小值.

OD

）

阿波罗尼斯

图1图2

阿氏圆的关键解题步骤：

第一步：如图1,在。。上取点"，使得OM：OP=OPzOD=kx

第二步：证明第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值.

下面是该题的解答过程（部分）：

解：在0。上取点M,使得OM：OP=OP：OD=k,

又•・•4POD=/MOP,・•・△POMs△力。尸.

任务：

（1）将以上解答过程补充完整.

（2）如图2,在RtZ\/15。中，N/CB=90",力C=4,4c=3,D为△4BC内一动点,满足8=2,利

用（1）中的结论，请直接写出力。+q8。的最小值.

针对训练

1.如图，在RtaXBC中，ZJCJ5=90°,CB=4,CA=6,。。半径为2,尸为圆上一动点，连接/IP,BP,

求月的最小值.

2.如图，在平面直角坐标系xO），中，A（6,-1）,M（4,4）,以M为圆心，2a为半径画圆，。为原点,

P是OM上一动点，则P0+2处的最小值为.

3.（2023•碑林区校级三模）问题卷出：（1）如图1,在。中，/44=4C,4。是HC边上的中线，请用

尺规作图做出川？边上的中线CE,并证明BD=CE：

问题探究：（2）如图2,已知点P是边长为6的正方形/BCD内部一动点，%=3,求尸C+，V）的最小

值；

问题解决：（3）如图3,在矩形48C。中，48=18,BC=25,点M是矩形内部一动点，M4=15,当

最小时，画出点M的位置，并求出的最小值.

图1图2图3

类型二求差最大

典例2（2023秋•天宁区校级月考）如图，已知菱形48CQ的边长为8,ZB=60°,圆8的半径为4,点

P是圆B上的一个动点，则PD-^PC的最大值为.

1.（2023•常熟市二模）如图，己知正方形力4C。的边长为4,04的半径为2,点夕是。4上的一个动点,

则PD-\PC的最大值为.

2.（2023•商河县校级模拟）（1）初步思考：

1

如图1,在△PCA中，已知必=2,BC=4,N为BC上一点、艮BN=1,试证明：PN=针

（2）问题提出：

如图2,已知正方形力4CQ的边长为4,圆。的半径为2,点P是圆8上的一个动点，求尸D+2尸。的最

小值.

（3）推广运用：

如图3,已知菱形ABCD的边长为4,N8=60°,圆B的半径为2,点尸是圆8上的一个动点，求PD-^PC

的最大值.

类型三综合应用

典例3（2023•成华区校级模拟）如图1,抛物线歹=〃?«-3〃d+〃（〃?#0）与x轴交于点C（-1,0）与歹

轴交于点8（0,3）,在线段。力上有一动点E（不与0、4重合），过点E作x轴的垂线交直线48于点

M交抛物线于点P,过点P作于点M.

（I）分别求出抛物线和直线的函数表达式；

（2）设△PMN的面积为Si,△花V的面积为S2,当自=||时，求点尸的坐标：

（3）如图2,在（2）的条件下，将线段OE绕点。逆时针旋转的到。夕，旋转角为a（（）。<a<90°）,

连接£'A.E'B,求£力+钮8的最小值.

针对训练

1.(2023•九龙坡区校级模拟)在△ABC中，ZCAB=90a,AC=AB.若点、D为AC上一点,连接8。，将

BO绕点8顺时针旋转90°得到8E,连接CE,交48于点E

04图3

(1)如图1,若NABE=75°,BD=4,求＞C的长;

(2)如图2,点G为8c的中点，连接产G交8。于点儿若/4BD=30°,猜想线段OC与线段“G

的数量关系，并写出证明过程；

(3)如图3,若月8=4,。为4C的中点，将△力8。绕点〃旋转得BD',连接"C、A'D,当

A'。+芋/'。最小时，求S44%.

