专题34+线性规划求解技巧-决胜高考数学之破解高考命题陷阱含解析

一.学习目标

【学习目标】

1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组，了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元

一次不等式组，会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.

2.掌握确定平面区域的方法；理解目标函数的几何意义，注意线性规划问题与其他知识的综合.

二.知识点总结

【知识要点】

1.二元一次不等式表示的平面区域

（1）二元一次不等式/k+的+。0在平面直角坐标系中表示直线Ar+眩+40某一侧的所有点组成的平面

区域（半平面），不包括边界直线.

不等式而+做+30所表示的平面区域（半平面）包括边界直线.

（2）在平面直角坐标系中，设直线力x+以+C=0（〃不为0）及点P（照，㈤，则

①若皮（），月8+/伙+00,则点尸（的，㈤在直线的上方，此时不等式a+/%+6>0表示直线取+饮+U0

的上方的区域.

②若皮0,力弱+2为+以0,则点尸在直线的下方，此时不等式4丫+如+以0表示直线/卜+如+Q0的下方

的区域.

③若是二元一次不等式组，则其平面区域是所有平面区域的公共部分.

2.线性规划相关概念

名称意义

约束条件目标函数中的变量所要满足的不等式组

线性约束

由X,y的一次不等式（或方程）组成的不等式组

条件

目标函数关于y的函数解析式

可行解满足线性约束条件的解

可行域所有可行解组成的集合

线性目标函数目标函数是关于变量的一次函数

最优解使目标函数取得最大或最小值的可行解

线性规划问题在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值

3.常见简单的二元线性规划实际问题

一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们完成最多的任务：二是给定一项任务，如何

合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.

解线性规划问题的一般步骤：

审题、设元一一列出约束条件

（通常为不等式组）一一建立目标函数作出可行域求最优解.

三.解题方法总结

.二元一次不等式（组）表示的平面区域确定的方法

第一种：若用y=kx+b表示的直线将平面分成上下两部分

不等式区域

y>kx+b表示直线上方的半平面区域

yVkx+b表示直线下方的半平面区域

第二种：用Ax+By+C=O（BXO）表示的直线将平面分成上下两部分（B=0读者完成）

不等式B>0B<0

Ax+By+C>0表示直线上方的半平面区域表示直线下方的半平面区域

Ax+By+CVO表示直线下方的半平面区域表示直线上方的半平面区域

联系：将Ax+By+C=O表示的直线转化成y=kx+b的形式即是第一种.

第三种：选特殊点判定（如原点），取一点坐标代入二元一次不等式（组），若成立，则平面区域包括该点，

反之，则不包括.

2.线性规划问题求解策略

（1）解决线性规划问题时，找出约束条件和目标函数是关键，一般步骤如下：

①作：确定约束条件，并在坐标系中作出可行域；

oyoy

②移：由z=ax+by变形为y=—1X+R所求z的最值可以看成是求直线y=-/+1在y轴的截距的最

DDDD

值（其中a,b是常数，z随x,y的变化而变化），将直线ax+by=O平移，在可行域中观察使g最大（或最

小）时所经过的点；

③求：求出取得最大值或最小值的点的坐标，并将其代入目标函数求得最大值和最小值；

④答：写出最后结论.

（2）可行域可以是一个一侧开放的平面区域，也可以是一个封闭的多边形，若是一个多边形，目标函数的最

优解一般在多边形的某个顶点处取得.

（3）若要求的最优解是整数解，而通过图象求得的是非整数解，这时应以与线性目标函数的距离为依据，在

直线的附近寻求与此直线最近的整点，或者用“调整优值法”去寻求最优解•

四.命题陷阱类型分析

1.简单的线性规划

x+y<6

例I.若实数满足条件｛X一3），工一2，则2x+3y的最大值为（）

x>\

A.21B.17C.14D.5

【答案】B

x>l

练习1.己知实数x,y满足｛x-2y+lW（），则z=/+3y的最大值是（）

x+y<3

c17

A.4B.7C.8D.—

【答案】B

【解析】作出可行域，如图所示：

当直线经过点B（l,2）时，z=x+3y最大，即z=l+6=7，

故选:B

y<3%-1

2.己知实数满足｛x+yW4,则目标函数z=x-y的最大值为（）

A.-3B.3C.2I）.-2

【答案】C

【解析】

如图所示，当x=3,y=l时,

目标函数2=不一），的最大值为3-1=2

故选C。

【方法总结】本题主要考查的是线性规划的基本应用的问题。由约束条件作出不等式组对应的平面区域，

利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代

入目标函数即可求解

2.与斜率有关的线性规划

2x+y-2>0

y满足(]-2)，+420,求2=四的最大值是()

例2已知实数x、

x+1

3x-y-3<0

157

A.9D.--C.3D.

