人教A版 (2019)必修 第一册5.4.3 正切函数的性质与图象教案

人教A版(2019)必修第一册5.4.3正切函数的性质与图象教案课题Xxx课型XXXX修改日期2025年10月教具XXXXX教材分析人教A版（2019）必修第一册5.4.3正切函数的性质与图象教案。本节课是三角函数性质的延续，通过分析正切函数的周期性、奇偶性和单调性，让学生掌握正切函数的图象和性质，为后续学习正弦函数和余弦函数打下基础。核心素养目标二、核心素养目标。本节课旨在培养学生数学抽象、逻辑推理和数学建模等核心素养。通过正切函数性质的探究，学生能够学会从几何直观中抽象出数学概念，运用逻辑推理分析函数性质，并能够将数学模型应用于解决实际问题。学情分析三、学情分析。本节课面对的是高中一年级的学生，他们刚刚接触三角函数，对函数的基本概念和性质有一定的了解，但正切函数作为周期函数的一种，其特性和图象与之前学习的正弦函数和余弦函数有所不同。学生层次上，部分学生对函数性质的理解较为薄弱，需要通过直观演示和实例分析来加深理解。在知识方面，学生对函数的定义、图象和基本性质有一定的认识，但对周期性、奇偶性和单调性的内在联系理解不够深入。在能力上，学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和问题解决能力需要进一步提升。在素质方面，学生的自主学习能力和合作学习能力有待加强。这些特点对课程学习产生的影响是，需要教师在教学中注重引导学生主动探究，通过合作学习的方式帮助学生理解正切函数的性质，并通过实际问题解决来提升学生的数学应用能力。教学资源准备四、教学资源准备。为确保教学效果，我将准备以下资源：1.教材：确保每位学生人手一册人教A版（2019）必修第一册，以便学生能够跟随课本内容学习。2.辅助材料：收集与正切函数性质相关的图片、图表和视频，用于辅助讲解和直观展示。3.实验器材：准备一些简单的几何工具，如直尺、圆规等，用于辅助学生进行函数图象的绘制。4.教室布置：设置分组讨论区，以便学生进行合作学习，并确保实验操作台的安全整洁。教学过程：一、导入新课

同学们，上一节课我们学习了正弦函数和余弦函数的性质，今天我们将继续探索三角函数的奥秘，学习正切函数的性质与图象。首先，请大家回顾一下正弦函数和余弦函数的周期性、奇偶性和单调性，思考这些性质在正切函数中会如何体现。

（学生回顾，教师引导）

二、新课讲授

1.正切函数的定义

同学们，正切函数是周期函数的一种，它的定义与正弦函数和余弦函数有所不同。请看课本上的定义，正切函数的定义是：在直角三角形中，对于一个锐角α，它的正切值等于它的对边长度除以邻边长度。用数学语言表示就是：tanα=对边/邻边。

（教师板书，学生跟随）

2.正切函数的周期性

（教师展示正切函数的图象，学生观察）

同学们，从图中可以看出，正切函数的图象呈现出周期性，周期为π。这意味着，每隔π个单位长度，正切函数的图象就会重复出现。

3.正切函数的奇偶性

现在，我们来探究正切函数的奇偶性。根据正弦函数和余弦函数的奇偶性，我们可以猜测正切函数可能是奇函数。为了验证这个猜测，我们可以利用正切函数的定义和性质。

（教师板书，学生跟随）

同学们，根据正切函数的定义，我们可以得出结论：正切函数是奇函数。这意味着，对于任意角度α，都有tan(-α)=-tanα。

4.正切函数的单调性

最后，我们来探究正切函数的单调性。根据正弦函数和余弦函数的单调性，我们可以猜测正切函数在(0,π/2)区间内是单调递增的。为了验证这个猜测，我们可以利用正切函数的导数。

