专题三概率与统计第1讲计数原理

概率与统计

第i讲计数原理

［考情考向分析］1.高考中主要利用计数原理求解排列数、涂色、抽样问题，以小题形式考查2二项式定理

主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇，值得关注.

。热点分类突破师生讲练互动热点各个击破

热点一两个计数原理

分类加法计数原理和分步乘法计数原理

如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理，将方法种数相加：如果需要通过若干步

才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理，将各步的方法种数相乘.

例1（1）（2018•潍坊模拟）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；

“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某

校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”

必须排在前三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（）

A.120种B.156种

C.188种D.240种

答案A

解析当''数"排在第一节时有AhM=48（种）排法，当''数"排在第二节时有A*A+A,=36（种）排法，当

“数”排在第三节时，若“射”和“御”两门课程排在第一、二节时有A?•用=12（种）排法；若“射”和

“御”两门课程排在后三节时有A》A^M=24（种）排法，所以满足条件的共有48+36+12+24=120（种）排

法.

⑵若自然数〃使得作竖式加法〃+（〃+1）+（〃+2）均不产生进位现象，则称〃为“开心数”.例如：32是

“开心数”.因为32+33+34不产生进位现象；23不是“开心数”，因为23+24+25产生进位现象，那

么，小于100的“开心数”的个数为（）

A.9B.10C.11D.12

答案D

解析根据题意个位数需要满足要求：

〃+（〃+1）+（〃+2）<10,即〃<2.3,

・•・个位数可取0,1,2三个数,

•・•十位数需要满足："<10,工〃<3.3.

・•・十位可以取（）,1,2,3四个数，故小于10（）的“开心数”共有3X4=12（个）.

思维升华（1）在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用

到分类加法计数原理.

（2）对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化.

跟踪演练1（1）某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊五个人玩抢红包游戏，现有4个红包，每人最多抢一个，

且红包被全部抢完，4个红包中有2个6元，1个8元，1个10元（红包中金额相同视为相同红包），则甲、

乙都抢到红包的情况有（）

A.18种B.24种

C.36种D.48种

答案C

解析若甲、乙抢的是一个6元和一个8元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，有A8A*=12（种）

抢法；

若甲、乙抢的是一个6元和一个10元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，有A?A3=12（种）

抢法；

若甲、乙抢的是一个8元和一个1（）元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，有&（3=6（种）抢

法；

若甲、乙抢的是两个6元的，剩下2个红包被剩下的3人中的2个人抢走，有A?=6（种）抢法.

根据分类加法计数原理可得甲、乙都抢到红包的情况共有36种.

（2X2018・百校联盟联考）某山区希望小学为丰富学生的伙食，教师们在校园附近开辟了如图所示的四块菜

地，分别种植西红柿、黄瓜、茄子三种产量大的蔬菜，若这三种蔬菜种植齐全，同一块地只能种植一种蔬

菜，且相邻的两块地不能种植相同的蔬菜，则不同的种植方式共有（）

1I2|3

A.9种B.18种

C.12种D.36种

答案B

解析若种植2块西红柿，则他们在13,14或24位置上种植，剩下两个位置种植黄瓜和茄子，所以共有

3X2=6（种）种植方式；

若种植2块黄瓜或2块茄子也是3种种植方式，所以一共有6X3=18（种）种植方式.

热点二排列与组合

名称排列组合

相同点都是从n个不同元素中取阳个元素，元素无重复

①排列与顺序有关；②两个排①组合与顺序无关：②两个组

不同点列相同，当且仅当这两个排列合相同，当且仅当这两个组合

妁元素及其排列顺序完全相同的元素完全相同

例2（1）（2018•哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实脸中学联考）将7个座位连成一排，安排4个人就座,

恰有两个空位相邻的不同坐法有（）

A.240种B.480种

C.72（）种D.960种

答案B

解析12或67为空位时，第三个空位有4种选择；23或34或45或56为空位时，第三个空位有3种选

择，因此空位共有2X4+4X3=20（种），所以不同坐法有20Aj=480（种）.