715

【答案】C

2x+y-2>0

【解析】由线性约束条件｛工-2），+420作出可行域如图,

3x-y-3<0

”答的几何意义为可行域内的动点与定点MIT）连线的斜率,

0

■•上=-(-1)=1r=2-(-1)

.化必匚而展“不而S

一冷的最大值为3.

故选C.

练习1.设变量x,y满足约束条件｛x+y—7W0,则上的最大值为（）

x

x>l

8

63C

B.5-

【解析】画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示).

?表示可行域内的点与原点连线的斜率.结合图形可得，可行域内的点A与原点连线的斜率最大.

x+y-7=0x=1/、

由｛•,，解得｛，，故得4(1.6).

x=\y=6

所以—=2。八=6.选A.

练习2.实数满足/+产+4%+3=0,则2的取值范围是()

x

A.—\/3,>/3^B.(—<X>,—\/3]<J[V3,+co)C昌川D.1f一孚M孚,T

【答案】c

【解析】设即kx-y=0,

x

故选：C.

【方法总结】：利用线性规划求最值的步骤：

(1)在平面直角坐标系内作出可行域.

(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形.常见的类型有截距型(at+勿型)、斜率型(

x+a

型)和距离型((工+4+()，+6)2型).

(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解.

(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。

注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.

2A->>0『

3.已知实数乂y满足｛x+2y—540,求〃=此匕"-的取值范围

【答案】4,才

【解析】作出可行域如图所示:

LL—416

所以〃£4,—.

3

故答案为：4,—.

[_3.

【方法总结】：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般

步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的

最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优

解坐标代入目标函数求出最值.

3.与距离有关的线性规划

x<4

例3.关于工、y的不等式组｛y>2所表示的平面区域记为M,不等式（/一4）?+（<1所

x-y+2>0

表示的平面区域记为N,若在M内随机取一点，则该点取自A，的概率为（）

A.—B.—C.-D.-

16842

【答案】A

【解析】M的面积为』x4x4=8,半圆的面积为四，故概率为乌.

2216

x<0

练习1.设点F（人,），）是平面区域｛人+y+lWO内的任意一点，则『十产一公的最小值为

2x+），+2N（）

（）

19

A.—B.1C.—D.5

22

【答案】B

【解析】作可行域如图，x2+y2-4x=（x-2）2+y2-4=MP2-4，其中M（2,0）,因为

\MP\>\AM\=VF+T=75x2+）户-4x的最小值为5-4=1,选B

x-2<0

练习2.M在不等式组｛3工+4），24所表示的平面区域上，点N在曲线f+y2+4x+3=0上，那么|MN|

y-3<0

的最小值是（）

12M,2Vio,

A.-B.-------C.----------1D.1

233

【答案】

【解析】

如图，画出平面区域（阴影部分所示）,

由圆心。（一2,0）向直线3工+4），-4=0作垂线,

|3x(-2)+4x0-4|

圆心C（-2,0）到直线3x+4y-4=0的距离为=2,

V32+42

又圆的半径为1,所以可求得|MN|的最小值是1.

故选D.

【方法总结】利用线性规划求最值的步骤：

（1）在平面直角坐标系内作出可行域.

（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形.常见的类型有截距型（办十勿型）、斜率型（上也

x+a

型）和距离型（（x+a）2+（），+Z?）2型）.

（3）确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解.

（4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.

注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.

x-^+2>0

3.若实数苍），满足不等式组｛x+2），-42（）,且3（x-a）+2（y+l）的最大值为5,则。等于（）

2x+y-5<0

A.2B.—1C.—2D・1

【答案】A

3（x-〃）+2（y+l）=3x+2y+2-3a的最大值为：5,由可行域可知z=3x+2y+2-3a,经过A时，z取得最大值,

x-y+2=0

由｛，可得A(1,3)可得3+6+2-3a=5,

2x+)，-5二0

解得a=2.

故选:A.

【方法总结】：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思

想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束

条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点

或边界上取得.

4.对于实数x,定义国是不超过x的最大整数，例如：[2.3]=2.在直角坐标平面内，若（x,y）满足

[x-1]2+[y-l]2=4,则（x+2『+y2的最小值为__________.

