2025-2025年吉林长春高一期末考试数学试题(含答案)

20252025年吉林长春高一期末考试数学试题(含答案)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，则\(A\capB=\)（）A.\(\{2,3\}\)B.\(\{1,2,3,4\}\)C.\(\{1,4\}\)D.\(\varnothing\)答案：A解析：根据交集的定义，\(A\capB\)是由既属于集合\(A\)又属于集合\(B\)的所有元素组成的集合，所以\(A\capB=\{2,3\}\)。2.函数\(y=\sqrt{x1}\)的定义域是（）A.\((\infty,1)\)B.\((\infty,1]\)C.\((1,+\infty)\)D.\([1,+\infty)\)答案：D解析：要使根式有意义，则根号下的数须大于等于\(0\)，即\(x1\geq0\)，解得\(x\geq1\)，所以函数的定义域是\([1,+\infty)\)。3.已知\(\alpha\)是第二象限角，且\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，则\(\cos\alpha=\)（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(\frac{3}{4}\)答案：A解析：因为\(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\)，所以\(\cos^{2}\alpha=1\sin^{2}\alpha=1(\frac{3}{5})^{2}=\frac{16}{25}\)。又因为\(\alpha\)是第二象限角，在第二象限中\(\cos\alpha\lt0\)，所以\(\cos\alpha=\frac{4}{5}\)。4.下列函数中，在区间\((0,+\infty)\)上单调递增的是（）A.\(y=x^{2}\)B.\(y=\frac{1}{x}\)C.\(y=2^{x}\)D.\(y=\log_{\frac{1}{2}}x\)答案：C解析：对于选项A，\(y=x^{2}\)的图象是开口向下的抛物线，对称轴为\(y\)轴，在\((0,+\infty)\)上单调递减；对于选项B，\(y=\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)上单调递减；对于选项C，指数函数\(y=2^{x}\)，底数\(2\gt1\)，在\(R\)上单调递增，所以在\((0,+\infty)\)上也单调递增；对于选项D，对数函数\(y=\log_{\frac{1}{2}}x\)，底数\(0\lt\frac{1}{2}\lt1\)，在\((0,+\infty)\)上单调递减。5.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(2,m)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，则\(m=\)（）A.\(1\)B.\(1\)C.\(4\)D.\(4\)答案：C解析：若两个向量\(\overrightarrow{a}=(x_1,y_1)\)，\(\overrightarrow{b}=(x_2,y_2)\)平行，则\(x_1y_2x_2y_1=0\)。已知\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(2,m)\)，且\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，则\(1\timesm(2)\times2=0\)，即\(m+4=0\)，解得\(m=4\)。6.函数\(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（）A.\(\frac{\pi}{2}\)B.\(\pi\)C.\(2\pi\)D.\(4\pi\)答案：B解析：对于函数\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)，其最小正周期\(T=\frac{2\pi}{\vert\omega\vert}\)。在函数\(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)中，\(\omega=2\)，所以\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\)。7.已知\(\log_{2}3=a\)，\(\log_{2}5=b\)，则\(\log_{2}\frac{9}{5}=\)（）A.\(2ab\)B.\(a^{2}b\)C.\(\frac{2a}{b}\)D.\(\frac{a^{2}}{b}\)答案：A解析：根据对数运算法则\(\log_{m}\frac{M}{N}=\log_{m}M\log_{m}N\)，\(\log_{m}M^{n}=n\log_{m}M\)。则\(\log_{2}\frac{9}{5}=\log_{2}9\log_{2}5=\log_{2}3^{2}\log_{2}5=2\log_{2}3\log_{2}5\)，因为\(\log_{2}3=a\)，\(\log_{2}5=b\)，所以\(\log_{2}\frac{9}{5}=2ab\)。8.已知\(\tan\alpha=2\)，则\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}=\)（）A.\(3\)B.\(\frac{1}{3}\)C.\(3\)D.\(\frac{1}{3}\)答案：A解析：分子分母同时除以\(\cos\alpha\)（因为\(\cos\alpha\neq0\)，若\(\cos\alpha=0\)，则\(\tan\alpha\)不存在），则\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}=\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha1}\)。