中级微观经济学期末复习题答案

第二章偏好与选择

1.答：不正确，因为也可能是消费者恰好在这两个消费束之间无差异。也就是说，

根据题目的已知条件我们只能断定（X，%）二（X，），2）,这是弱偏好。对本题加上

什么样的假设前提，题目中的断定就是正确的？如果加上消费者的偏好是严格凸的这一

限制条件，断定（为，与）A（M，％）就是正确的。因为严格凸性条件下，最优解若

存在则只有一个。

2.答：这种关系是传递的也是完备的。首先，它是完备的。因为这三个人中任意给

定两个人，比如A和C,则必然有A^C或者C上A,或者二者都成立。其次，它是传递的。

因为如果A上B并且B_C.则必然有A_C。

3.答：首先它不是完备的。反证一下，假设它是完备的，则必然有（A叱Bi并且

A2>B2）或者（B2A］并且B22A2）O但是我们立刻可以举出反例，例如但A<

3,即A的身材更高但速度更慢，而B的身材更矮但速度更快，这种情形下选择谁？

（注：我们用下标1表示身高；用下标2表示速度）。

其次它是传递的，因为如果（AI2BI并且A22B2）,以及（B2Ci并且B22c2）,

则必然有（A±Ci并且A止C2）。

4.答：（1）喜欢喝汽水x,但是厌恶吃冰棍y,可能的无差异曲线是这样

0

（2）李楠既喜欢喝汽水x,又喜欢吃冰棍y,但她认为三杯汽水和两根K棍是无

差异的.只要满足（0,2）和（3,0）在同一条无差异曲线上就符合题目要求.可能的

无差异曲线是这样

效用函数为〃=2x+3y

（3）萧峰的效用函数为〃=min（x,y/2},无差异曲线为

（4）杨琳的无差异曲线是

y

oX

5.答：两种商品完全替代即它们的边际替代率为常数。边际替代率是在消费者保证

效用相等的条件下，用一种商品替代另一种商品的比率。因此有：

商品1的边际效用为MU\=du!dx\=W2x\+2x2）

商品2的边际效用为MU2=疝/公2=10（2片+2X2）

商品1对商品2的边际替代率MRS2=MU/MS=1。满足完全替代品的效用函数特

征，因此这个说法是正确的。

6.答：假设其他商品的价格为P,在消费者购买面粉少于5公斤的情况下，预算约

束方程为：

PX+Y=30

式中，X为其他商品的购买量，Y为面粉的购买量；

当消费者购买面粉多于5公斤的情况下，预算约束方程为：

PX+5xl+5x（y-5）=30

即QX+5y=50

其预算约束线如下图所示的预算约束线lo

当面粉价统一为每公斤2元时，预算约束方程为：

PX+2y=30

其预算约束线如下图所示的预算约束线2o

如果两种情况下对消费者无差异，则消费者的无差异曲线同时相切于两条预算线。如图

无差异曲线Uo同时与预算线1和预算线2相切。

其他商品

7.答：免费发给消费者一定量的实物与发给消费者按市场价格计算的这些实物折算

的现金，根据无差异曲线位置的不同，给消费者带来的效用不同。

如下图所示，消费者初始的预算线为AB,当免费发给消费者AC量的实物Y时，

消费者的预算线为CD,如果发给消费者按市场价格计算的这些实物折算的现金，则消

费者的预算线为CF。

当无差异曲线和CD段的预算线相切，如U2,无论发放现金还是发放实物给消费

者带来的效用是相同的，

当无差异曲线和DF段的预算线相切，如U4,而发放实物的预算线为CD线段，所

以消费者的最大效用只能达到U3,此时发放现金比发放实物给消费者带来的效用大。

8.答：该消费者的处境改善了，因为该消费者得到50元的补贴后可以多消费电来

替代煤气，由于电价未变，他完全可以藉此改善自己的处境。

如图所示，MN代表原来的预算线，MN1代表煤气涨价100%,但未给补贴的预算

线，AB代表给了50元补贴后的预算线。由于消费者原来消费煤气50元，煤气价上涨

1()0%后，政府补贴5()元恰好使消费者能消费原数量的煤气，故AB线通过初妗的消费

均衡点E1,并与MN1线平行。从图可以看出，面次新的预算线AB,消费者的最优消

费组合是E2e在此消费组合，消费者得到的效用水平U2大于煤气涨价前的效用水平

Ui,表明消费者通过少消费煤气、多消费电的方式改善了自己的处境。

9.解：假定该消费者只消费两种商品，征税前，消费者的预算约束为p内

对商品1征收消费税后，消费者的预算约束变为(〃卢。%+〃2々=机。消费税的效果如