【答案】2

[解析]V[x-l]2+[y-l]2=4

JLA-11=±2…卜-1]=（）-2<x-\<-\^2<x-\<3,、

｛r1c或者｛21」，即｛或

[y-1]=0[y-l]=±20<y-1<1

0<x-l<l

｛一2«）,一1<一1或2"一1<3

.•.表示的可行域如图所示：

•・•（戈+2『+</可以看作可行域内点到点（一2,0）距离的平方

・•・由图可知，可行域内的点到（一1,1）到点（-2,0）的距离的平方最小

・・・（x+2『+y2的最小值为2

故答案为2.

【方法总结】；本题考查线性规划，点与点之间的距离公式以及新定义问题，属于难题.新定义题型的特点

是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅

读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.

解答本题的关键是理解新定义，画出正确的可行域.

2x+y>2

5.P（x,y）满足｛》一），一1«0,则f+丁的最小值为.

x+2y<4

4

【答案】-

5

【解析】作出可行域：

【方法总结】：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，

其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离

等等，最后结合图形确定目

4.可行域含参数

2x-j>0,

例4.若实数x,y满足｛y>X,且z=2x+y的最小值为4,则实数的值为（）

y>-x+b,

A.1B.2C.-D.3

2

【答案】D

【解析】作出不等式组对于的平面区域如图：

Vz=2x+y的最小值为4,即2x+y=4,

且？=-2x+z,则直线y=-2x+z的截距最小时，z也取得最小值,

【方法总结】：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，

其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离

等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.

y>（）

练习1设不等式组｛x+），Wl,所表示的区域面积为S（mER）.若SW1,贝I（）

y>inx

A.tn<-2B.-2<m<0C.0</T?<2D.m>2

【答案】A

【解析】如图：

当x+y=l与y=交点为（一1,2）时面积为1,此时m=-2,若S$1则〃7<—2

故选力

x-y>0

练习2.已知不等式组（x+），20表示平面区域的面积为4,点P（x,），）在所给的平面区域内，则z=2x+y

x<a

的最大值为（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】C

［解析】作可行域如图,可得gX4X2。=4.•.〃=2，所以直线z=2x+y过点A⑵2)时z取最大值6,选

C.

x-3<0

3.设乂)，满足约束条件｛OWyWa，且目标函数z=2x+)，的最大值为16,则。=()

x+y>0

A.10B.8C.6D.4

【答案】A

5.目标函数含参数

3x-y-6<0

例5,设x,)，满足约束条件｛x—)，+220，若目标函数z=QX+)，(a>0)的最大值为18,则。的值为

"0,”0

()

A.3B.5C.7I).9

【答案】A

【解析】根据不等式组得到可行域是一个封闭的四边形区域，F标函数化为y=-ov+z

当直线过点(4,6)时，有最大值，将点代入得到z=4。+6=18=。=3.

故答案为：A.

x+y>0,

练习1.若不等式组｛x-y+2>(\所表示的平面区域被直线/：如->+m+1=0分为面积相等的两部

2x-y-2<0,

分，则，〃二()

A.-B.2C.--D.-2

22

【答案】A

【解析】由题意可画出可行域为如图△/加6•及其内部所表示的区域,

(221

联立可行域边界所在直线方程，可得前一1,1),8—,-一，C(4,6).因为直线1：尸勿(什1)+1过定

【33)

点0(—1,D,直线1平分△/1比的面积，所以直线1过边施、的中点〃，易得〃代入/以一7+/升1

=0,得m=—,故选A.

2

2x-y+2>0

练习2.已知实数满足约束条件｛x-2y-2«0,若z=x-《y(a>0)的最大值为4,则〃=()

x+y-2<0

A.2B.-C.3D.4

2

【答案】c

2x-y+2>0

由约束条件｛x—2y-2工0作出可行域如图,

x+y-2<0

联立｛彳"—>+2一°，解得水一2,—2),由图得8(2,0).化目标函数z=x-纱(。>0)为丁=±-三.当

x-2y-2=0aa

Y7

直线y=±—W.过A或8时，直线在y轴上的截距最小，Z有最大值.

aa

把A(—2,—2)代入z=-2+2o=4,得。=3,符合题意；

把8(2,0)代入得z=2。4.:.a=3.