（教师板书，学生跟随）

同学们，通过求导，我们可以得出结论：在(0,π/2)区间内，正切函数是单调递增的。这意味着，随着角度α的增加，正切函数的值也会增加。

三、课堂练习

为了巩固今天所学的知识，请大家完成以下练习题：

1.画出正切函数tanx在[0,2π]上的图象。

2.判断以下命题的真假：对于任意角度α，都有tanα=sinα/cosα。

3.求解不等式：tanx>1。

（学生独立完成练习，教师巡视指导）

四、课堂小结

同学们，今天我们学习了正切函数的性质与图象，主要包括周期性、奇偶性和单调性。通过这节课的学习，我们不仅掌握了正切函数的基本性质，还学会了如何利用这些性质来解决实际问题。

五、课后作业

为了进一步巩固所学知识，请大家完成以下课后作业：

1.复习本节课所学内容，总结正切函数的性质。

2.利用所学知识，分析并解决实际问题，如：某城市某月气温变化，若气温变化率（即每小时的温度变化量）为正切函数，请画出该月气温变化图象。

（学生完成作业，教师批改并点评）

六、教学反思

本节课通过引导学生自主探究正切函数的性质，培养了学生的数学抽象、逻辑推理和数学建模等核心素养。在教学过程中，我注重以下几点：

1.注重引导学生回顾已有知识，为新知识的学习做好铺垫。

2.通过直观演示和实例分析，帮助学生理解正切函数的性质。

3.鼓励学生合作学习，培养学生的团队协作能力。

4.通过课堂练习和课后作业，巩固所学知识，提高学生的实际应用能力。拓展与延伸：六、拓展与延伸

1.拓展阅读材料

为了进一步拓展学生对正切函数的理解和应用，以下是一些与教材内容相关的拓展阅读材料：

（1）正切函数的极限与连续性

阅读材料：介绍正切函数在x接近0和π/2时的极限行为，以及正切函数的连续性。学生可以通过这些材料了解极限在分析函数性质中的应用。

（2）正切函数在物理中的应用

阅读材料：探讨正切函数在物理学中的实际应用，例如在机械设计、工程计算和物理实验中如何利用正切函数来描述物体的运动和受力情况。

（3）正切函数与导数的关系

阅读材料：讲解正切函数的导数公式及其推导过程，让学生理解导数与函数变化率之间的关系。

（4）正切函数与三角方程

阅读材料：介绍如何利用正切函数解决三角方程，包括解三角方程的基本方法和技巧。

2.课后自主学习和探究

鼓励学生进行以下自主学习和探究活动：

（1）探索正切函数在复数域的性质

学生可以尝试将正切函数的定义推广到复数域，探讨复数角度的正切函数的性质。

（2）比较正弦函数、余弦函数和正切函数的周期性

学生可以通过绘制不同函数的图象，比较正弦函数、余弦函数和正切函数的周期性差异。

（3）正切函数在坐标系中的应用

学生可以尝试在直角坐标系中绘制不同参数的正切函数图象，观察参数变化对图象的影响。

（4）正切函数在实际问题中的应用

学生可以选择一个实际问题，如建筑物的倾斜角度计算、天体运动分析等，尝试运用正切函数的知识进行解决。XX典型例题讲解：1.例题：求函数f(x)=tan(x+π/4)在区间[0,π]上的最大值和最小值。

解答：首先，我们知道正切函数tan(x)在区间(0,π/2)内是单调递增的，在区间(π/2,π)内是单调递减的。因此，为了找到f(x)=tan(x+π/4)的最大值和最小值，我们需要找到x+π/4在(0,π/2)和(π/2,π)的对应点。

当x+π/4=π/2时，即x=π/4，此时f(x)取得局部最大值，f(π/4)=tan(π/4)=1。

当x+π/4=π时，即x=3π/4，此时f(x)取得局部最小值，f(3π/4)=tan(3π/4)=-1。

因此，在区间[0,π]上，f(x)的最大值为1，最小值为-1。

2.例题：证明正切函数tan(x)在区间(0,π/2)内是增函数。

解答：设0<x1<x2<π/2，我们需要证明tan(x1)<tan(x2)。

由于x1,x2都在(0,π/2)内，我们知道cos(x1)>0和cos(x2)>0。因此，我们可以计算两个正切值的差：

tan(x2)-tan(x1)=(sin(x2)/cos(x2))-(sin(x1)/cos(x1))=(sin(x2)cos(x1)-sin(x1)cos(x2))/(cos(x2)cos(x1))。