下图所示。

如果用(X；,芯)表示税后消费水平，则征税所能得到的税收为鬲。现在假定改

换税种，但征收同样数额的所得税。消费者的预算约束变为〃丙+p/2=，〃-次；。这是条

斜率为一旦并通过(］；,X：)的直线。所以，尽管征收同样数量的税，但相对于消费

P1

税而言，消费者缴纳所得税能获得更高的效用水平。

10.答：咖啡和糖对茜茜而言是完全互补品(perfectcomplements),即她的效用函

数可以表

示为（假设她的偏好满足单调性）：

〃（c,s）=min{c,；s}

其中C代表咖啡的量，以杯为单位；s代表糖的量，以汤匙为单位。

很明显，她的最优选择必然是

1

c=­s

2

她面临的约束条件为：

p{c+p2s<M

由于她的偏好是单调的，而收入的增加可以有机会买到更多量的咖啡和（或）糖，因此

她的最优选择必然在预算线上.也就是说，她的约束条件可以表达为:

p2s=M

综合以上分析，可得到

2MM

Pi+2〃28+2〃2

如果价格变成P；和P；，同样可以得到

2MM

；；

P；+2p；'=P+2p

咖啡和糖的消费比例不会发生变化。

1L答：当只有两种商品X和Y时，消费者的最优化问题可以写成:

MaxU(xx,x2)

S.t.p}x}+p2x2=/

>0,x2>0

因为%=--+!

PlP2

故效用最大化问题可以表示为:

maxu($,--且X)

再PlP2

满足消费者在既定预算约束下的效用最大化原贝!，所以有U'(F)=O

即Ul+UA—~—xl)=O

'PiPi

得到效用最大化问题的必要条件

幺=且

心〃2

边际替代率递减规律是源于边际效用递减规律，所以须有。(X)<0。

因为u'a)=4+%(-且)-(八)必+%(△)]

PlPl"P1

注意到42=%]，所以有

(上)(局。“一2八〃2«2+〃；。22)<0

P2

即〃划「2/"2几十〃泾2<。

将与=且代入，有

u?P2

UnU；-2Up2Ul2+U2：Uf<0

12.答:在价格为(pi,p2)=(l,2)时，消费束1(1,2)的支付为5,消费束2(2,1)的

支付为4,在二者都支付的起的情况下，消费者先1而不选2,说明消费束1被显示偏

好于消费束2。那么，在任何价格体系下，消费束2都不可能被显示偏好于消费束1,

即不可能存在一个价格体系，使得消费者选择消费束2而不选择消费束1。从而，在价

格体系(口，农)=(2,1)下，消费者选择了消费束2,与显示性偏好公理矛盾，该行为

违背最大化行为模型。

13.答：当价格为(pi,q)二(2,1)时，消费束1的支付为4,消费束2的支芍为5,

消费者选择了消费束1,而没有选择消费束2,说明消费束2是消费者支付不起的。这

没有违背显示性偏好公理，也不能说明这种行为与最大化行为模型相一致。

第三章个别需求与市场需求

1.答：结合需求曲线的推导来解答此题。

2.解：劣等品是指随着消费者收入增加，其需求量减少的商品。设若（〃,，〃）是第i种

商品的马歇尔需求函数，那么商品i是劣等品意味着对于消费两种商品

cm

的消费者，如下的预算约束式恒成立：

P内（〃1，〃2，，〃）+〃2工2（〃1，〃2，〃?）=〃？（1）

等式两边对收入m求导得到：

„明（回，〃2,⑼上八一0、

P\十p,_1\L）

dm~dm

如果两种商品都是劣等品，则有翌竺＜0,i=l或2都成立，从而（2）式左边

cm

小于零，矛盾！所以，两种商品不可能都是劣等品。

3.解：原来消费处于均衡状态。设消费者花在x商品上的支出为町，则叫=凡/。

对该式求凡的导数有，皿』p、+x=xl+生乙,因x的需求价格弹性大于1（绝

。叭dPxLdp、x

对值），所以有坐＜0,即随着价格下降，消费者花在x商品上的支出会增加。那么，

dp、

消费者花在y商品上的支出会减少，从而y的购买量会减少。

4.答：在收入水平维持在M、商品Y的价格仍维持在PYI不变的情况下，商品X

的价格从PXI下降为PX2格导致预算线以其与纵轴的交点为原点发生逆时针旋转（如下

图所示）。从而，消费者对两种商品的需求量均发生变化，这种变化可以分解为替代效

应和收入效应。

对于X商品来说，替代效应为X2—Xi,收入效应为X3—X2,总效应为X3—XI;