2.（2023•高唐县二模）如图，抛物线y=-d+方什。经过点月（,4,-4）,B（0,4）,直线/。的解析式为

v=-1x-6,且与y轴相交于点C,若点E是直线相上的一个动点，过点£作E/LLx轴交力C于点立

（1）求抛物线》=-x2+bx+e的解析式；

（2）点〃是y轴上一动点，连接七〃，HF,当点E运动到什么位置时，四边形及4F”是矩形？求出此

时点E,〃的坐标；

（3）在（2）的前提下，以点E为圆心，£7/长为半径作圆，点”为。£t上以动点，求31M+CM的最小

2

值.

模块二2023中考押题预测

1.（2023秋•西峡县期末）如图，在中，ZJ=90°,AB=AC=4,点E、/分别是边/8、4C的中

1

点，点尸是以4为圆心、以4E为半径的圆弧上的动点，则3P8+PC的最小值等于（）

A.4B.3V2C.V17D.V15

2.（2023秋•永嘉县期末）如图所示，ZACB=60°,半径为2的圆O内切于N4C8.0为圆。上一动点,

过点P作PM、PN分别垂直于/ZC8的两边，垂足为M、N,则PM+2PN的取值范围为.

3.（2023秋•龙凤区期末）如图，在RtZ\/18。中，ZC=90°,力。=9,8c=4,以点。为圆心，3为半径

做。C，分别交/C,8C于。，上两点，点P是。C上一个动点，则：以+尸8的最小值为.

4.（2023春•长顺县月考）如图，在Rt△力8C中，N4C8=90°,AC=6,BC=8,D、E分别是边8C、AC

上的两个动点，且。£=4,。是。E的中点，连接以，PB,则%的最小值为.

5.（2023秋•梁溪区校级期中）如图，。。与y轴、x轴的正半轴分别相交于点河、点N,。。半径为3,

点4（0,1）,点8（2,0）,点尸在弧MN上移动，连接玄，尸8,则3PA+PB的最小值为.

Ay

6.（2023•武汉模拟）【新知探究】新定义：平面内两定点4B,所有满足二二左（左为定值）的尸点形成

PB

的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”

【问题解决】如图，在△48C中，CB=4,AB=2AC,则△49C面积的最大值为.

7.（2023•深阳市一模）如图，在。。中，点4、点B在。。上,N4OB=90°,04=6,点C在O力上，

且OC=2AC,点。是OB的中点，点M是劣弧AB上的动点，则CM+2DM的最小值

为.

8.如图，正方形/出8的边长为4,E为AC的中点，以8为圆心，A£1为半径作0",点尸是0〃上一•动

点，连接P。、PC,则PQ+）C的最小值为.

9.如图，扇形力08中，/力。8=90°,OA=6,C是。力的中点，。是。8上一点，00=5,P是布上一

动点，则的最小值为.

10.如图所示的平面直角坐标系中，力（0,4）,B（4,0）,〃是第一象限内一动点，。0=2,连接力P、BP,

则g尸+，P的最小值是___________________.

4

11.如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O,P为圆0上一动点，则代以+心的最小值

第11题第12题

12.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点。，A,8均在格点上，点E在。1上，且

点E也在格点上.

0E

（/）不；的值为；

0B---------------------

（1【）踮是以点。为圆心，2为半径的一段圆弧.在如图所示的网格中，将线段OE绕点。逆时针旋转

得到。E',旋转角为a（0°<a<90°）连接£4,EB,当£4+擀/8的值最小时，请用无刻度的直尺

画出点E',并简要说明点E*的位置是如何找到的（不要求证明）.

13.（2023秋•定海区期末）如图1,正方形。力8c边长是2,以为半径作圆，P为弧力。二的一点，过

点P作尸MJL48交于点M，连结改人PA,设PA=n.

（1）求证：NPOA=2NR4M；

（2）探求小、〃的数量关系，并求〃-〃?最大值；

（3）如图2：连结心，设尸8=力，求企4+2〃?的最小值.

14.（2023•从化区一模）已知，是。。的直径，AB=472,AC=BC.