故选C.

x+3y<3,

练习3.设工，y满足线性约束条件｛x-y>\,若目标函数z=-x+冲(。>0)取得最大值的最优解有

y>o,

无数个，则z=-x+ay的最小值为()

A.-4B.-3C.-2D.-1

【答案】B

——一才」一―”

【解析】由题可知约束区域如图所示：

X2

由z=—％+>0)得y=—十一

aa

••・平移直线"二二十三，由图像可知当直线y二二十三和直线，="十1平行时，此时目标函数取得最大值的

aaaa

最优解有无数个，此时1=1

a

z=-x+y

・・・当经过点(3,0)时，z取最小值一3

故选B

工一“130,

4.设变量满足约束条件{x-2y<0,若目标函数z=ox+y取得最大值时的最优解不唯一，则实数

2x-i-y-4<0.

a的值为.

【答案】一1或2

【解析】可行域如图所示，当。〉0,因z=or+y取最大值时的最优解不唯一，故取最大值时动直线

av+y-z=0与直线2x+y-4=0.重合，此时。=2；当。<0时，因z=ar+y取最大值时的最优解不

唯一，故取最大值时动直线ca+y-z=0与直线x-y+l=0重合，此时〃=一1,填一1或2.

x+2y-4<0

{x-y-1<0

5.当实数x,y满足丫21时，ax+yW4恒成立，则实数a的取值范围是.

I力

【答案】।’2.

【解析】由约束条件作可行域如图

(X=1出,4(x-y-l=O

联立]x+2y-4=。，解得1口，联立[x+2y-4=。，解得B(2,1),在x-y-l=O中取y=0得A(l,。)，由

ax+y<4^y<-ax+4要使ax+y44恒成立，则平面区域在直线丫=ax+4的下方，若a=0,则不等式等价为

丫44,此时满足条件，若-a>0,即a<0,平面区域满足条件，若*<0,即a>0时，要使平面区域在直线

33

0<a$一a0一

y=-ax+4的下方，则只要B在直线的下方即可，即2a+144,得2,综上2,.••实数a的取值范围是

I31/4

*⑵，故答案为|’2.

6.含绝对值得线性规划问题

x-2)+120

例6,已知实数x、y满足：｛x<2,z=|2x—2y—1,则z的取值范围是()

x+y-l>0

A.[-,5]B.[0,5]

3

C.[0,5)D.5)

3

【答案】C

u+1

【解析】画出x,y约束条件限定的可行域为如图阴影区域，令u=2x—2y—1,则卜=十一个，先画出直

125

线./=必再平移直线y=x,当经过点力(2,—1),4(aN)时，可知一.•.z=|u|w[()：5),故选C.

x—3y+4W0

练习1.实数x,丁满足｛+]，目标函数z=x-2y的最大值为()

A.1B.-1C.2I).-2

x—3y+4<0,

画出｛y>|x-3|+l表示的可行域，如图区域为开放的阴影部分，可求得3（5,3）,由图可知，国数

2=%-2y过点（5,3）时，z11al=x-2y=5-6=-\,函数z=%-2>的最大值为一1,故选B.

【方法总结】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步

骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最

优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解

坐标代入目标函数求出最值.

y>x-2

练习2已知实数满足｛x+y46,则z=2,一2|十国的最小值是（）

x>]

A.6B.5C.4D.3

【答案】C

y>x+2

【解析】由约束条件｛x+yW6蚱出可行域如图，

x>]

y=x+2

联立｛.，解得A（2,4）,

x+y=6

z=21x-2|+|y|=-2x+y+4,化为y=2x+z-4.

由图可知，当宜线y=2x+z-4过A时，宜线在y轴上的截距最小，z有最小值为4.

故选:C.

y>7-3x

3.已知实数满足｛x+3y«13,则z的最小值为（

x<y+\

【答案】D

x-y<\

4.若乂y满足约束条件｛2x-y>0,则|x—2y—4|+2x的最大值为（）

（2x+l）（x-l）<0

A.3B.7C.9D.10

【答案】C

【解析】画出不等式组表示的可行域（如图阴影部分所示），

13

由可行域可知，一万0x«1,一耳工），42,

**•x—2,y—4<0>

:.卜-2），-4|+2x=-（x-2y-4）+2x=x+2y+4,

设z=x+2y+4,P!i|y——x+—z—2.

平移直线），二-LX+'Z-2,由图形可得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最大，此

22

时z取得最大值.

X=1X—\

由｛解得｛'.故点A的坐标为（1,2）.

2x-y=0y=2

，I1m1I”dA=1+2x2+4=9.选C.