对于Y商品来说，替代效应为丫2—丫1,收入效应为丫3—丫2,总效应为丫3—丫|。

5.解：(1)设商品1和2的价格分别为/乙，p2,则消费者的问题为:

max中2

s.t〃丙+p2x2=24

构造的拉格朗日函数为：

L=xlx2-2(P[X]+p2x:-24)

将拉格朗日函数分别对西知超求偏导，令偏导值为零

dL1八

-=x2-Api=0

dx1

dL,八

—=^-/1/?=0

dx、2

YY

所以」■二—^即pi，=p,无，从而2P内=24,2p^x2=24

P\Pi

-TMm1212

可解出X=一，x2=一

Pi'Pi

(2)因为P1=l,“2=2,所以x=12,=6o

(3)消费水平不变即消费效用不变，故要维持。="々=72。消费者问题为:

minCX]+3X2)

S.t中2=72

构造的拉格朗函数为:

L=X+3X2-A(X1X2-72)

将拉格朗日函数分别对内知/求偏导，令偏导值为零

-=1-Ax1=0

—=3-2^,=0

dx2

所以玉=39，从而3/二72,可解出々=2遥，%=6瓜预算应调整为12几。

对商品2带来的替代效应为2而-6

17

(4)如果预算仍为24,则消费者对商品2的需求为％=上=4,价格变化给其带

Pi

来的收入效应为4-2遥。

6.解：设商品X和Y的价格分别为外，小，消费者的预算为I，则消费者的问题

为：

maxX4/3

s.tpxX+pYY=I

构造拉格朗日函数为

A3

L=XY-^(PXX+PYY-I)

将拉格朗日函数分别对X和Y求偏导，令偏导值为零，得到

匹4TyT

=必

ax

a-LI3X4y2O

=必=

ay

由上两式可得

4X3/33X4/2

PxPY

进一步有

4x4r33x4r3

PxXPYY

从而

43

pyY_3XY_3

43

pxX-4Xr-4

PxX和PyY分别为消费者在X和Y商品上的支出，不难看出消费者在Y商品上的支出

占总支出的比重为3/7。

由于消费者在Y商品上的支出为士/,所以消费者对商品Y的需求函数为一，这表明

77p、

对Y的需求与X的价格没有关系。

F\x+P.x=inX4耳

7.解：(1)预算约束方程为:}2预算线如图。

(Px+t)xA+P2x2=+区x＞耳

(2)消费者的效用函数为：〃(%,%)=如+以2,无差异曲线如图。

⑶该消费者对商品1的需求函数为:

(3.1)当〃/。〈々/6时，x,=0；

(3.2)当b/a>(<+/)/巴时，玉二(加斗区)/(4+打；

(3.3)当〃/。=《/鸟，时，x,G[O,X,]；

(3.4)当//〃=(1+，)/2时,王£国,(〃?+氏)/([+，)]

(3.5)当《/6vb/4<(《+f)/6时，石=%

8.解：该消费者的最大化问题是

maxa\x\x}+x2

sJ.p1x1+/?2x2=m

需求函数为3=a0/p，/=（右一即2）/〃2

间接效用函数为u（P，〃。=〃（%（〃2,y）,X2（九）'））=4In外+团—，〃是向量（P］，P，）。

PiPi

9.解：线性规划

maxx^x2

再，叼

s.t.+p2x2=y

其拉格朗日函数为:

L=x^x2-4(〃内+p2x2-y)

使L最大化的一阶条件为:

—=2x,x-zp=0(1)

阴2l

dL2.n

贰二L(2)

dL八

­=P.X.+px-y=0(3)

dA22

(1)式除以(2)式，得:

2々=P=入二PX

(4)

MPi22P2

代（4）入（3）式得阳的需求函数

3n2y

y--P\x\=0=>A=L(5)

23Pl

代（5）入（4）式得々的需求函数

代（5）、（6）两式入效用函数中，得到间接效用函数

2)，

v(p,y)=〃(内,x2)=xfx2=

(3pJ3P2

又消费者效用最大化意味着

y=6（p#（p,y））

即可得支出函数为：

e（p,w）=e（/?,v（p,y））=y=（l08p；3=|（2p-p

10.解：分段求出市场需求曲线

由5-3PX）,知消费者A有需求的价格为P<5/3；

由10-3P>0,知消费者B有需求的价格为PV10/3；

由20-2P>0,知消费者C有需求的价格为PvlO；

35-8P0<P<5/3

得出市场需求曲线方程。=[30-5。5/3<P<I0/3

20-2P10/3<P<10

11.解（1）消费者收入的边际效用为:

