正弦定理与余弦定理的应用高一下数学人教B版必修第四册

第2课时

解三角形在实际测量中的应用(二)第九章

9.2正弦定理与余弦定理的应用讲课人：XXX考点衔接年份卷别题号分值核心考点（正/余弦定理应用）2025新高考Ⅱ卷第5题5分余弦定理：已知三边求角2025全国甲卷第16题5分正余弦定理+面积公式：三角形面积最值2025全国乙卷第17题12分正弦定理+余弦定理综合：边角互化、求周长/面积2025北京卷第16题10分正余弦定理+三角恒等变换：解三角形、求角2025天津卷第15题5分正弦定理：边化角、判断三角形形状题型1距离题型2高度题型3角度例3题型1距离题型2高度题型3角度练习C一、角度问题例1

甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时

a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？解如图所示.设经过t小时两船在C点相遇，则在△ABC中，BC＝at海里，B＝180°－60°＝120°，∵0°<∠CAB<60°，∴∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°－30°＝30°，∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇.解决实际问题应注意的问题(1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步.(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题.

二、平面图形中线段长度的计算例2如图，在△ABC中，AB＝2，cosB＝

，点D在线段BC上.解∵BD＝2DC，∴S△ABD＝2S△ADC，S△ABC＝3S△ADC，∴BC＝6，在△ABC中，由余弦定理得，三角形中几何计算问题的解题要点及关键(1)正确挖掘图形中的几何条件简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决.(2)此类问题突破的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件.跟踪训练2

如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝1，CD是AB边上的中线.(1)求证：sin∠BCD＝2sin∠ACD；证明

在△DBC中，由正弦定理得，即BCsin∠BCD＝DBsin∠CDB，ACsin∠ACD＝ADsin∠CDA.∵sin∠CDA＝sin∠CDB，CD是AB边上的中线且AC＝2BC，∴sin∠BCD＝2sin∠ACD.(2)若∠ACD＝30°，求AB的长.解∵∠ACD＝30°，由(1)可得sin∠BCD＝2sin∠ACD＝1，即∠BCD＝90°，∴∠ACB＝120°，三、多边形面积问题例3已知圆内接四边形ABCD的边长AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求四边形ABCD的面积S.在△ABD中，由余弦定理，BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcosA＝22＋42－2×2×4cosA＝20－16cosA，在△CDB中，BD2＝CB2＋CD2－2CB·CDcosC＝62＋42－2×6×4cosC＝52－48cosC，∴20－16cosA＝52－48cosC，∵cosC＝－cosA，∴A＝120°，跟踪训练3

如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于

.解析连接BD(图略).∵∠ABC＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，1.在某次高度测量中，在A处测得B点的仰角为60°，在同一铅垂平面内测得C点的俯角为70°，则∠BAC等于

A.10° B.50° C.120° D.130°√12345解析如图所示∠BAC＝130°.课堂练习2.如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的A.北偏西5° B.北偏西10°C.南偏东5° D.北偏西20°√12345解析由题意可知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°.∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝50°，从而可知灯塔A在灯塔B的北偏西10°.√123454.(多选)有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6m，下底长为10m，高为m，那么此拦水坝斜坡的坡比和坡角是

12345√解析如图所示，横断面是等腰梯形ABCD，AB＝10m，CD＝6m，∴∠DAE＝60°.√123455.某人从A处出发，沿北偏东60°行走3公里到B处，再沿正东方向行走

公里到C处，则A，C两地的距离为

公里.解析如图所示，由题意可知7所以A，C两地的距离为7公里.