5.若对圆+（y-l）~=，（r>0）上任意一点尸（x,y）,3工一4），+6|+|3工一4），一9|的取值与工》无

关，则实数〃的取值范围是（）

A.r>lB.r<lC.l<r<2D.r>2

【答案】B

【解析】令3x—4y=f,则等价尸|/+6|+|/-9|的值与/无关，

所以-6W/W9,即-6<3x-4y<9,所以圆的区域位于两平行线区域之间，

所以4=2,W=1，

所以故选B。

x+2y>2

6.变量满足约束条件｛2x+y<4,则目标函数z=2号胆尸斗的取值范围是（）

4x-y>-1

A.I，9B.-1,6C.[-2,3]D.12夜,5121

【答案】D

【解析】不等式表示的区域为如图所示的阴影部分，三个交点坐标分别为（0,1）,（g,3）,（2,0）.

目标函数〃?=3|乂+卜一3|=3x-y+3,即y=3x+3-m

f1A3

:.目标函数过（2,0）时,取得最大值为9,过一,3时,取得最小数为2,

12）2

・•・目标函数m=3国+”一3|的取值范围是|,9

则2=2纲+7的取值范围是['20,512].

本题选择〃选项.

|2〜小2

7.设x,y满足约束条件｛则z=w+3的最大值是

3+小2

【答案】2

【解析】画出不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示.

由图形得，当尢NO,），NO时，z=N+|y|=x+y,且当直线经过点A（0,2）时z有最大值2,故可得

z=W+|y|的最大值为2.

答案：2

7.其它的非线性规划

x<my+n

例7..已知直线/：x=〃2），十〃（〃>0）过点A（50,5）,若可行域（X-石），20的外接圆直税为20,则

”（）

【答案】10>/3

【解析】

y-2x<0

练习1.设实数满足约束条件｛2x+y—6V0,则z='+，的最小值为.__________.

2y

9

【答案】1

【解析】画出可行域如图所示，

可求得A(Q),R@l),当》为常数时，要使2乏+]最小，则X须最小，这样的点在同一水平线可

行域内的最左侧，因此所有可能让Z取到最小值的点在线段AB上，此时该点坐标满足方程

y=2x,ye[1,3],于是z=+9之1,当且仅当y=2e[L3]

2y4y

取等号.

【方法总结】：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线,

其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离

等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.

练习2.)已知log1(x+y+4)Qog](3x+y—2),若x—Z1恒成立，则久的取值范围是

【答案】[10,+8)

【解析】由logi(x+y+4)<log](3x+y—2)得，x+y+4>3x+y-2>0,可行域如图中阴影部分所示，

72

不包括边界.而)一><久恒成立等价于(*—V)MW4，由可行域知，z=x—y过点1(3,—7)时取得最大值

10,而点火不在可行域内，所以A的取值范围是[10,+8).

【方法总结】：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地

作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；

三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.

3.已知实数〃、Z?满足一M()<Z?-2«2<1,则3/+3/+8"-的取值范围是

33

【答案】--^-,574

_12_

164(4V4

【解析】3/+一/+8"一。+—Z?=3。+—〃-a+-b

33I3J3

令“+—/?=［,则/(。=3/一r,

3

由图可知，当/=■!•时，f(t).=--

6v7m,n12

当过(2,9)时，〃，)皿=574,

所以原式的取值范围是-二,574。

12_

x<()

4.已知点尸(x,力的坐标满足｛y>x则J：,的取值范围为_______.

^<2x4-15+旷

【答案】［-V2,1-

【解析】作出满足条件的可行域如图中阴影部分所示，

设,4(1,1),P1x,力为可行域内的一动点,向量,的夹角为明

V\OP\=J/+),2oa.op

=>+y,

・•.cose=

【方法总结】：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实饯还是虚线,

其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离

等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.

5.已知函数/(大)=(3工-1)。一21+/7.

(1)若且求的最大值；

⑵当x40,l］时，〃力工1恒成立，旦24+3〃23,求z="：：；2的取值范围.

「7~

【答案】(1)(ab)=16：(2)一,3,

\/max5

【解析】试题分析：(1)由/(|)二弓可得〃+〃=8,利用基本不等式即可求得。〃的最大值;(2)当

b-a<1

时，恒成立等价于｛8+2。43,利用线性规划求解，画出可行域，要求z=a+〃+2=四+1

。+1a+\

2。+3b23

的范围，先根据可行域以及经过两点的斜率公式求经过两点（。力）与（-1,-1）的直线的斜率的取值范围是

2

-,2,从而可得结果.

试题解析：（1）Vf（x）=（3a-2）x+b-a,f一二一，

13J3

/.a+b--=—,即々+〃=8,4>4ab,ab<\6,

33

力>0,当且仅当。=〃=4时等号成立，

即（出?）=16.