该消费者最优消费量应满足的条件为

所以消费的需求函数为:

36/72

11144

(2)当〃=一时，有q=------7=-----=4

1236P236

消费者剩余为：

444

Cy=[(p-p(q))dq=[--U--dq=-y[q--17|=-

5J。“6北12J3、*。12*。3

12.解：设老人的收入为m,则老人的目标函数和约束条件为

maxXjXj

X|,x2

s.t.F\x]+P2x2=m

可求得老人在北京，上海，广州居住的间接效应函数为

1m2

V.——：―：-----i-a,b,cv

P\Pi4

由P；P；=；（P：+PiyPz+〃?）N，P；P：\IP2P2=P1P2=PiPi

所以匕〈匕=匕，因此老人会选择北京或上海，但不会去广州生活。

XY

13.解：（l）Luke的效用函数为〃（X,y）=min{t二}。设奶酪的价格为面包的价

2J

格为耳，Luke的收入为m。Luke的最优选择问题为

XY

maxmin{—,y}

s.tP八xJX+PYY=m

其解必然在无差异曲线的折点，即满足3X=2Y。可解得

02m3/zz

X=-------------,Y=--------------

2乙+3与2PX+3PY

⑵当々=？=2,m=72时，

2m_3m

X==14.4,=21.6

~2P+3P

2PX+3/;XY

(3)当&=4,《=2时,

2m144I”216.

Xv=------------=——u10.3,y=-------------=——«15.4

2PX+3^142Px+3Py14

OX

从上图可以看出，奶酪价格变化使预算线从Li变到L2,作一条预算线L3与L2平行

且和Ux相切，显然，切点仍为无差异曲线的折点。所以，价格变化没有替代效应，X

需求量的变化全为收入效应。即收入效应为-4.1。

(5)Luke的希克斯需求是以下问题的解

minPXX+PYY

Xy

s.tmin{—)=u

23

其解必然在无差异曲线的折点，即满足3X=2Y。可解得

X=2〃，Y=3u

所以，支出函数为e(P,“)=(2?+3巴)〃

14.解：在新的价格水平下，消费者的生活水平很有可能上升，至少不会下降，因为

在新的价格水平下，购买原消费束的支出为：

8x5+6xl0<10x5+5xl0

满足其预算约束。

故消费者至少可以购买原消费束以使生活水平不下降。

第四章不确定条件下的选择

1.答：(1)因为续=0,所以风险中性。

dcz

(2)因为2=-」＜0,所以风险规避。

dc~c~

(3)因为之=2＞0,所以风险偏爱。

dc-

(4)因为也=-2匕＜0,所以风险规避。

dc“

2.答：(1)每种战略的可能结果与每种结果的可能性可以用下表列出。在每一种战

略之下将鸡蛋完好带回家的个数的期望值均为6o

0612期望

战略10.50.56

战略20.250.50.256

(2)根据战略1下的各种可能结果及其概率分布，该战略下的期望效用为

EU=0.5[U(0)+U(12)],从下图来看，期望效用为A点的纵坐标，即期望效用为Ui；根

据战略2下的各种可能结果及其概率分布，该战略下的期望效用为EU=0.25U(0)+

().5U(6)+0.25U(12)o相应地，可将该期望效用表达式变形为如下形式

EU=Q.5{0.5[t/(0)+1/(6)]+0.5[t/(6)+U(12)]),从下图来看，期望效用为B点的纵坐标,即

期望效用为S。所以，采用第二种战略的期望效用大于第一种战略。

u

3.解：(1)期望效用等于效用的期望值，即E3=0.25xJ100-36+0.75xVI而=9.5

(2)设甲支付的保险费为R,显然R应满足下式：

7100-/?>9.5

即购买保险后的效用不低于不买保险下的期望效用。可解得

RW9.75

甲最高愿意支付的保险费为9.75。

4.解：(1)效用期为EU=0.251n(80000)+0.751n(100000)=11.45。

(2)U(w尸Inw,(/=l/w>0,^--l/w2<0,所以该居民是风险规避的。

(3)记CE为确定性等价，则皿函=EU(w)