（2）5位大学毕业生分配到3家单位，每家单位至少录用1人，则不同的分配方法共有（）

A.25种B.60种C.90种D.15（）种

答案D

解析因为5位大学毕业生分配到3家单位，每家单位至少录用I人，所以共有两种方法：一，一个单位

1名，其他两个单位各2名，有Cf'xA孑=90（种）分配方法；二，一个单位3名，其他两个单位各1名，

有GXA1=6O（种）分配方法，共有90+60=150（种）分配方法.

思维升华求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相

爽.

具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径

（1）以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.

（2）以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.

（3）先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数.

解答计数问题多利用分类讨论思想.分类应在同一标准下进行，确保“不漏”、“不重”.

跟踪演练2（1）（2018•北京市建华实脸学校模拟）甲、乙、丙、丁、戊共5人排成一排照相合影，如果甲、

乙必须在两的同侧，则不同的排法有种.

答案80

解析由题意先将甲乙捆绑在一起有A之种排法，再与丙一起排列一共有A3A之种排法，然后再将丁戊插入

共有A，A，C1C!=8O（种）排法.

（2X2018•湖南省长沙市雅礼中学、河南省实验中学联考）郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到四个展区

提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在i起,

不司的安排方案共有（）

A.168种B.156种

C.172种D.180种

答案B

解析分类：⑴小李和小王去甲、乙，共有A涵@=12（种）；（2）小王、小李一人去甲、乙，共CJQCKA

96（种）;（3）小王、小李均没有去日、乙,共A?A1=48（种），总夫N=12+96+48=156（种）安排方案.

热点三二项式定理

伍+力y=©。”+（2/"-历+…+（3%"一叱+…+Q",其中各项的系+a（A=0,l,…,〃）叫做二项式系数；展

开式中共有〃+1项，其中第A+1项，+1=（3忆"一年（其中AWN,称为二项展开式的通项公

式.

例3（1）（2018•揭阳模拟）已知（x+ll""一.）的展开式中常数项为-40,则“的值为（）

A.2B.-2C.±2D.4

答案C

解析卜Il展开式的通项公式为

Tk.1=C^（ax）5（-1Ya5ACiv5"2\

令5—2女=一1,可得太=3,

结合题意可得（一1）3小一3cg=-40,即10凉=40,

•,=±2.

（2）已知（1—2x）2°i7=ao+m（x—1）+。2（》一1）24-----I-a2oi6（x—l）2C16+a2oi7（x—l）2OI7（x^R）,则加一2a2+3硝

—4四+…一2016〃2016+2O17«2oi7等于（）

A.2017B.4034C.-4034D.0

答案C

解析因为（1—2r）2O17=ao+ai（X—1）+02（X—1）2~1-----Ftf2OI6（X—l）2O,6+6f2OI7（X—1）20,7（XER）,两边同时求

导可得一2X2017（1—2劝2。16=0+2。2（》-1）+・・・+2016。2016a-1）235+2017。20或丫-1）2°16a三R）,

令x=0,则一2X2017=0—242+------2016〃2（M6+2O17a2oi7=-4034.

思维升华（1）在应用通项公式时，要注意以下几点：

①它表示二项展开式的任意项，只要〃与％确定，该项就随之确定；

②〃+1是展开式中的第A+I项，而不是第A项；

③公式中，a,。的指数和为〃，且小b不能随便颠倒位置；

④对二项式3一人）”的展开式的通项公式要特别注意符号问题.

（2）在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法.

（1+1—2x1

跟踪演练3（1）（2018・龙岩质检）已知二项式Ix则展开式的常数项为（）

A.-1B.1C.-47D.49

答案B

解析:二项式B+卜江+。-矶

口+工-吼6m+工一司叶

C-4।

・•・二项式中的常数项产生在IsR]—女）2,匕-2,4中,

分别是1,6X2-L（-2X）,CJJM—2X）2,

X

它们的和为1-24+24=1.