（1）求弦8C的长;

（2）若点。是48下方。。上的动点（不与点48重合），以CO为边，作正方形CDEF,如图1所示,

若〃是。尸的中点，N是8c的中点，求证：线段MN的长为定值;

（3）如图2,点P是动点，且/。=2,连接CP,PB,一动点。从点。出发，以每秒2个单位的速度沿

线段C尸匀速运动到点P，再以每秒1个单位的速度沿线段尸8匀速运动到点从到达点5后停止运动,

求点Q的运动时间/的最小值.

0

B

E

图1图2

15.(2023•沙坪坝区校级模拟)如图1,在四边形44c。中，AC交BD于点、E,△力。£为等边三角形.

(1)若点E为8。的中点，AD=4,CD=5,求△8C£的面积；

(2)如图2,若BC=CD,点F为CD的中点、,求证：AB=2AFx

(3)如图3,若ABUCD,/8%。=90°,点尸为四边形力BCO内一点，且N/PZ)=90°,连接8P,

取40的中点。，连接C。.当力4=6&，力。=4vLtan/43c=2时，求CQ+碧的最小值.

」，A

专题39中考最值难点突破阿氏圆问题（解析版）

模块一典例剖析+针对训练

【模型简介】

在圆上找一点P使得以+"-PB的值最小.

求Pl+kPB的最小值，R4+kPB=R4+PC2AC，当4，P，C三点共线时，最小值为力。

典例1（2023秋•山西期末）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.

已知平面上两点力、B,则所有符合一二k（k>0且kWl）的点P会组成一个圆.这个

PB

结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆.

阿氏圆基本解法：构造三角形相似.

【问题】如图I,在平面直角坐标系中，在x轴，歹轴上分别有点C（w,0）,D（0,〃），

OP

点尸是平面内一动点，且OP=〃，设芯=%，求PC+b。的最小值.

4

阿波罗尼斯

图1图2

阿氏圆的关键解题步骤：

第一步：如图1,在OD上取点"，使得OM：。尸=。?：OD=k；

第二步：证明A7O=PM；第三步：连接CM,此时CA/即为所求的最小值.

卜面是该题的解答过程（部分）：

解：在0。上取点使得。W：OP=OPxOD=k,

又•・•ZPOD=4MOP,・•・△POMSADOP.

任务：

（1）将以上解答过程补充完整.

(2)如图2,在Rt/XIBC中，N力C8=90°,AC=4,BC=3,。为△力8c内一动点,

满足。。=2,利用（1）中的结论，请直接写出力。+刍弘）的最小值.

思路引领：（1）在。。上取点M,使得OM：OP=OP：OD=k,利用相似三角形的性质

以及两点之间线段最短解决问题即可.

（2）利用⑴中结论计算即可.

解（1）在。。上取点使得OM：OP=OP：OD=k,

又Y々POD=UMOP,

:.丛POMs丛DOP.

:.MP：PD=k,

:.MP=kPD,

：・PC+kPD=PC+MP,当PC+幼。取最小值时，PC+MP有最小值，即C,P,M三点共

线时有最小值，

利用勾股定理得CM=>JOC2+OM2=y/m2+（/cr）2=Vm2+k2r2.

CD294

(2),：AC=m=4—=在C5上取一点M,使得CM=算。=.

fBC3JJ

图2

：-AD+如的最小值为心+砂=警.

总结提升：本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，两点

之间线段最短等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考

常考题型.

针对训练

I.如图，在Rt△48c中，/力。=90°,CB=4,04=6,。。半径为2,2为圆上一动点，

连接力P,BP,求力P+tBP的最小值.

CDCP1

思路引领：连接CP，在C8上取点。，使。。=1，连接。尸、AD,则有二；；=二二二,

CPCB2

PD1I

以此可证明即可得到一=-AP+^BP=AP+PD,以此可推出当点4、

BP2f&

P、。在同一条直线上时，力尸的最小值为的长，再根据勾股定理即可求解.

