与对话高三数学（文）一轮复习课时跟踪训练第七章不等式推理与证明课时跟踪训练34

课时跟踪训练(三十四)[基础巩固]一、选择题1．若a，b，c∈R，且a>b，则下列不等式一定成立的是()A．a＋c≥b－c B．ac>bcC.eq\f(c2,a－b)>0 D．(a－b)c2≥0[解析]当c＝0时，B，C不成立；当a＝1，b＝0，c＝－2时，A不成立；因为a－b>0，c2≥0，所以D成立．[答案]D2．(2018·陕西商洛商南高中模拟)下列命题为真命题的是()A．若ac>bc，则a>b B．若a2>b2，则a>bC．若eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，则a<b D．若eq\r(a)<eq\r(b)，则a<b[解析]由ac>bc，当c<0时，有a<b，选项A错误；若a2>b2，不一定有a>b，如(－3)2>(－2)2，但－3<－2，选项B错误；若eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，不一定有a<b，如eq\f(1,2)>－eq\f(1,3)，但2>－3，选项C错误；若eq\r(a)<eq\r(b)，则(eq\r(a))2<(eq\r(b))2，即a<b，选项D正确．故选D.[答案]D3．若m＝eq\r(3)＋eq\r(5)，n＝eq\r(2)＋eq\r(6)，则下列结论正确的是()A．m<n B．n<mC．n＝m D．不能确定m，n的大小[解析]∵m＝eq\r(3)＋eq\r(5)，∴m2＝8＋2eq\r(15)，∵n＝eq\r(2)＋eq\r(6)，∴n2＝8＋2eq\r(12)，∴m2>n2，∴m>n.[答案]B4．(2018·吉林省吉林一中月考)若a>b，x>y，下列不等式不正确的是()A．a＋x>b＋y B．y－a<x－bC．|a|x>|a|y D．(a－b)x>(a－b)y[解析]当a≠0时，|a|>0，不等式两边同乘一个大于零的数，不等号方向不变．当a＝0时，|a|x＝|a|y，故|a|x≥|a|y.故选C.[答案]C5．若a，b为实数，则“ab<1”是“0<a<eq\f(1,b)”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件[解析]由a，b为实数，ab<1，可令a＝－1，b＝1，则ab＝－1<1成立，但推不出0<a<eq\f(1,b)；由0<a<eq\f(1,b)，可得b>0，∴0<ab<1，可推出ab<1，∴“ab<1”是“0<a<eq\f(1,b)”的必要不充分条件．[答案]B6．(2016·浙江卷)已知a，b>0且a≠1，b≠1，若logab>1，则()A．(a－1)(b－1)<0 B．(a－1)(a－b)>0C．(b－1)(b－a)<0 D．(b－1)(b－a)>0[解析][答案]D二、填空题7．若ab<0，且a>b，则eq\f(1,a)与eq\f(1,b)的大小关系是________．[解析]∵a>b，∴b－a<0，又ab<0，则eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(b－a,ab)>0，即eq\f(1,a)>eq\f(1,b).[答案]eq\f(1,a)>eq\f(1,b)8．若a＝eq\f(ln3,3)，b＝eq\f(ln2,2)，则a与b的大小关系为________．[解析]∵a＝eq\f(ln3,3)>0，b＝eq\f(ln2,2)>0，∴eq\f(a,b)＝eq\f(ln3,3)·eq\f(2,ln2)＝eq\f(2ln3,3ln2)＝eq\f(ln9,ln8)＝log89>1，∴a>b.[答案]a>b9．若角α，β满足－eq\f(π,2)<α<β<eq\f(π,2)，则2α－β的取值范围是________．[解析]∵－eq\f(π,2)<α<β<eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,2)<α<eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)<β<eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)<－β<eq\f(π,2)，而α<β.∴－π<α－β<0，∴2α－β＝(α－β)＋α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)，\f(π,2))).[答案]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,2)，\f(π,2)))三、解答题10．比较下列各组中两个代数式的大小．(1)3m2－m＋1与2m(2)eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,a)与a＋b(a>0，b>0)．[解](1)∵(3m2－m＋1)－(2m2＋m－3)＝m2－2m＋4＝(m－1)∴3m2－m＋1>2m(2)∵eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,a)－(a＋b)＝eq\f(a3＋b3－a2b－ab2,ab)＝eq\f(a2a－b＋b2b－a,ab)＝eq\f(a－ba2－b2,ab)＝eq\f(a－b2a＋b,ab).又∵a>0，b>0，∴eq\f(a－b2a＋b,ab)≥0，故eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,a)≥a＋b.[能力提升]11．(2018·黑龙江大庆实验中学期末)若x∈(0,1)，a＝lnx，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))lnx，c＝2lnx，则a，b，c的大小关系是()A．a>b>c B．b>a>cC．b>c>a D．c>b>a[解析]因为x∈(0,1)，所以a＝lnx<0，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))lnx>1,0<c＝2lnx<1，所以b>c>a，故选C.[答案]C12．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0<f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，则()A．c≤3 B．3<c≤6C．6<c≤9 D．c>9[解析]由f(－1)＝f(－2)＝f(－3)得，－1＋a－b＋c＝－8＋4a－2b＋c＝－27＋9a－3b＋c，消去c得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3a－b＝7，,5a－b＝19，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝6，,b＝11，))于是0<c－6≤3，即6<c≤9.故选C.[答案]C13．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于216m2[解析]矩形靠墙的一边长为xm，则另一边长为eq\f(30－x,2)m，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(x,2)))m，根据题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x≤18，,x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(x,2)))≥216.))[答案]eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<x≤18，,x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(x,2)))≥216))14．已知存在实数a满足ab2>a>ab，则实数b的取值范围是________．[解析]∵ab2>a>ab，∴a≠0，当a>0时，b2>1>b，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2>1，,b<1，))解得b<－1；当a<0时，b2<1<b，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2<1，,b>1，))此式无解．综上可得实数b的取值范围为(－∞，－1)．[答案](－∞，－1)15．已知b>a>0，x>y>0，求证：eq\f(x,x＋a)>eq\f(y,y＋b).[证明]eq\f(x,x＋a)－eq\f(y,y＋b)＝eq\f(xy＋b－yx＋a,x＋ay＋b)＝eq\f(bx－ay,x＋ay＋b).∵b>a>0，x>y>0，∴bx>ay，x＋a>0，y＋b>0，∴eq\f(bx－ay,x＋ay＋b)>0，∴eq\f(x,x＋a)>eq\f(y,y＋b).16．(2017·大连模拟)设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．[解]解法一：设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.于是得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝4，,n－m＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3，,n＝1，))∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.解法二：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤a－b≤2，,2≤a＋b≤4))确定的平面区域如图阴影部分，当f(－2)＝4a－2b过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2)))时，取得最小值4×eq\f(3,2)－2×eq\f(1,2)＝5，当f(－2)＝4a－2b过点B(3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f(－2)≤10.[延伸拓展](2017·安徽合肥质检)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足b＋c≤3a，则eq\f(c,a)的取值范围为()A．(1，＋∞) B．(0,2)C．(1,3) D．(0,3)[解析]由已知及三角形三边关系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<b＋c≤3a，,a＋b>c，,a＋c>b，))∴eq\b\l