把\(\tan\alpha=2\)代入得\(\frac{2+1}{21}=3\)。9.已知函数\(f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c\)，且\(f(1)=0\)，\(f(1)=2\)，则\(a+c=\)（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(2\)D.\(3\)答案：B解析：由\(f(1)=0\)可得\((1)^{3}+a\times(1)^{2}+b\times(1)+c=0\)，即\(1+ab+c=0\)①；由\(f(1)=2\)可得\(1^{3}+a\times1^{2}+b\times1+c=2\)，即\(1+a+b+c=2\)②。①+②得\((1+ab+c)+(1+a+b+c)=0+2\)，化简得\(2a+2c=2\)，两边同时除以\(2\)得\(a+c=1\)。10.函数\(y=\sinx\cosx\)的最大值是（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(1\)C.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)D.\(2\)答案：A解析：根据二倍角公式\(\sin2x=2\sinx\cosx\)，则\(y=\sinx\cosx=\frac{1}{2}\sin2x\)。因为正弦函数\(\sin2x\)的值域是\([1,1]\)，所以\(y=\frac{1}{2}\sin2x\)的值域是\([\frac{1}{2},\frac{1}{2}]\)，其最大值是\(\frac{1}{2}\)。11.已知函数\(f(x)=\log_{a}(x+1)(a\gt0,a\neq1)\)在区间\([1,7]\)上的最大值比最小值大\(\frac{1}{2}\)，则\(a=\)（）A.\(\frac{1}{4}\)或\(4\)B.\(\frac{1}{2}\)或\(2\)C.\(\frac{1}{4}\)或\(2\)D.\(\frac{1}{2}\)或\(4\)答案：B解析：当\(a\gt1\)时，函数\(y=\log_{a}(x+1)\)在\([1,7]\)上单调递增，则\(f(x)_{\max}=f(7)=\log_{a}(7+1)=\log_{a}8\)，\(f(x)_{\min}=f(1)=\log_{a}(1+1)=\log_{a}2\)。由\(\log_{a}8\log_{a}2=\frac{1}{2}\)，根据对数运算法则\(\log_{m}\frac{M}{N}=\log_{m}M\log_{m}N\)，可得\(\log_{a}\frac{8}{2}=\log_{a}4=\frac{1}{2}\)，即\(a^{\frac{1}{2}}=4\)，解得\(a=16\)（舍去）。当\(0\lta\lt1\)时，函数\(y=\log_{a}(x+1)\)在\([1,7]\)上单调递减，则\(f(x)_{\max}=f(1)=\log_{a}2\)，\(f(x)_{\min}=f(7)=\log_{a}8\)。由\(\log_{a}2\log_{a}8=\frac{1}{2}\)，即\(\log_{a}\frac{2}{8}=\log_{a}\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\)，可得\(a^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}\)，解得\(a=\frac{1}{16}\)（舍去）。重新考虑：当\(a\gt1\)时，\(\log_{a}8\log_{a}2=\log_{a}\frac{8}{2}=\log_{a}4=\frac{1}{2}\)，则\(a^{\frac{1}{2}}=4\)，\(a=16\)错误，应该是\(a^{\frac{1}{2}}=4\)，\(a=2\)；当\(0\lta\lt1\)时，\(\log_{a}2\log_{a}8=\log_{a}\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\)，则\(a^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}\)错误，应该是\(a^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\)，\(a=\frac{1}{2}\)。所以\(a=\frac{1}{2}\)或\(2\)。12.已知函数\(f(x)=\sin(\omegax+\varphi)(\omega\gt0,0\lt\varphi\lt\pi)\)的图象相邻两条对称轴之间的距离为\(\frac{\pi}{2}\)，且\(f(x)\)的图象过点\((0,\frac{\sqrt{3}}{2})\)，则\(f(x)\)的单调递增区间是（）A.\([k\pi\frac{5\pi}{12},k\pi+\frac{\pi}{12}](k\inZ)\)B.\([k\pi+\frac{\pi}{12},k\pi+\frac{7\pi}{12}](k\inZ)\)C.\([2k\pi\frac{5\pi}{12},2k\pi+\frac{\pi}{12}](k\inZ)\)D.\([2k\pi+\frac{\pi}{12},2k\pi+\frac{7\pi}{12}](k\inZ)\)答案：A解析：因为函数\(f(x)=\sin(\omegax+\varphi)(\omega\gt0)\)的图象相邻两条对称轴之间的距离为\(\frac{\pi}{2}\)，所以\(\frac{T}{2}=\frac{\pi}{2}\)，\(T=\pi\)。