解：连接CP,在。8上取点力，使CZ)=l,连接。尸、AD,

CDCP1

则有了=

CB-2

•・•4PCD=/BCP,

:•△PCDs^BCP,

PD1

••,

BP2

・・・PD=轲,

:・AP+3BP=AP+PD,

耍便力最小，只要力P+尸。最小，

当点力、P、。在同一条直线上时，4P+PD最小,

即AP+^BP的最小值为AD的长，

在中，CD=1,AC=6,

：,AD=y/AC2+CD2=V37.

的最小值为后.

总结提升：本题主要考查相似三角形的判定与性质、勾股定理，根据题意分析出点《P、

D在同一条直线上时，AP+\BP的最小值为AD的长是解题关键.

2.如图，在平面直角坐标系xQy中，A(6,-I),M(4,4),以例为圆心，2a为半径

画圆，。为原点，P是。河上一动点，则。。~2%的最小值为10.

思路引领：连接。在。“上截取MV,使得MN=&,连接PMAN.证明△PMNs

PNMN111

△OMP,推出一=—=一,推出推出OP+2OA=2(-OP+R4)=2(PN+PA),

OPMP222

再根据尸N+%2/N,求出可得结论.

解：连接OM,在OM上截取使得连接PMAN.

*：M(4,4),

OM—V424-42=4在，

-：PM=2yf2,MN=yf2,

:.P留=MN・MO,

PMMO

"MN~PM'

*.*4PMN=/OMP,

:.XPMNSROMP,

.PNMN1

OP~MP~2

:・PN=3P,

•・・N(3,3),A(6,-1),

:・AN=A/32+42=5,

1

：.OP+2OA=2C-OP+PA)=2(PN+PA),

2

■:PN+P心AN,

:.PN+P心5,

•••OP+2O4210,

：,OP+2OA的最小值为10,

故答案为：10.

总结提升：本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添

加常用辅助线，构造柱似三角形解决问题，属于中考压轴题.

3.（2023•碑林区校级三模）问题提出：（1）如图1,在△/8C中，AB=AC,BD是4c边

问题探究；（2）如图2,已知点〃是边长为6的正方形/5CD内部一动点，以=3,求

PC+^PD的最小值；

问题解决：（3）如图3,在矩形48。中，"=18,8C=25,点M是矩形内部一动点,

M4=15,当MC+菰〃）最小时，画出点”的位置，并求出MC+春WO的最小值.

思路引领：（1）如图I中，作线段48的垂直平分线MN交48于点E,连接EC.线段

EC即为所求，再根据SAS证明△AWgaOE即可解决问题：

□PEPA

（2）如图2中，在上截取/化，使得.首先证明△乃推出高=—=

2DPAD

可得P*PD,推出PC+9Q=PC+P£,利用三角形的三边关系即可解决问题；

222

（3）如图3中，如图2中，在力。上截取4E,使得力E=9.由△.历力“，推出

EMMA153oq

---=----=—=-＞可得ME-^MD,推出MC+F/WZ）=MC+ME,利用三角形的三边

MDAD25555

关系即可解决问题；

解：（1）如图1中，作线段力4的垂直平分线MN交4?于点E,连接EC.线段EC即为

•：AR=AC,AF=F.C,AD=CD.

•»AE=ADt

*：AB=AC,ZA=ZA,AD=AE,

:•△BAgACAE(SAS),

:.BD=CE.

(2)如图2中，在力。上截取力E,使得AE=1.

,・・•=9,J£*JD=1x6=9,

：.PA2=AE*AD,

PA4E

=一，•.*^PAE=ND4P,

ADPA

:./XPAESADAP、

PEPA1

•t•--9

DPAD2

：.PE=^PD,

・・.PC+gPD=PC+PE,

♦；PC+PE2EC,

；・PC+的最小值为EC的长,

在RtZXCOE中，•；NCDE=90°,CD=6,DE=

:・EC=J62+(芬=字

..・〃C+；尸。的最小值为3.

(3)如图3中，在40上截取力七，使得力E=9.