C£1二cAEU(w)=i(11.457139)=94574.106

那么居民愿意支付的保费为1()()000-94574.106=5425.89元。

(4)公平保险为0.25*20000=50007G

5.解：(1)设罚款额为F

若不偷税，=In150；

a1

若偷税，£(/.=—In200+—ln(200-F)

1010

罚款起到作用必须使得商贩偷税和不偷税得到的期望效应一样大。因此，r.=EU,,

解之得F=188.74元

igio

(2)EU,=—ln(3()0-F,)+—ln300+—ln(5(X)-F')+—In500

-20202020

不偷税时，Et/,=-ln(l50+100)+-ln(150+300)

22

令=EU2可解得向=264.2或535.8(舍去)。

显然户=264.2时就足以让商贩失去偷税的动力。

6.解：拥有这张奖券的期望效用为

£[/(w)=0.5V4+12+0.574=3

若让他出让该彩票，他索取的最低价应当使他出让前后效用水平不变，设该价格为

P，有U(w+p)=EU(w),从而J4+p=3

解得p=5.即他索取的最低价是5元。

7.略

8.解：设投资者将x比例的钱投放到股票市场上，则他存入银行的比例为(l-x)o

这样，可以把其投资看成是含有一种风险资产的投资组合。其中，无风险利率9=2%,

风险资产的期望收益率〃=10%,标准差4=

则投资组合的期望收益率G=x〃+(l-x)X/=xxl0%+(l-x)x2%=0.08x+0.02

标准差%=x(yl,t=x

则对投资组合的偏好可表示为：

。(々,%)二10(0.08x+0.02)-x2

=­x~+0.8x4-0.2

=-2X+0.8=0

得：x=0.4

即投资者应将10x0.4=4(万元)的钱投放到股票市场上。

第五章生产函数

1.略

2,解：Vr>l,b(水,〃)=("0必•(也产'二产5酸”。°25〈收必犷(K,L),故规

模报酬递减。

3.解：Vr>l,/(/片火心严九四呼二产甲〃%,々)，故柯布-道格拉斯生产

函数/3/2)=4<必的规模报酬性质取决于二十£值的大小

(1)1+〃〉1"(%%)=产"・/(%,工2)>"'(%，&)，规模报酬递增；

(2)。+/<1,/(4,%)=产',/(与，工2)</%，工2)，规模报酬递减；

a+p

(3)a+p=\.f(txjx2)=t-/(X1,x2)=tf(x1,),规模报酬不变。

4.答：略

5.解：(1)要素报酬递减是指在一定技术水平条件下，若其他生产要素不变，连续

地增加某种生产要素的投入量，在达到某一点后，总产量的增加会递减。而规模报酬递

减是指当各种要素同时增加一定比例时，产出量的增加会出现递减的现象。

(2)二者的区别可以用生产函数已=£。,6K。-3为例加以说明。设在此函数中，K保

持不变，只有L发生变化，则吆=0.6Z/“K°3,驶=—0.24厂・"K8<0。所以，L的边

dLdL

际产量递减，说明在此生产函数中要素的边际报酬是递减的。当心K同时以的4比例

0603

增加时，Q(&,4K)=(2L)(A7C)=/T?6K八=HQ(L,K)o可见产量增加的比例要小于生

产要素增加的比例，生产函数呈现为规模报酬递减。

6.略

7.解：(1)短期内生产函数为2=-2乙2+16乙-18,S表示短期。

厂家的问题是max兀人L)

耳(L)=〃Q,(L)->也=-2Z?+8L-18

解决这个问题的劳动最优投入量L满足一阶条件也=-4L+8=0

(1L

因此L=2,即最有劳动量为2.

(2)这个问题可以表述为：max困S

L

解决这个问题的劳动投入量L满足一阶条件g(2]=-2+3=0

dLyL)L

即L=3,人均产量最大的劳动投入为3,此时最大的平均产量为3。

3

8.解：(1)设，>1"(成，也)=/(K,L),有

0"KKL)%+p2tK+p.tL=I。。+内(KL)%+/3jK+内L

即对Vf>l,有片文凤，因此凡=0时，该生产函数呈现规模报酬不变。

(2)双以K,L)=/3、(KL)%+/31K+03L

有K的边际生产力MPK啜=9(可十氏

d2f1-21

即函数对K的边际生产函数是零次齐次的。又工二一;4K2〃<o,即K的边际生

uK4

产力递减。同样，可以得到L的边际生产力函数是一次齐次和递减的。

9.略

10.解：（1）因为0<avl,A>0

所以，MR=、~=A.aLK"a

dL

MPK=—=A(l-«)r/C-a＞0

KdK

d%＜。，，％＜。

(2)因为f(AL•2K)=A(AL)a(AK)l-a=AALfK'-a=ZQ

即/GU,4K)=4Q,两边对力偏微分，可得:

