解三角形中的范围问题高频考点梳理专题练2026届高考数学复习备考 含答案

/解三角形中的范围问题高频考点梳理专题练2026届高考数学复习备考一、单选题1．已知锐角三角形ABC，角、、所对的边分别为、、，且，．则的取值范围为（）A． B． C． D．2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．3．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则下列4个结论中正确的有（

）个.①；②的取值范围为；③的取值范围为；④的最小值为A．0个 B．1个 C．2个 D．3个4．在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题5．已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（

）.A．若，则B．若，则为等腰三角形C．若，这样的三角形有两解，则的取值范围为D．若为锐角三角形，且则其周长范围为三、填空题6．已知锐角的内角的对边分别为，若，则的取值范围为.7．已知a，b，c分别是的三个内角A，B，C的对边，已知角，，若是锐角三角形，则的面积为S的取值范围为；若是钝角三角形，则边a的取值范围为.8．已知内角，，所对的边长分别为，，，，若为锐角三角形，且，求的取值范围为．9．中，角、、所对的边分别为、、，若函数有极值点，则角的范围是.四、解答题10．在锐角中，内角的对边分别为，且.(1)证明.(2)若点在边上，且，求的取值范围.11．在中，角所对的边分别为．已知成公比为q的等比数列．(1)求q的取值范围；(2)求的取值范围．12．若锐角中，、、所对的边分别为、、，且的面积为(1)求；(2)求的取值范围.13．在中，角的对边分别是，且．(1)证明：．(2)若是锐角三角形，求的取值范围．14．在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知．(1)求；(2)求的取值范围．15．记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，满足．(1)若，，求的面积；(2)记BC边的中点为D，，若A为钝角，求x的取值范围．16．已知是锐角三角形，内角，，的对边分别为，，，且，.(1)求角的大小；(2)若，求的周长；(3)求面积的取值范围.17．在中，角的对边分别为，．(1)若，求的周长；(2)若的内切圆、外接圆半径分别为，求的取值范围．18．在△中，角所对的边分别为且．(1)求△的外接圆半径；(2)若△为锐角三角形，求△周长的取值范围．19．已知中，角，，所对的边分别为，，，其中.(1)若，求的值；(2)当取到最大值时，求的值；(3)已知，，且，记表示，，中最大的数或式，若，求实数的取值范围.