AD

图3

VMJ2=225,AE*AD=9X25=225,

.\MA2=AE*AE,

,MAAE

''AD-MA

•・•AMAE=ZDAM,

:.AMAEsADAM,

tEMMA153

MD~AD~2S~5f

:.ME=1A/£）,

3

，MC+^MD=MC+ME,

J

•；MC+ME2EC,

•••MC+瓢。的最小值为EC的长，此时点M在线段EC上（如图"）.

J

在Rt^CQE中，ZCDE=90°,CD=18,DE=16,

：,EC=V162+182=27145,

：.MC+^MD的最小值为2ms.

总结提升：本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的

判定和性质，相似三隹形的判定和性质，一:角形的三边关系，最短问题等知识，解题的

关键是运用数形结合的思想解决问题，添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，用

转化的思想思考问题，属于中考压轴题.

类型二求差最大

典例2（2023秋•天宁区校级月考）如图，已知菱形48co的边长为8,N8=60°,圆8

的半径为4,点F是圆4上的一个动点，则尸。一;PC的最大值为，历

4__________D

B

思路引领：连接〃8,在8C上取一点G,使得8G=2,连接尸G,DG,过点。作

BC交BC的延长线于H.利用相似三角形的性质证明PG=%C,再根据PD-/C=PD

-PG&DG,求出QG,可得结论.

解：连接尸8,在二取一点G,使得BG=2,连接PG,DG,过点。作。H_L8C交

8c的延长线于

・"4=4,8G=2,BC=8,

：・PB2=BG・BC,

PBBC

•••=__9

BGPB

■:/PBG=NCBP,

:.△PBGs^CBP,

PGPB1

••,

PCBC2

:・PG="C,

•・•四边形/8CQ是菱形，

:,AB〃CD,AB=CD=BC=8,

：,ZDCH=ZABC=6^,

在RtZ\CQ“中，C〃=CO・cos600=4,O"=CO・sin600=4百,

GH=CG+CH=6+4=10,

：.DG=y/GH2+DH2=J102+(4V3)2=2V37»

♦:PD-、PC=PD-PGWDG,

APZ)-1PC<2V37,

；.PQ-*C的最大值为2V37.

总结提升：本题考查阿氏圆问题，菱形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性

质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填

空题中的压轴题.

针对训练

1.(2023•常熟市二模)如图，已知正方形的边长为4,。4的半径为2,点、P是OB

上的一个动点，则尸的最大值为5

11

思路引领：由PD-^PC=PD-PGWDG,当点尸在。G的延长线上时，PD-^PC的值

最大，最大值为。G=5.

解：在8C上取一点G,使得8G=1,如图，

BGPB

'：/PBG=NPBC,

・•・△尸4Gs△C8尸,

*PGBG1

••--9

PCPB2

1

:・PG=专PC,

当点P在OG的延长线上时，的值最大，最大值为QG=G42+32=5.

故答案为：5

总结提升：本题考查圆综合题、正方形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题

的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，把问题转化为两

点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题.

2.（2023•商河县校级模拟）⑴初步思考:

如图1,在△尸C8中，已知产8=2,BC=4,N为BC二一点、口BN=\,试证明：PN=&PC

（2）问题提出：

如图2,已知正方形力8CQ的边长为4,圆8的半径为2,点尸是圆8上的一个动点，求

PD+/c的最小值.

（3）推广运用：

如图3,已知菱形48CQ的边长为4,NB=60°,圆A的半径为2,点尸是圆〃上的一

个动点，求PD-IPC的最大

思路引领：（1）通过相似二角形△8PNS/X8CP的性质证得结论；

PGBG1

（2）如图2中，在8。上取一点G,使得BG=1.由△PBGS/KCBP,推出一=—二一,

PCPB2

推出PG=杆1C,推出1PD+3PC=DP+PG,由DP+PG'DG,当。、G、尸共线时，PD+^1PC

的值最小，最小值为Z）G=,42+32=5.由PD-*PC=PD-PGWDG；

（3）如图3中，在8C上取一点G,使得8G=1,作。尸_L8C于凡解法类似（2）；

（1）证明：如图1,

图1

•:PB=2,8c=4,BN=1,

:.P中=4,BN・BC=4.