afML的a2K

azZ'_aT+^J-aF-y

所以g-1+3--K=Q

dALd入K

令2=1,则爻/+父-K=Q

dLdK

可得力,Z+//K=Q所以满足欧拉定理。

⑶劳动的产出弹性分=匕吆二!.4口.广欠"。=人口.2=0

QdLQQL

资本的产出弹性&K="=卷A，Q-a)’5K。=^--(l-cr)~=l-tz

(4)MTRSLK==(£)=y(£)=,所以MRTS随人的增加而递减。

MPK\-aLL\-aJiK

11.解：（1）替代弹性用来测度生产要素投入比率变动率对于生产要素边际技术替代

率变动的敏感程度。替代弹性（b）表示如下：

或与

2d（强）（”I

替代弹性b==戊义四二

J也火型L）上

MPx、MPX2x.

MPX2

（2）由柯布-道格拉斯生产密数的表达式可知：

MPx}=aAx^'x2MPx）=fiAx^x^

MP%_aAx^x^_ax2

Mg.矛―］乂三

ax,

心）—xi

x2■二=1

a=

d（%X包）h.

P内X

因此，柯布-道格拉斯生产函数：夕=A＜引(AAOMAO/AO)的替代弹性恒为1.

第六章成本函数与要素需求

1.解：设企业的成本函数为C(q)=①(q)+Z?,其中①①)为可比成本、人为固定成本。

平均成本函数为

i=皿皿

qq

要使平均成本值达到最小，则必要条件为

4色也上］「驯叫一①⑷—夕

1q」=Lg^-----------=0

%q

即型明皿吆nMC=AC。

阳q

表明当短期平均成本达到最小时，短期平均成本等于边际成本。即边际成本曲线从下而

上穿过短期平均成本曲线最低点。

2.答：虽然企业的短期平均成本曲线和长期平均成本曲线均成U形，但二者的原

因是不同的。短期平均成本(SAC)曲线呈U形源于要素的边际报酬递减规律。边际报

酬递减规律是指，假定其他投入品固定不变，当某种投入品增加时，这种增加过程达到

一定程度之后，便会出现边际报酬递减的现象。这一规律意味着企业的短期生产中，随

着可变要素投入量的增加，其边际报酬(边际上增加的产量)并非从始至终都递减，而

是先有一个递增的过程。从而企业的平均可变成本(AVC)恰好反过来，表现为先递减

后递增的过程。另一方面，短期中企业的平均固定成本(AFC)是始终递减的。当企业

产量增加使得平均可变成本的上升幅度超过平均固定成本的下降幅度时，短期平均成本

就会增加，从而短期平均成本呈现为先递减后递增的过程。

长期平均成本（LAC）曲线呈U形源于企业长期生产中随着资本规模的扩大而呈现

出的先规模经济后规模不经济的特征。在规模经济阶段，长期平均成本是递减的，而在

规模不经济阶段，长期平均成本是递增的。

3.略

4.解：厂商长期中的最优化问题为：

min（4£+8K）

s.tQ=24L%K%

拉格朗日方程为：

V=4L+SK-424L%K%-Q）

"二4—8/1厂%K%=0

dL

生=8-164L/K%=0

dK

从而有L=K,L=K=—

24

所以ZTC（Q）=4L+8K=2

2

5.解：（1）生产函数为Q=Q（$,9，…%）满足规模报酬递增的条件是：设/为任一

大于1的数值，有Q（优"％…1）＞，。（4工2…3）。

（2）根据规模报酬递增函数的性质有。（2・±22…2.Z）＞2Q（土，玉土）

所以。（4天…毛）＞2Q（・，方…,），这表明把规模报酬递增的企业一分为二，产

出之和小于原来产出。

6.解：（1）由生产函数。=min（5K」OL）,知该生产函数中要素投入的最优比例为

K:L=2:1,其生产扩展线为直线K=2L

当产出水平为Q时，有5K=10L=Q,即K=g,L*

故长期成本函数为57(。)=厂长+>"=3《+1噂二笔

长期平均成本函数为LAC(Q)=-^

长期边际成本函数为LMC(Q)='

(2)若短期下K=10,则企业短期生产函数为

l()L()<L<5

Q=<

50L>5

因此，厂商短期总成本函数为

—C+300<Q<50

STC(Q)=<10

4-00Q>50

短期平均成本函数为

130

+0<2<50

SAC(Q)=<1()1Q

-K»(2>5()

