浙江省宁波市2025届高三下学期高考二模考试数学试卷 含答案

/浙江省宁波市2025届高三下学期高考模拟考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x∈Z|A.{−1,0,1,2} B.{0,1,2} C.{1,2} D.{−1,0}2.下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(π2,A.y=cosx B.y=|sinx3.已知向量a，b满足|a|=2，a⋅(2a+A.3 B.4 C.6 D.74.设z=1+i1−iA.0 B.12 C.1 D.5.已知数列{an}中，a2=1，记Sn为{an}A.2023 B.2024 C.2025 D.20266.已知点M(a,0)，N(2,3)到同一直线的距离分别为2，3，若这样的直线恰有2条，则A.(−2,0) B.(−2,6) C.(0,6) D.(2,6)7.一个长方体墨水瓶的长、宽、高分别为10cm、8cm、15cm，内部装有400毫升墨水.将墨水瓶倾斜，使其一条长边(10cm)置于水平地面，高边(15A.180 B.220 C.260 D.3008.已知函数f(x)=(x−a)(x−b)2，其中a<b，A.(−4,5) B.(−4,5] C.(−4,114)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下面说法正确的是(

)A.若数据2x1，2x2，⋯，2x16的方差为8，则数据x1，x2，⋯，x16的方差为4

B.若a1，a2，⋯，a10.国家知识产权局信息显示，华为技术有限公司申请一项名为“三进制逻辑门电路、计算电路、芯片及其电子设备”的该项专利可以实现大幅度减少二进制逻辑电路的晶体管数量，降低电路的功耗，提高计算效率.该专利蕴含的数学背景是一种以3为基数，以−1，0，1为基本数码的计数体系(对称三进制):三进制数(akak−1⋯a0 . b1b2⋯bt)3对应的十进制数为ak⋅3k+ak−1⋅3k−1+⋯+A.(10F1)3=25

B.(101010)3−(10101)3=(F0F0F)3

C.若n=(0.b1b2⋯bm)3，bi∈{F,0,1}11.如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AD1=2，BC=CC1=1，A.存在点F，使得A1F/​/平面AD1E

B.存在点F，使得平面AD1E⊥平面D1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.(x2−1x)13.在△ABC中，sinA=8sinBsinC，14.关于x的方程ex+bx=2(b>0且b≠1)有唯一实数解，其中四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90∘，AB=AC=2(1)若Q是A1N的中点，证明：PQ(2)求A1P与平面A16.(本小题15分)在1，2，3，⋯，7这7个自然数中，任取3个数．(1)求这3个数中恰有1个是偶数的概率;(2)设X为这3个数中两数相邻的组数(例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时X的值是2).求随机变量X的分布列及其数学期望E(X17.(本小题15分)已知函数f((1)当a=1时，讨论f((2)当x≥0时，f(x)≥0(3)求证：当n∈N∗时，18.(本小题17分)已知椭圆E:x2m+2+y(1)求椭圆E的方程;(2)若过定点(0,2)的直线l交椭圆E于点A，B，设点Q(0,12)，直线AP与直线BQ交于直线y19.(本小题17分)

设n维向量a=(x1,x2,⋯,xn)，b=(y1,y2,⋯,yn)，定义运算：a⋅b=x1y1+x2y2+⋯+xnyn．

(1)当n=2时，若c=(y2,y1)且x1<x2，y1<y2，试比较答案1.A

2.B

3.D

4.C

5.B

6.B

7.C

8.D

9.BC

10.ACD

11.ABD

12.15

13.9

14.{115.(1)证明：连结NP交BC于点R，连结A1R，

∵点Q是A1N中点，点P是NR中点，

∴PQ是△NRA1的中位线，即PQ//RA1，

又∵PQ⊄平面A1BC，RA1⊂平面A1BC，

∴PQ/​/平面A1BC．

(2)解：由题意，以A原点，以AC，AB，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系A−xyz．

∴A1(0,0,22)，B(0,2,0)，C(2,0,0)，B1(0,2,22)，C1(2,0,22)，N(1,1,22)，P(1,1,2)，16.解：(1)从7个自然数中任意选三个共有C73=35种选择，恰有一个偶数的情况有C42⋅C31=18种，故概率为1835．

(2)当X=2时，共有5种;当XX012P241所以E(17.解：(1)已知f(x)=ln(x+1)+x2−x，

则f′(x)=1x+1+2x−1=x(2x+1)x+1，x>−1，

所以当x∈(−1,−12)时，f′(x)>0，f(x)单调递增;

当x∈(−12,0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减;

当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．

(2)因为f(x)=ln(1+x)+ax2−x

所以f′(x)=11+x+2ax−1=2ax2+(2a−1)x1+x=x(2ax+2a−1)1+x18.解：(1)设椭圆上的点C(x,y)满足x2m+2+y2=1，

∴|CP|2=x2+(y+1)2=−(1+m)y2+2y+(3+m)，

设f(y)=−(1+m)y2+2y+(3+m)，y∈[−1,1]，

∵−1−m<0，二次函数开口向下，对称轴y=1m+1<1，

f(y)max=f(1m+1)=m2+4m+4m+1=163，解得m=2或m=−23，

∵m>0，∴m=2，

即椭圆E:x24+y2=1．

(2)设直线AB:y=kx+2，A(x19.解：(1)a⋅b−a⋅c=(x1y1+x2y2)−(x1y2+x2y1)=(x1−x2)(y1−y2)>0，

所以a⋅b>a⋅c．

(2)

(i)先求M(3)，不妨设a=(1,2,3)，b=(y1,y2,y3)，其中y1，y2，y3为1，2，3的排列，

所以a⋅b=y1+2y2+3y3=2(y1+y2+y3)+(y3−y1)=12+y3−y1，

而y3−y1可取的值为±2，±1，故M(3)={10,11,13,14}，

再求M(4)，不妨设a=(1,2,3,4)，b=(y1,y2,y3,y4)，其中y1，y2，y3，y4为1，2，3，4的排列，

当y4=4时，a⋅b=16+i=13i⋅yi=16+12+(y3−y1)，而y3−y1可取±2，±1，故a⋅b可取26，27，29，30;

当y4=3时，a⋅b=12+i=13i⋅yi=26+(y3−y1)，而y