:・P^=BN・BC.

.BNBP

•'BP_BC

又：NB=NB,

:•△BPNS^BCP.

PNBN1

''PC~BP~2

：.PN=|PC;

（2）如图2,在4c上取一点G,使得8G=1,

图2

PB2,BC4p

'而=2=2

PF_FC

Z.PBG=乙PBC

•'•△PBGCBP

PGBG1

‘定=丽=2

•••PG=PC

1

PD+^PC=DP+PG

•••DP+PG>DG

:.当D、P.G共线时,PD+三PC的值最小,

最小值为DG=山2+32=5

（3）同（2）中证法，如图3,

图3

当点P在OG的延长线上时，尸。的最大值，最大值为

总结提升：本题考查圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定和性质、

两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会构建相似三角形解决问题，学会用转化的

思想思考问题，把问题转化为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题.

类型三综合应用

典例3（（2023•成华区校级模拟）如图1,抛物线y=〃?7-3mr+〃（/〃W0）与x轴交于点C

（-1,0）与歹轴交于点8（0,3）,在线段0力上有一动点上（不与0、力重合），过点

上作x轴的垂线交直线力〃于点M交抛物线于点P,过点尸作尸历_1_45于点M.

（1）分别求出抛物线和直线的函数表达式；

（2）设△PMN的面枳为Si,△力EN的面积为S2,当衿II时，求点尸的坐标；

（3）如图2,在（2）的条件下，将线段OE绕点。逆时针旋转的到。&,旋转角为a

7

(0°<a<90°),连接£'A.E'B,求£4+犯8的最小值.

思路引领：(I)令y=0,求出抛物线与x轴交点，列出方程即可求出。，根据待定系数

法可以确定直线48解析式.

PN6

(2)由MNMsAANE,推出一=列出方程即可解决问题.

AN5

(3)在y轴上取一点“使得OM'=*构造相似三角形，可以证明4"'就是夕A+lE

8的最小值.

解：(1)•・•抛物线)，=〃储-3加什〃(加W0)与x轴交于点C(-1,0)与y轴交于点8

(0,3),

<3

-

——m--4

则有『_Un，解得——n-3

I

J抛物线y=-^2+7^+3,

令y=(),得到—41~+干+3=(),

解得：x=4或-1,

(4,0),B(0,3),

设直线AB解析式为则=0

解得k=/

U=3

:.直线AB解析式为y=-衿3.

329

-w+-

(2)如图1中，设P(〃】,44则£(〃i,0),

PE1OA,

:.NPMN=/AEN,

■:/PNM=NANE,

:•丛PNMsRANE,

SI36

的面积为Si,△4EW的面积为S2,y-=—,

S225

•PN6

••=_，

AN5

YNE//OB,

ANAE

••=,

ABOA

:・AN=4(4-〃])，

•・•抛物线解析式为产-p+1x+3,

33

--

442+3所,

3

--7n2+3m6

••c=二,

-(4-m)5

解得〃z=2或4(舍弃).

:.m=2,

9

:・P(2,-).

4

-

（3）如图2中，在y轴上取一点使得OM'3连接4W,在4以上取一点E'

使得OE'=OE.

图2

4

,：0E'=2,OM'・O8=?x3=4,

KJ

：，OE'2=。必'・O&

•g_0B

・・OM，-OE，'

VABOE'=N”OE',

OE's△尽OB,

.M，Ei_OEf__2

••BE，-OB―3’

・•."E'=^BE',

：.AE'+\BE'=AE'+EfM',此时被+专BE，最小（两点间线段最短，力、

、E'共线时），

最小值=4/=心+焉）2=警.

总结提升：本题属于二次函数综合题，考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值

问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段4W'就是£A+h'8的最小

值，属于中考压轴题

针对训练

1.（2023•九龙坡区校级模拟）在△/8C中，ZCAB=90°,AC=AB.若点。为4C上一点,

连接8。，将8。绕点B顺时针旋转90°得到8£,连接C£,交48于点?