短期边际成本函数为

1

0WQW50

SMC(Q)=<K)

+002>50

ax

7.解：(1)证明:成本最小化要求也二竺，代人MPL"”-',MPK=aK-lJ\

MPAKv

即得到水/。=僦//。因为犬二竽乙故该厂商的生产扩张线是一条射线。

(2)证明：代4=竺乙入。=K〃Z/‘中，得到。="

夕vI八)

解出L=Q再

将L=Q£a”代入

l/MBv

]

得到K=0而

故成本函数为

TC=rK+wL=034仆+3。+夕(巳丫"+化广

""+(2)两，则得到欲证结论。

令3=I刃

(3)当a+〃=l时，有

/a

TC=Qwpra17P\

显然，7c与。成比例。

8.解：⑴由生产函数。二匹内8,有尸8K叫既定产

量下成本最小的要素投入比例应满足的条件是

MPL_W_3

--

MPK75

2厂5/8<5/8

83K3日口K।

从而--------=----=—»即一=1

♦r3/8j^-3/85L5L

8

所以，当。=10时，有K=L=1(),最低成本为7T=8()

(2)最优投入时有K=L,所以Q=»/8K5/8=K=L

故企业才长期成本函数为7C(0)=，K+wL=5Q+3Q=8Q

当7。(。)二160时，有Q=20

此时K=L=20

9,解：(1)由题中给出的生产函数，可得厂商在最优生产时，满足:

Q=y/2L=y[2K

L=K=^Q2即为要素需求函数。

所以成本函数为C=1X；Q2+]X；Q2=Q2

(2)厂商出钱买此技术必须至少不出现亏损。设专利技术费用为T,厂商购买此

技术后其利润为：

^=p(2-C-7'=(lOOO-l.50e-e2-T=-2.5e2+lOOOe-T,且420

-=-52+1000=0,得。=200,此时C=Q2=40000,=l(XXXX)-T>0

dQ

所以1皿=10000°

厂商最多愿意支付100000用于购买此技术。

(3)如果政府征收50%的从价税，此时价格为1.5p,市场需求变为

G=—(l(X)0-1.5p),仍设其购买专利技术费用为T,此时，厂商的利润困数为：

1

*'=(嘿甸Q-O-T,且及0

如=幽一4。=(),得。:167

dQ1.5

此时E工55555一720,故人=55555

10•解:(1)将y=484代入生产函数,得484=(2x,/2+z,/2)2

整理后可得z=(22-2/2尸(1)

故成本函数为7C=30x+20z+50=30x+20(22-2x,/2)2+50(2)

成本最小化的条件为：理2=30+40(22-2铲)(-，2)=()

dx

解得：x=64

将其代入(1)、(2)式可得:

z=36,7r=2690

(2)把生产函数中的)，看作一定数值时，生产函数整理后得

z=3〃—2/2)2(3)

总成本函数即为TC=30x+20z+50=30x+20(y,/2-2xl/2)2+50(4)

成本极小化的条件为"=30+40(”2_2/2)(_y/2)=0

dx

解得：x=—y

121

代入(4)式后即得总成本函数：7。二号)，+5()

11.略

第七章利润大化与竞争性供给

L解：对完全竞争厂商而言，最优供给量由P=MC决定。即在每一个给定的价格

水平P,完全竞争厂商应该选择最优产量Q,使得尸=MC(Q)成立。这意味着在价格P

和厂商的最优产量Q之间存在一一对应的关系。而厂商的SMC曲线恰好准确地表明了

这种商品的价格和厂商的短期供给量之间的关系。

Q

结合成本曲线图形分析，在企业短期生产中：

当市场价格P>Po时,平均成本小于市场价格，所以企业是盈利的，定然提供供给;

