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(2025年)导数经典例题及答案例1设函数f(x)={cos解答根据导数定义，(0由于cos()是有界函数（绝对值不超过1），而(Δ当x≠q0考察(x)在x=当x→0时，3cos()→0（有界乘无穷小），但2例2已知曲线C:y+解答切线方程需先求在(0,1)左边导数：2x右边导数：3。整理得：2x将x=0，左边：0+右边：3·故1=3，解得切线方程为y1=(例3设参数方程{x=t+ln解答首先求一阶导数=。计算=3+2t，故==二阶导数=(令u==，展开分子：t(用商数法则求：=分子展开：(9减去3+5+因此=。又=（原计算中=1+=故=÷例4讨论函数f(解答（1）定义域ℝ，求导(x由于分母+1>0，分子(x1≥0，故(x)（2）极值：因(x)≥0，且仅在x=1处导数为0，但左右导数不变号（左侧x<1时（3）凹凸性：求二阶导数(x分子化简：2(故(x当1>0即|x当1<0即|x当x=±1时，(计算f(1)=1ln例5已知函数f(x)=ax1解答求导(x)=a，令当x<lna时，当x>lna时，故f(x)在x分析零点个数需结合函数的极限和最小值：当x→−∈fty时，→0当x→+∈fty时，（1）若f(lna)>0(a)=1(lna+1)=−lna，当（2）若f(lna)=0，即a=1，此时f(x（3）若f(lna)<0，即a>1（因g(a)在a>1时递减且g(1)=0f(0)=101=0对任意a都成立？不，原函数是f(x)=ax1，故f(0)（4）当0<a<1时，极小值f(lna)=aalna1，因a<1，lna<0，故−alna>0，aalna1=a(1lna)1。例如a=1/2，则f(ln(1/2))=1/2(1/2)(−l修正：当a=1，f(x)=x1，当a≠a>1：极小值f(lna)<0，f(00<a<1：极小值f(lna)<0，f(0)=0，x→+∈fty时a=0：f(综上：当a=1时，f(当a≠q1且a例6证明：当x>0时，解答构造函数g(x)=l求导(x化简右边：1x+=（等比数列求和，公比−x，前四项和为(1+x因此(x当x>0时，(x)=又g(0)=l例7已知函数f(x)解答求导(x)=co令(x（1）cosx=0（2）2cox1=0，即co计算各临界点的函数值：x=：fx=：fx=：f端点x=0：端点x=π：判断极值：x=和x=处，左侧(x)符号：当x∈(0,)，cosx>0，2cox1<0（因重新分析导数符号：当x∈(0,)，cosx>（因处当x∈(,)，cosx当x∈(,)，cosx当x∈(,π)，cos因此：x=处，导数由正变负，为极大值点，极大值；x=处，cosx=x=处，导数由负变正，为极小值点，极小值（计算错误，实际sin=，sin端点x=0和综上，f(x)在[0,π]上的极大值为（在x=例8设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,解

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