,卜+。

”的展开式中，各项系数之和为人各项的二项式系数之和为5=32,则〃等于（）

A.5B.6C.7D.8

答案A

解析令x=l,得各项系数之和为力=4”，二项式系数之和为8=2〃，故：=；=32,解得〃=5.

B真题押题精练真题押题体味高考

【真题体验】

1.（2017•全国II改编）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同

的安排方式共有种.

答案36

琶析由题意可得，其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为CK:+A3=

36附），或列式为QGC=3X4，X2=36（种）.

2

2.（2016•上海）在（入xl的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256,则常数项等于.

答案112

解析由2〃=256,得〃=8,

f_2]8-4出

通项公式〃+亍•〔一.）=武（一2户工工，

令8；绿=0,得左=2,则常数项为a（-2）2=112.

3.（2017・浙江）已知多项式（》+1）3（》+2）2=/+4|/+02/+的/+卬+的，则。4=，a5=.

答案164

解析是X项的系数，由二项式的展开式得

〃4=0<>2+&©22=16.

。5是常数项，由二项式的展开式得〃5=CK：222=4.

4.（2017•浙江）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要

求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法.（用数字作答）

答案660

解析方法一只有1名女生时，先选1名女生，有C3种方法；再选3名男生，有C8种方法；然后排队

长、副队长位置，有A3种方法.由分步乘法计数原理，知共有C，aA3=48（）（种）选法.

有2名女生时，再选2名男生，有C2种方法；然后排队长、副队长位置，有A5种方法.由分步乘法计数

原理，知共有CWA3=18O（种）选法.所以依据分类加法计数原理知共有480+180=660（种）不同的选法.

方法二不考虑限制条件，共有AGCX种不同的选法，

而没有女生的选法有AsC孑种，

故至少有1名女生的选法有A&a-Aaa=840-180=660（种）.

【押题预测】

1.某电视台一节FI收视率很高，现要连续插播4个广告，其中2个不同的商业广告和2个不同的公益宣

传广告，要求最后播放的必须是商业广告，且2个商'也广告不能连续播放，则不同的播放方式有（）

A.8种B.16种

C.18种D.24种

押题依据两个计数原理是解决排列、组合问题的基础，也是高考考查的热点.

答案A

解析可分三步：第一步，最后一个排商业广告有A3种方法；笫二步，在前两个位置选一个排第二个商

业广告有A2种方法；笫三步，余下的两个排公益宣传广告有A?种方法.根据分步乘法计数原理，可得不

同引播放方式共有A队抓2=8（种）.

2.为配合足球国家战略，教育部特派6名相关专业技术人员到甲、乙、丙三所足校进行专业技术培训，

每所学校至少一人，其中王教练不去甲校的分配方案种数为（）

A.60B.120

C.240D.360

押题依据排列、组合的综合问题是常见的考查形式，解决问题的关键是先把问题正确分类.

答案D

解析6名相关专业技术人员到三所足校，每所学校至少一人，可能的分组情况为4,1/；3,2,1；2,2,2.（1）

对于第一种情况，由于王教练不去甲校，王教练自己去一个学校有CJ种，其余5名分成一人组和四人组

有CS2种，共CSA2C3=2O（种）；王教练分配到四人组且该组不去甲校有CSC3A2=4O（种），则第一种情况

共有20+40=60（种）.（2）对于第二种情况，王教练分配到一人组有Ct©A3Q=4O（种），王教练分配到三人

组有cg&QA3=120（种），王教练分配到两人组有（：总总以3=80（种），所以第二种情况共有40+80+120=

240（种）.（3）对于第三种情况，共有aaaa=6o（种）.

综上所述，共有60+240+60=360（种）分配方案.