B

D

图2图3

(1)如图1,若N4BE=75°,BD=4,求力C的长;

（2）如图2,点G为BC•的中点，连接尸G交/。于点若乙48。=30°,猜想线段

。。与线段“G的数量关系，并写出证明过程;

（3）如图3,若/必=4,。为力。的中点，将△力8。绕点4旋转得△//40',连接力'

C、HD,当力'D+^-A'。最小时，求S△⑷8C.

思路引领：（1）通过作辅助线，构造直角三角形，借助解直角三角形求得线段的长度;

（2）通过作辅助线，构造全等三角形，设力C=m利用中位线定理，解直角三角形，用

〃的代数式表示和即可得CO与"G的数量关系:

（3）构造阿氏圆模型，利用两点之间线段最短，确定A'（4）的位置，继而求得相关三

角形的面积.

解：（1）过。作。G_L8C,垂足是G,如图1：

•・•将BD绕点5顺时针旋转90°得到BE,

：・NEBD=90°,

VZABE=75°,

AZABD=15°,

VZABC=45°,

:./DBC=30°，

，在直角△8QG中有0G=/。=2,BG=V3DG=273,

VZACB=45°,

・•・在直角△OCG中，CG=DG=2,

：.BC=BG+CG=2+2V3,

：.AC=当BC=V2+V6：

（2）线段。C与线段？/G的数量关系为：HG=*CD,

证明：延长。，过E作EN垂直于C/1的延长线，垂足是N,连接8N,ED,过G作GM

_L48于M,如图：

由旋转可知/£?。=90°,

:.NEDB=45°

：・NEND=NEBD=90°,

・・.E,B,D,N四点共圆，

：.ZBNE=ZEDB=45°,ZNEB+ZBDN=\SOa

•；NBDC+NBDN=180°,NBCD=45°,

J/BEN=ZBDC,

:・NBNE=45°=ZBCD,

在和△6。。中，

NBNE=乙BCD

乙BEN=乙BDC,

BE=BA

:.△BENWABDC(AAS),

:.BN=BC,

•••/A4c=90°,

在等腰△8NC中，由三线合一可知84是CN的中线,

'：4BAC=4END=9Q°,

:・EN〃AB,

•・Z是CW的中点，

・•・尸是EC的中点,

•「G是8c的中点，

・"G是△8EC的中位线，

:.FG"BE,FG-^BE.

■:BELBD,

：・FG工BD,

VZABD=30°,

:・NBFG=60°,

VZABC=45°,

:・/BGF="0,

设/C=m贝I」

在RtZ\48。中，AD=^-a,BD=BE=^a,

:・FG=%E,

•73

・•FG=-ya,

•••△8GM是等腰三角形，

:,MG=MB=^BG=^x15C=^x1x41AC=

在RlZXMFG中，ZMFG=60°,

/.6MF=MG,

:.MF=?a,

6

・・

•BF=BM+MF=6Q,

在KIZXHPH中，NAAG=6。。，

♦匚口1DC.3+一

・・FH=qBF=~12a,

：.HG=FG-产〃=*Q--1)Q,

又,：CD=Q-苧Q=苧(V5-l)a>

CD4

,元=行

:・HG=^CD；

(3)设fflBC=V2a,取8。的中点N,连接HD,A'C,ArN,连接。M

如图3,

ArBBCr

：.—=—=V2,

BNA/B

又/A'BN=NCBN,

•••△HBNs^CBA',

.AfN__A>B__V2

•■,

ArCBC2

：・AN=号AC,

根据旋转和两点之间线段最短可知，ND+^/l'C最小，即是4D+4N最小，此时。、4、

N共线，即4在线段QN上，

设此时4落在4”处，过此作4"产J_N8于尸,连接4T,如图4,

图4

VD,N分别是4C,8c的中点,

JON是△48。的中位线，

:・DN〃AB,

*：ABLAC,

:・DN1AC,

V=ZA'TA=ZAHDA=9O0,

・•・四边形力”孙。是矩形，

：.AF=A''D,A''F=AD=2,

•:又A”B=AB=4,

设AF=x,

在直角三角形4F8中，产+8产，

.*.42=22+(4-x)2,

解得X=4—2V5.