当市场价格PKPVPJ时，平均成本大于市场价格，所以企业是亏损的；但是，即

使这样企业也仍将继续生产。因为

(1)若不生产。利海=R-TC=()-FC=-FC,即企业亏损额度为固定成本；

(2)若继续生产。利港=R-TC=P*Q-(AVC+AFC)*Q=(P-AVC)*Q-FC,而此时P>AVC,

所以企业生产要比不生产时的利润大，即企业仍然亏损但亏损额度小于固定成本。为此，

企业将继续生产并根据边际成本等于边际收益(市场价格)的原则来确定生产数量。

当P<Pi时，企业将停止生产，因为此时产品销售收入尚不足以弥补可变成本的投

入。

所以，完全竞争厂商的短期供给曲线是SMC曲线上等于和高于AVC曲线最低点的

部分。在企业短期生产中，它即使亏损也将仍然继续生产。

2,略

3.解：(1)由于市场需求函数为0D=7OOOO-5OOOP,供给函数为Qs=4()0()0+250()P,

所以市场均衡价格应满足a=Q〃，从而，均衡价格为尸=4。由于该价格等于长期平均

成本的最低值，所以该行业中的企业获得零经济利港，实现了长期均衡。

(2)当尸=4时，Q£=Qs=Q。=50。00。又因为所有厂商的规模都相等，都是在产

量达到5()0单位时达到长期平均成本的最低点4元，所以企业数为lOOo

(3)如果市场需求变化为Q=100000-5000P,则由，可得均衡价格为P=8。

此时，每家企业的产量为竺@=600。用最优企业规模生产600单位产量时，每一个

100

企业的短期平均成本为4.5元，所以均衡价格高于短期平均成本，企业是盈利的。

4.解：(1)因为ZTC(Q)=G-8Q2+3OQ,所以L4C(Q)=2-80+30

由OC(Q)=o,得。=4,minMC=(22-8Q+30=14

GQ

即单个厂商的产量为4,价格为14。

(2)因为0=87O—5P,P=14,所以。总二870—5夕=800

所以行业长期均衡时的厂商数目为20()个。

5.解:(1)由厂商的短期成本函数00.1。3—2。+15。+10,可得边际成本为

MC=0.3QJ4Q+15

由于P=55,根据MC=P,知企业的短期产量决定方程为

0.3Q2-42-40=0

可得产量。=20

利润为4=7火一优=20x55—0.1x8(X)0+2x400—]5x2()—10=790

(2)当价格低于平均可变成本最小值时，企业停止生产。

由于厂商的短期成本函数为C=().1Q3_2Q2+I50+1(),所以总的可变成本为

VC=0.1Q3-2Q2+I5Q

平均可变成本为AVC=YG=0.1Q3―2Q2+15Q=0]Q2—2Q+]5

对AVC=O.1Q2-2Q+I5求。的偏导，令值为零，得到0.20-2=0

所以Q=10,minAVC=0.\Q2~2Q+i5=5

即当PW5时，企业停止生产。

(3)企业根据MC=尸来决定短期供给，由().3。2一4。+15=尸，可得

20十5,16-1.2(15-2)

Q=\3

0P<5

6.解：(1)厂商的短期成本函数为£TC=Q3-6。2+33+40

则SMC=^^-

dQ

即5MC=3g2-12g4-30

又知P=66美元，而利润极大化的条件为P=SMC。

即66=3。_i2g+30

解得：Q=6,Q=-2

显然，产量不应是负值，故Q=6

因此利润极大值为：it=TR-TC

=PQ~(Q--6Q2+30Q+40)

=66x6-(63-6x62+30x6+40)

=176

即利润极大值为176美元。

(2)由于市场供求发生变化，新的价格为P=3()美元。根据尸所决定的均衡产

量计算利润为正还是为负c不论利润极大还是亏损最小，均衡条件都为P=MC,即30=3Q2

-120+30,.*.2=4,。=0(没有经济意义，舍去)。利润兀=TR—TC=PQ—Q3—6fi2+30Q

+40)=30X4-(43-6X42+30X4+40)=-8

可见，当价格为3()元时，厂商会发生亏损，最小亏损额为8美元。

(3)厂商退出行业的条件是P的最小值。

0STC=Q3_6。2Mog+20,VC=e3-622+30e

VCr

・•・AVC=-=Q2-6Q+30

要求4VC最低点的值，只要令叫£=0

d。

即2。-6=0

解得:。二3

当。=3时，AVC=32-6X3+30=2I

可见，只要价格PV21,厂商就会停止生产。

7.解：根据短期成本函数，有MC=4G=2Q+5,AVC=°+5Q=Q+5。故当Q=()

dQQ

时，AVC达到最小，且minAVC=5。

所以，企业的短期供给方程为2=2Q+5(P>5)o转化为习惯形式即：

G=-P--(P>5)o

22

（|（（|

利润函数为亚尸）=尸0—。（。=尸-匕5尸A一1不一5Y+5卜尸一55A+4

15Q

化简后为"（尸）=一尸-32+=

424

8.略

9.解：令要素4、z2的价格为6和G，产品价格为〃，企业的最优选择即为下述问

题的解

maxlpy-Ri-Gz"

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s.t.a}InZ]+a2In