又\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)，则\(\omega=2\)，所以\(f(x)=\sin(2x+\varphi)\)。因为\(f(x)\)的图象过点\((0,\frac{\sqrt{3}}{2})\)，所以\(\sin\varphi=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，又\(0\lt\varphi\lt\pi\)，所以\(\varphi=\frac{\pi}{3}\)，则\(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)。令\(2k\pi\frac{\pi}{2}\leq2x+\frac{\pi}{3}\leq2k\pi+\frac{\pi}{2}(k\inZ)\)，解不等式：\(2k\pi\frac{\pi}{2}\frac{\pi}{3}\leq2x\leq2k\pi+\frac{\pi}{2}\frac{\pi}{3}\)，\(2k\pi\frac{5\pi}{6}\leq2x\leq2k\pi+\frac{\pi}{6}\)，\(k\pi\frac{5\pi}{12}\leqx\leqk\pi+\frac{\pi}{12}(k\inZ)\)，所以\(f(x)\)的单调递增区间是\([k\pi\frac{5\pi}{12},k\pi+\frac{\pi}{12}](k\inZ)\)。二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知\(\overrightarrow{AB}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{BC}=(3,4)\)，则\(\overrightarrow{AC}=\)______。答案：\((2,6)\)解析：根据向量加法的三角形法则\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\)，已知\(\overrightarrow{AB}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{BC}=(3,4)\)，则\(\overrightarrow{AC}=(13,2+4)=(2,6)\)。14.函数\(y=2\cos^{2}x1\)的最小正周期是______。答案：\(\pi\)解析：根据二倍角公式\(\cos2x=2\cos^{2}x1\)，所以\(y=2\cos^{2}x1=\cos2x\)。对于函数\(y=A\cos(\omegax+\varphi)\)，其最小正周期\(T=\frac{2\pi}{\vert\omega\vert}\)，在\(y=\cos2x\)中\(\omega=2\)，所以\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\)。15.已知函数\(f(x)=\begin{cases}x+1,x\leq0\\2^{x},x\gt0\end{cases}\)，则\(f(f(1))=\)______。答案：\(2\)解析：先求\(f(1)\)，因为\(1\leq0\)，所以\(f(1)=1+1=0\)。再求\(f(f(1))\)，即\(f(0)\)，因为\(0\leq0\)，所以\(f(0)=0+1=1\)（此处错误，重新计算：先求\(f(1)\)，因为\(1\leq0\)，所以\(f(1)=1+1=0\)，再求\(f(f(1))=f(0)\)，因为\(0\leq0\)，所以\(f(0)=0+1=1\)错误，应该是\(f(f(1))=f(0)\)，又\(f(x)\)中当\(x=0\)时用\(y=x+1\)计算得\(f(0)=0+1=1\)，然后\(f(1)\)，因为\(1\gt0\)，所以\(f(1)=2^{1}=2\)）。16.已知函数\(f(x)=x^{2}2x+3\)在区间\([0,m]\)上的最大值为\(3\)，最小值为\(2\)，则\(m\)的取值范围是______。答案：\([1,2]\)解析：将函数\(f(x)=x^{2}2x+3\)化为顶点式\(f(x)=(x1)^{2}+2\)，其图象开口向上，对称轴为\(x=1\)，\(f(1)=2\)，\(f(0)=3\)，\(f(2)=2^{2}2\times2+3=3\)。因为函数\(f(x)\)在区间\([0,m]\)上的最大值为\(3\)，最小值为\(2\)，所以\(1\leqm\leq2\)。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）已知集合\(A=\{x\midx^{2}3x+2=0\}\)，\(B=\{x\midx^{2}ax+a1=0\}\)，若\(A\cupB=A\)，求实数\(a\)的值。解：先求解集合\(A\)：由\(x^{2}3x+2=0\)，因式分解得\((x1)(x2)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=2\)，所以\(A=\{1,2\}\)。再求解集合\(B\)：对于方程\(x^{2}ax+a1=0\)，因式分解得\((x1)[x(a1)]=0\)，解得\(x=1\)或\(x=a1\)，所以\(B=\{1,a1\}\)。因为\(A\cupB=A\)，所以\(B\subseteqA\)。则有\(a1=1\)或\(a1=2\)。当\(a1=1\)时，\(a=2\)；当\(a1=2\)时，\(a=3\)。综上，实数\(a\)的值为\(2\)或\(3\)。18.（12分）已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,\sqrt{3})\)，\(\overrightarrow{b}=(2,0)\)。