3.1—2v）7=r/o+ix+a2X2+trjx3+a^x4+a$x5+a（^+aix1>则代数式।+2t/2++4^4+5</5+6a（,-\~la-j

的值为（）

A.-14B.-7

C.7D.14

押题依据二项式定理作为选择题或填空题设计，属于必考试题，一般试题难度有所控制，考查常数项、

指定项的系数，最值，系数和等类型，木题设计角度新颖，典型，有代表性.

答案A

解析对已知等式的两边求导，得

—14（1—2x）6=ai+2«2x+3asx2++SasX4+6^r5+,lai^,

令x=l,有a\+2^2+3^3+4«4+5^5+6«6+7^7=-14.

4.（1+2»。的展开式中系数最大的项是.

押题依据二项展开式中的系数是历年高考的热门考题，本题通过求解系数最大的项，考查考生的运算求

解能力.

答案15360.v7

解析设第女+1项的系数最大，

由通项公式02rA,依题意知T—项的系数不小于7；项及八,2项的系数，即

cb29a”+i,

2?11­〃？、*,

解得

长+122?10一人?,

所以1，仁22,即4=7.

33

777

故最大的项为r8=C?o2x=1536Ox.

a专题强化练梯度训练直通高考

A组专题通关

1.（2018•全国01）卜+x）的展开式中/的系数为（）

A.1（）B.20C.40D.8（）

答案C

解析［,+：）的展开式的通项公式为7K产热。2）5"0=搀2乜53人，

令10—3%=4,得k=2.

故展开式中/的系数为C*22=40.

2.在新一轮的素质教育要求下，各地高中陆陆续续开展了选课走班的活动，已知某高中学校提供了3门

选修课供该校学生选择，现有5名同学参加该校选课走班的活动，要求这5名同学每人选修一门课程且每

门课程都有人选，则这5名同学选课的种数为（）

A.120B.150

C.240D.540

答案B

薛析因为将5个人分成3组有两种情形，

5=3+14-1,5=2+2+1,

rc?aci,acicn

所以这5名同学选课的种数为IA34J-A^=150,故选B.

3.（2018•北京丰台区模拟）某学校为了弘扬中华传统“孝”文化，共评选出2位男生和2位女生为校园

“孝”之星，现将他们的照片展示在宣传栏中，要求同性别的同学不能相邻，不同的排法种数为（）

A.4B.8C.12D.24

答案B

解析由题意，现对两位男生全排列，共有A3=2（种）不同的方式，

其中两个男生构成三个空隙，把两位女生排在前两个空隙或后两个空隙中，再进行全排列，共有2XA3=

4（种）不同的方式，

所以满足条件的不同的排法种数为2X4=8.

4.将4,8,C,D,£这5名同学从左至右排成一排，则力与8相邻且力与。之间恰好有一名同学的排

法有（）

A.18种B.20种

C.21种D.22种

答案B

解析当4C之间为8时，着成一个整体进行排列，共有A%A§=12（种），当儿。之间不是8时，先在

A,C之间插入O,E中的任意一个，然后8在4之前或之后，再将这四个人看成一个整体，与剩余一个

进行排列，共有C»Ay-A3=8（种），所以共有20种不同的排法.

5.（2018・永州模拟）的展开式中的常数项为（）

A.-6B.6C.12D.18

答案D

解析由二项式1+：）的通项公式为Tk¥l=C^-2kf

当3—2女=1时，解得攵=1,当3—2人=一1时，解得％=2,

所以展开式中的常数项为一Q3+C£32=-9+27=18.

6.（2018•吉林调研）若［一］"的展开式中只有第7项的二项式系数最大，则展开式中含9项的系数是（）

A.一462B.462

C.792D.-792

答案D

解析•••［―）〃的展开式中只有第7项的二项式系数最大，

・•・〃为偶数，展开式共有13项，则〃=12.