答案题号12345答案ACBCAC1．A【分析】利用正弦定理结合两角和的正弦公式可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；再由为锐角三角形求出角的取值范围，利用正弦定理结合三角恒等变换求出的取值范围，【详解】因为，，则，由正弦定理得，，所以，，因为、，则，所以，，即．在锐角中，由，可得，则，又，则，所以，的取值范围为，故选：A2．C【分析】由题意得，令，得，故只需求出的取值范围即可得解.【详解】因为，所以，，即，设，因为，所以，解得，则，从而，由对勾函数性质可知，的取值范围是，从而，故所求范围为.故选：C.3．B【分析】利用正弦定理与三角恒等变换求得，从而判断A；利用锐角三角形内角的范围判断B；利用正弦定理与倍角公式，结合余弦函数的性质判断C；利用三角恒等变换，结合基本不等式判断D.【详解】在中，由正弦定理可将式子化为，又，代入上式得，即，因为，则，故，所以或，即或（舍去），所以，故A错误；选项B：因为为锐角三角形，，所以，由解得，故B错误；选项C：，因为，所以，，即的取值范围为，故C正确；选项D：，当且仅当，即时取等号，但因为，所以，，无法取到等号，故D错误.故选：B.易错点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．4．C【分析】由题设等式，利用正弦定理化边为角与和角公式化简计算，求得，利用正弦定理将所求式整理化成正弦型函数，借助于锐角三角形，求得角的范围，结合正弦函数的图象性质，即可求出其范围.【详解】由和，可得，由正弦定理，，即，因，故得，因是锐角三角形，故，则有，从而，.又由正弦定理，，即得于是，由可得，则，故，故的取值范围为.故选：C.关键点点睛：本题主要考查正、余弦定理在求解三角形中的应用，属于难题.解题关键是，首先要将代入已知等式，将其化成边的齐次型，为正弦定理化边为角创造条件，再次，要会将的范围通过定理转化为角的三角函数问题，利用正（余）弦型函数的值域求其范围即可.5．AC【分析】利用正弦定理判断A、C，利用正弦定理即倍角公式即可判断B，利用正弦定理将边化角，再结合辅助角公式，再求出角的范围即可判断D.【详解】对于A，因为，由正弦定理可得，所以，故A正确；对于B，因为，所以，即，又，所以，所以或，即或，即为等腰三角形或直角三角形，故B错误；对于C，因为三角形有两解，所以，即，即的取值范围为，故C正确.对D，由，得周长，因为为锐角三角形，所以，所以，因此周长范围为，故D错误.故选：AC6．【分析】正弦定理边角转换，将原式转化为关于角的式子，根据已知信息求出角的取值范围，利用角的关系，将变量都转化为角，根据角的取值范围求出原式的取值范围.【详解】在锐角中，由，有，法一：有余弦定理知，，所以，所以，由正弦定理得，又，所以，所以，所以的取值范围为.法二：由正弦定理知，，又，从而，故，所以的取值范围为.故答案为.7．【分析】若是锐角三角形，先利用正弦定理求出，再表达出锐角三角形的面积，求出的范围，即可求解；若是钝角三角形，分别讨论为钝角及为钝角，结合直角的临界状态计算即可得.【详解】由正弦定理得，所以，故，又因为是锐角三角形，所以，故，所以，，故，即的面积为S的取值范围为；因为是钝角三角形，若为钝角，如图，作于点，有，即，即，若为钝角，如图，作于点，有，即，即，综上所述：的取值范围是；故；.关键点点睛：当是钝角三角形，关键点在于分为钝角及为钝角，分别找出直角的临界情况求出范围.8．【分析】利用余弦定理即可由已知条件得到，进而得到角A；先由为锐角三角形得到角B的范围，进而利用正弦定理即可得，再结合三角恒等变换公式以及角B的范围进行推算即可得解.【详解】由，得，由余弦定理得，整理得，所以，又，则；因为为锐角三角形，，所以可得，又，故由正弦定理得：，因为，所以，所以，则，所以，故的取值范围为.故思路点睛：通过余弦定理推导角的关系：利用余弦定理，推导出角的余弦值，这是得出角A的基础.利用正弦定理和三角形的锐角条件：通过正弦定理和三角形的锐角性质，确定角B的范围，这为进一步推导角的取值范围奠定了基础.结合三角恒等式进行变换：利用三角恒等式和已知条件，最终得出角的取值范围.9．本题首先可根据函数有极值点得出，然后根据余弦定理得出，最后根据即可得出结果.【详解】因为函数，所以导函数，因为函数有极值点，所以，即，则，因为，所以角的范围是，故答案为.关键点点睛：本题考查导函数与余弦定理的综合应用，能否根据函数有极值得出是解决本题的关键，考查化归与转化思想，是中档题.10．(1)证明见解析(2).【分析】（1）化简已知等式结合余弦定理可得，再利用两角和的正弦公式即可证明结论；（2）由已知条件结合正弦定理可得，根据锐角确定角C的范围，即可求得答案.【详解】（1）证明：因为，所以，整理得.又，所以，从而，整理得，则.由，得，即，结合锐角中，，则，即.（2）如图，由，可得，则.在中，由正弦定理得，整理得.因为，且是锐角三角形，所以解得，则，从而，即的取值范围为.11．(1)(2).【分析】（1）根据等比数列性质与三角形三边关系列出不等式求解即可；（2）利用正弦定理、余弦定理化简，根据的取值范围利用对勾函数的单调性即可求解.【详解】（1）由题意知，根据三角形三边关系知：，解得；（2）由（1）及正弦定理、余弦定理知：，由对勾函数的性质知：在上单调递减，在上单调递增，所以，则，即的取值范围为.12．(1)(2)【分析】（1）由余弦定理结合三角形面积公式可得答案；（2）由题可得，后由正弦定理可得，后由正切函数单调性可得答案.【详解】（1）由余弦定理，，又三角形面积为，则，又由题，则；（2）由（1），，又为锐角三角形，则.由正弦定理：.因在上单调递增，则时，.则，即.13．(1)证明见解析；(2).【分析】（1）由正弦边角关系及和差角正弦公式得到，结合三角形内角性质即可证结论；（2）由题设得，应用正弦边角关系、倍角正弦公式有，即可求范围.【详解】（1）由题设，所以，则，即，又，则，且，所以，得证.（2）由题设，即，得，由，而，故.14．(1)(2)【分析】（1）已知等式，由正弦定理边化角，由正弦值求角；（2）由锐角，求出角的范围，化简得，结合正弦函数的性质，求出取值范围.【详解】（1），由正弦定理得．因为，所以．因为为锐角三角形，所以．（2）因为，所以．因为为锐角三角形，所以得．因为，由，得，所以.即的取值范围为.15．(1)(2)【分析】（1）由余弦定理及三角形面积公式得解；（2）利用向量的运算及余弦定理得出与的关系，再由基本不等式及为钝角得出范围即可.【详解】（1）因为，所以，又，即，所以，即，所以.（2）因为BC边的中点为D，所以,所以，又，所以，在三角形中，，所以，所以，即，又A为钝角，则，解得，故由，可得，所以.16．(1)；(2)；(3).【分析】（1）利用正弦定理边化角求解；（2）利用正弦定理、余弦定理列式求解；（3）利用正弦定理、三角形面积公式列式，再利用差角的正弦及正切函数的性质求出范围.【详解】（1）在中，由及正弦定理得，则，两边平方得，而，解得，所以.（2）在中，由正弦定理，得，由余弦定理得，即，解得，所以的周长为.（3）在中，，，的面积，由正弦定理，得，由为锐角三角形，得，解得，因此，，则所以面积的取值范围是.17．(1)(2)【分析】（1）根据余弦定理求出，即可求解的周长，（2）利用余弦定理可得，即可确定c的取值范围，进而利用正弦定理和面积公式，表示，利用基本不等式即可求解范围.【详解】（1），，由余弦定理得，，，解得，或（舍去），的周长为.（2）由余弦定理得，，整理得，，，，即，由正弦定理得，，，，，，令，，，函数在上单调递增，，即的取值范围是.18．(1)(2)【分析】（1）由正弦定理角化边，在结合余弦定理求得，即可求解；（2）根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式及辅助角公式，将转化为三角函数，根据为锐角三角形得出的范围，结合三角函数的性质得出范围即可求解．【详解】（1）因为，所以，由，可得：，即，又，所以，所以，，所以，所以△的外接圆半径为.（2）由（1）知，，由正弦定理有，所以，因为为锐角三角形，所以，解得，所以，则，所以，则，所以周长的取值范围为．19．(1)(2)(3)【分析】（1