由于sin(x2)cos(x1)-sin(x1)cos(x2)=sin(x2-x1)，且在(0,π/2)内sin(x)是增函数，所以sin(x2-x1)>0。

又因为cos(x2)cos(x1)>0，所以tan(x2)-tan(x1)>0，即tan(x1)<tan(x2)。

因此，正切函数tan(x)在区间(0,π/2)内是增函数。

3.例题：求函数f(x)=tan(x)在区间[0,π]上的零点。

解答：正切函数tan(x)的零点是x=kπ，其中k是整数。在区间[0,π]上，tan(x)的零点是x=0和x=π。

4.例题：证明tan(x+π)=tan(x)。

解答：由于正切函数tan(x)的周期是π，我们可以直接利用周期性质进行证明。

tan(x+π)=sin(x+π)/cos(x+π)=-sin(x)/(-cos(x))=sin(x)/cos(x)=tan(x)。

因此，tan(x+π)=tan(x)。

5.例题：解方程tan(x)=1。

解答：我们知道tan(π/4)=1，因此x=π/4是方程的一个解。

由于正切函数的周期是π，所以所有解可以表示为x=kπ+π/4，其中k是整数。XX教学评价与反馈：1.课堂表现：在课堂教学中，我将观察学生的参与度和专注程度。通过提问和回答问题的方式，我可以评估学生对正切函数性质的理解程度。学生的课堂表现将包括对问题的回答、参与讨论的积极性以及对新知识的接受能力。

2.小组讨论成果展示：为了培养学生的合作能力和解决问题的能力，我将安排小组讨论环节。在讨论结束后，每个小组将有机会展示他们的讨论成果，包括对正切函数性质的分析、图象的绘制以及解决问题的策略。通过这些展示，我可以评价学生的团队协作能力和创新思维。

3.随堂测试：为了即时评估学生对正切函数性质的理解，我将进行随堂测试。测试将包括选择题和简答题，涵盖正切函数的定义、周期性、奇偶性和单调性等内容。通过测试结果，我可以了解学生对知识点的掌握情况，并及时调整教学策略。

4.课后作业反馈：课后作业是巩固课堂知识的重要环节。我将认真批改学生的作业，并给予详细的反馈。对于作业中的错误，我将提供正确的解答和解释，帮助学生纠正错误，加深对知识的理解。

5.教师评价与反馈：针对学生的整体表现，我将进行以下评价与反馈：

-针对学生的课堂参与度，给予正面的鼓励和具体的改进建议。

-针对小组讨论成果，表扬学生的合作精神和创新思维，同时指出可以改进的地方。

-针对随堂测试的结果，分析学生的强弱项，提供针对性的辅导和复习建议。

-针对课后作业，鼓励学生持续努力，对于表现突出的学生给予表扬，对于有困难的学生提供个别辅导。XX教学反思与总结：这节课下来，我觉得有几个地方做得还不错，也有一些地方需要改进。

首先，我觉得在教学方法上，通过引导学生自主探究正切函数的性质，他们参与度很高，课堂气氛活跃。我发现，当学生自己动手画图、推导公式时，他们的学习兴趣明显提高，对知识的理解也更加深刻。不过，我也注意到，有些学生对于抽象概念的理解还是不够，所以在讲解时，我可能需要更多的实例来帮助他们理解。

其次，关于教学策略，我尝试了分组讨论的方式，让学生在小组内互相学习、互相帮助。这种策略的效果还是不错的，我看到他们在讨论中能够积极发言，互相启发。但是，也有一些小组讨论得不够深入，可能是因为时间分配不合理或者学生之间的沟通不够顺畅。

在管理方面，我尽量保持课堂秩序，但有时还是会有个别学生分心。我意识到，在今后的教学中，我需要更加关注学生的个体差异，针对不同学生的学习习惯和需求，采取更有针对性的教学管