1"一］12的展开式的通项公式为7川=（—2a2-汽令12-2%=2,即攵=5.

・•・展开式中含x2项的系数是（一lpCf2=-792.

「Fl

7.（2018•上海黄浦区模拟）二项式〔戈卜3的展开式中，其中是有理项的共有（）

A.4项B.7项

C.5项D.6项

答案B

解析二项式I［）3J41O的展开式中，

通项公式为^i=CMx）4or］J

70—k

=C5o-x6,

0WH40,

工当％=0,6,12,18,24,30,36时满足题意，共7个.

8.《中国诗词大会》（第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词，在声光舞美的配合

下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《将进酒》、《山居秋暝》、《望岳》、《送杜少府之任蜀州》和另确定的

两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻

且均不排在最后，则后六场的排法有（）

A.144种B.288种

C.360种D.720种

答案A

解析《将进酒》、《望岳》和另确定的两首诗词进行全排列共有A3种排法，满足《将进酒》排在《望岳》

的前面的排法共有白种，再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在4个空里（最后一个空不排），

有A3种排法.《将进酒》排在《望岳》的前面、《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在

最后，则后六场的排法有A：XA3=144（种）.

A?

9.（2018•全国I）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，旦至少有1位女生入选，则不同的选法共

有种.（用数字填写答案）

答案16

解析方法一按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有C3C*种，有2位女生参加有C2CJ种.故

所求选派共有QCNICZC1=2X6I4=16（种）.

方法二间接法.从2位女生，4位男生中选3人，共有C2种情况，没有女生参加的情况有C：种，故所

求选法共有CA—a=20—4=16(种).

10.若(1-2丫)2。17=制+叩+・・・+42。32。小｛2,则处+；升...+售[的值为

22/2ZU,/

答案T

解析令等式中的X=0,得。0=1；

再令尸1，得蜘+：+：；+…+鬻30

2222?2ui7

所以2+I22+I…+I«2220o1i77___"°___1L

11.若(x+y)(2x-y),=aix6+a^sy+a^y1++asx2y4+a6xy5+ai)3则m=，ai+s+。3+〃4

++。6+。7=.

答案402

解析(2x—y)5的二项展开式的通项为

△-i=C4(2x)5A(—y»=CQ‘r(—l&5y,

令k=3,得。=—40.卫/；

令A=2,得八=8()13科，

再与x+y相乘，可得炉炉的系数为-40+80=40,

•,*<74=40.

在[x+y)(2x—y)5=a似+aix5y+aj^y2+。农射3+2yl+abxy5+a7a中，

令x=y=l,得+42+43+04+175+46+47

=(l+l)(2-l)5=2.

12.元宵节灯展后，如图悬挂有9盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，共有种不同取法.(用数

字作答)

答案168()

A2

解析=1680.

A认认3

B组能力提而

13.已知zw=?fi3cosl2J(LY,则(x—2y+32yM的展开式中含^yz项的系数等于(

)

A.18()B.-18()C.-90D.15

答案B

解析由于〃1=?83cos["zldr=?63sinACLV

=(-3cosx)|8=6,

所以。一2.y+3z)，"=(x-2y+3z)6=[a-2y)+3z]\

其展开式的通项为C£(x-2v卜一人(3),

当左=1时，展开式中才能含有/yz项，这时(x—2y)s的展开式的通项为C*x5F(—2y)s,

当s=l时，含有九项，系数为一10,

故任一2y+3z)6的展开式中含^yz项的系数为

CM-10)X3=-18().

14.为迎接中国共产党十九大的到来，某校举办了“祖国，你好”的诗歌朗诵比赛.该校高三年级准备从

包括甲、乙、丙在内的7名学生中选派4名学生参加，要求甲、乙、丙这3名同学中至少有1人参加，且

当这3名同学都参加时，甲和乙的朗诵顺序不能相邻，那么选派的4名学生中不同的朗诵顺序的种数为

()

A.72