'/max

（2）,・•当xw[0,l]时，〃力41恒成立,且2。+363,

b-a<1

/⑼金

且2。+3/723,即｛b+2a<3

/⑴小

2a+3b>3

满足此不等式组的点（4力）构成图中的阴影部分，

,、、r2-

由图可得，经过两点（。力）与（-1,-1）的直线的斜率的取值范围是-,2,

—5—

〃+/?+2/?+1__B=7c

..z=-------=----+1t的取值氾围是一,3.

。+1a+\\_5

五.高考真题演练

2x+3y-3<0

1.12017课标II,理5】设x,y满足约束条件<2x—3y+320,贝Uz=2x+y的最小值是（）

）+320

A.-15B.-9C.1D.9

【答案】A

【解析】

试题分析：绘制不等式组表示的可行域，

目标函数即：y=-2x+z,其中z表示斜率为&=一2的直线系与可行域有交点时直线的截距值,

数形结合可得目标函数在点以-6,—3)处取得最小值z=-12-3=-15,故选A。

【考点】应用线性规划求最值

【名师点睛】求线性目标函数z="+〃y(9W0)的最值，当。>0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时,

z值最大，在『轴截距最小时，z值最小：当〃V0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在

yftl上截距最小时，z值最大。

2x+y>0,

x+2y—2N0,

2.12017天津，理2】设变量满足约束条件彳则目标函数z=x+y的最大值为

x<0,

y《3,

23

(A)-(B)1(C)-(D)3

32

【答案】。

【解析】目标函数为四边形ABCD及其内勖其中/(O"(O,3),C(-蓊所以直线2=中

过点B时取最大值3,选D.

【考点】线性规划

【名师点睛】线性规划问题有三类：(1)简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，

有时考杳斜率型或距离型目标函数；(2)线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围;

(3)线性规划的实际应用，本题就是第三类实际应用问题.

x-y+3<.0

3.12017山东，理4】已知满足二户)+5W0,则z=x+2y的最大值是

x+320

(A)0(B)2(C)5(D)6

【答案】C

x-y+3<L0

【解析】试题分析：由Sx+y+5<0画出可行域及直线x+2y=0如图所示，平移尤+2》=0发现,

jr+3>0

当其经过直线玄+y+5=0与戈=-3的交点(-3,4)时，z=x+2y最大为z=-3+2x4=5,选C.

【考点】简单的线性规划

【名师点睛】利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：

(1)在平面直角坐标系内作出可行域；

(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；

(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；

(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.

4.12017山东，理7］若。>人>0,且必=1,则下列不等式成立的是

1bb

(A)a+-<一<log2(a+Z?)(B)—<log2(^+Z?)<«+-

brT

噫(。+〃)<提

(C)a+-<(D)10g2(Q+〃)<Q+[<卷

b

【答案】B

【解析】试题分析：因为a>0,且。〃=1,所以。>l,0<b<I,「.^vl』og2(a+〃)>log22'"=l,

2^>a+—>a+b=>a+—>log1(a+b),所以选B.

bb

【考点】1.指数函数与对数函数的性质.2.基本不等式.

【名师点睛】比较帚或对数值的大小，若哥的底数相同或对数的底数相同，通常利用指数函数或刈数函数单

调性进行比较，若底数不同，可考虑利用中间量进行比较.本题虽小，但考查的知识点较多，需灵活利用指数

函数、对数函数的性质及基本不等式作出判断.

5.12017课标3,理.9］等差数列｛4｝的首项为1,公差不为().若史，,,,成等比数列，则｛qj前6项

的和为

A.-24B.-3C.3D.8

【答案】A

【解析】

试题分析：设等差数列的公差为d,由的a成等比数列可得：a；—

即：(1+24『=(l+4)(l+5d),整理可得：d2+2d=O，公差不为0,则1=一2,

6x|6-l)6x(6-l)/、

数列的前6项和为§6=64+—、—L［=6x1+—'—LX(-2)=-24.

故选A.

【考点】等差数列求和公式；等差数列基本量的计算

【名师点睛】(1)等差数列的通项公式及前〃项和公式，共涉及五个量4，品,d,n,5”知其中三个就能

求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.(2)数列的通项公式和前〃项和公式在解题中起到变量代换作

用，而d和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.

x<3,

6.12017北京，理4］若x,y满足r+)，N2,则x+2y的最大值为

y<xf

(A)1(B)3

(C)5