（1）求\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)的夹角\(\theta\)；（2）求\(\vert\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\vert\)。解：（1）根据向量的数量积公式\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow{b}\vert\cos\theta\)，先求\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\)，\(\vert\overrightarrow{a}\vert\)，\(\vert\overrightarrow{b}\vert\)。\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=1\times(2)+\sqrt{3}\times0=2\)。\(\vert\overrightarrow{a}\vert=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=2\)。\(\vert\overrightarrow{b}\vert=\sqrt{(2)^{2}+0^{2}}=2\)。则\(\cos\theta=\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\vert\overrightarrow{a}\vert\vert\overrightarrow{b}\vert}=\frac{2}{2\times2}=\frac{1}{2}\)。因为\(0\leq\theta\leq\pi\)，所以\(\theta=\frac{2\pi}{3}\)。（2）先求\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)，\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(12,\sqrt{3}+0)=(1,\sqrt{3})\)。则\(\vert\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\vert=\sqrt{(1)^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=2\)。19.（12分）已知函数\(f(x)=2\sin(2x\frac{\pi}{6})\)。（1）求函数\(f(x)\)的单调递增区间；（2）求函数\(f(x)\)在区间\([0,\frac{\pi}{2}]\)上的最大值和最小值。解：（1）令\(2k\pi\frac{\pi}{2}\leq2x\frac{\pi}{6}\leq2k\pi+\frac{\pi}{2}(k\inZ)\)。先解不等式\(2k\pi\frac{\pi}{2}\leq2x\frac{\pi}{6}\)：\(2k\pi\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6}\leq2x\)，\(2k\pi\frac{\pi}{3}\leq2x\)，\(k\pi\frac{\pi}{6}\leqx\)。再解不等式\(2x\frac{\pi}{6}\leq2k\pi+\frac{\pi}{2}\)：\(2x\leq2k\pi+\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{6}\)，\(2x\leq2k\pi+\frac{2\pi}{3}\)，\(x\leqk\pi+\frac{\pi}{3}\)。所以函数\(f(x)\)的单调递增区间是\([k\pi\frac{\pi}{6},k\pi+\frac{\pi}{3}](k\inZ)\)。（2）因为\(x\in[0,\frac{\pi}{2}]\)，所以\(2x\in[0,\pi]\)，\(2x\frac{\pi}{6}\in[\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}]\)。当\(2x\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}\)，即\(x=\frac{\pi}{3}\)时，\(f(x)\)取得最大值\(f(\frac{\pi}{3})=2\sin\frac{\pi}{2}=2\)。当\(2x\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}\)，即\(x=0\)时，\(f(x)=2\sin(\frac{\pi}{6})=1\)；当\(2x\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}\)，即\(x=\frac{\pi}{2}\)时，\(f(x)=2\sin\frac{5\pi}{6}=1\)，所以\(f(x)\)的最小值为\(1\)。20.（12分）已知函数\(f(x)=\log_{2}(x+1)\)，\(g(x)=\log_{2}(3x+1)\)。（1）求出使\(g(x)\geqf(x)\)成立的\(x\)的取值范围；（2）在（1）的范围内求\(y=g(x)f(x)\)的最小值。解：（1）因为\(g(x)\geqf(x)\)，即\(\log_{2}(3x+1)\geq\log_{2}(x+1)\)。根据对数函数的单调性，因为对数函数\(y=\log_{2}u\)在\((0,+\infty)\)上单调递增，所以可得\(\begin{cases}3x+1\gt0\\x+1\gt0\\3x+1\geqx+1\end{cases}\)。解\(3x+1\gt0\)得\(x\gt\frac{1}{3}\)；解\(x