・••此时SM”BC=SMBC-SWB-S^A''AC=^AB-AC-^AB-A''F-iJC•A''D=ix4X

乙乙乙乙

4-1x4X2-1x4X(4-2\/3)=4K-4.

总结提升：此题主要考查全等三角形判定，等腰三角形的三线合一，解直角三角形，四

点共圆，几何最值的阿氏圆模型等知识，综合性强，难度较大，属于压轴题，解得关键

是作辅助线，构造全等三角形和相似三角形解决问题.

2.(2023•高唐县二模)如图，抛物线y=-/+反+。经过点力(-4,-4),B(0,4),直

线4C的解析式为歹=-6,且与y轴相交于点C,若点£是直线上的一个动点，

过点E作EFVx轴交AC于点F.

(1)求抛物线^=-xT+bx+c的解析式；

(2)点，是)，轴上一动点，连接£77,HF,当点E运动到什么位置时，四边形以尸，

是矩形？求出此时点反〃的坐标：

(3)在(2)的前提下，以点E为圆心,£7/长为半径作圆，点〃为0E上以动点,求1M+CM

的最小值.

思路引领：（1）直接利用待定系数法求解即可；

（2）先利用待定系数法求出直线力4的解析式，可判断出力〃_1_力。，当四边形口尸〃是

平行四边形时，四边形膜尸〃是矩形，分别点£、H、产的坐标，再利用中点坐标公式求

解即可；

（3）先取EG的中点P,进而判断出△PEMS/XM"，即可得出PM=连接CP

交OE于点、M,再求出点P坐标，即可得出结论.

解：（1）将点彳（-4,-4）,B（0,4）代入y=-+bx+c得：

f-16一4b+c=-4

tc=4

解得：F=；2,

lc=4

工抛物线解析式为：尸-x2-2v+4；

（2）如图，当点E运动到（・2,0）时，四边形E/1PH是矩形，

设直线AB的解析式为卜=履+从

将点4(-4,-4),B(0,4)代入得:

(—4k+b=-4

tb=4

解得：］£=：，

3=4

・••线48的解析式为》=2》十4,

•・•直线AC的解析式为)，=-Av-6,

：.ABLAC.

・••当四边形E4"/是平行四边形时，四边形£4尸，是矩形，此时，E产与力，互相平分,

设E(rn,2m+4),H(0,t)则F(m,—-6),

*：A(-4,-4),

ri1

2(m+m)=(-4+0)

,,)111'

2(2m4-4-2w-6)=(-4+t)

解得：｛7=-1

：.E(-2,0),H(0,-1)；

由(2)可知E(-2,0),〃(0,-1),(-4,-4),

：.EH=V5,AE=2有,

设力七交OE于点G,取GE的中点P,则2后=卓，

设?(k,24+4),

，：E(-2,0),

：,PE2=(k+2)2+(2什4)2=(—)2,

2

:,k=—趣或&=一,(舍去)，

・，・尸-1)>

VC(0,-6),

:・PC=J(-f)2+(-1+6)2=竽，

连接尸。交OE于点M，连接则EM=E〃=正，

•PE_____V41

MEy[52

MEV51

AE2遍2

.PE_ME

♦・ME-AE'

VZPEM=ZMEA,

:.APEMsAMEA,

.PMME1

*'AM~AE~2

：.PM=

乙

1

：--AM+CM=PM+CM,

2

1

・•・当P、M、。三点共线时，『M+CM取得最小值即PC的长，

1„....5V5

/•—AM+CM最小值为---.

22

总结提升：本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数关系式，平行四边形的

性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，中点坐标公式，极值的确定，熟练掌握

待定系数法求函数解析式，利