小学数学五年级下册《因数与倍数》单元教案

小学数学五年级下册《因数与倍数》单元教案

一、教学内容分析

从《义务教育数学课程标准（2022年版）》来看，“数与代数”领域第二学段的内容要求明确指出，学生需“了解因数、倍数、质数、合数，能找出一个自然数的所有因数，能在1～100的自然数中找出某个自然数的所有倍数”。本节课是学生首次从乘除运算的“关系”视角，系统认识非零自然数之间相互依存的新属性，标志着数概念认识的一次重要飞跃，是构建整数理论体系、学习最大公因数与最小公倍数的认知基石，在整个数论知识网络中起着承上启下的枢纽作用。就素养指向而言，本课不仅是知识传授，更是培养学生抽象能力与推理意识的绝佳载体。学生需要通过观察乘法算式，抽象出因数与倍数的概念，并在此过程中经历从具体到一般的归纳推理；在探究找一个数的因数或倍数的方法时，经历有序、全面的思考过程，发展几何直观（如用长方形拼摆理解因数）和模型观念（如建立因数、倍数的集合模型）。其育人价值在于引导学生用联系的、有序的眼光看待数学对象，感悟数学的严谨之美，为形成理性的科学思维习惯奠基。

基于“以学定教”原则，进行学情研判。学生已有扎实的乘除法运算基础，并已接触过“整除”的朴素概念（如“正好分完”），这是学习的正迁移基础。然而，认知难点在于：一是概念的抽象性。学生习惯于数的绝对大小，难以迅速切换至“关系”视角，易混淆“因数”与“被除数”、“倍数”与“积”。二是方法的策略性。找一个数的因数时易遗漏或重复，缺乏“有序思考”的策略；找一个数的倍数时，对“无限性”的理解可能存在困难。因此，教学需设计多层次活动，从直观操作（拼长方形）过渡到算式表征，再抽象到关系定义，搭建认知阶梯。在过程评估中，将通过“任务单”中的探究性问题、课堂提问（如“为什么找因数要成对地找？”）以及练习反馈，动态捕捉学生的思维障碍点，并采取小组互助、教师个别点拨、可视化工具（数轴、集合圈）支持等差异化策略，帮助不同思维速度的学生实现概念建构。

二、教学目标

知识目标：学生能在具体情境中，理解因数和倍数的意义，认识到二者相互依存的关系；掌握找一个数的因数和倍数的方法，知道一个数的因数是有限的、最小的因数是1、最大的因数是它本身，而一个数的倍数是无限的、最小的倍数是它本身。

能力目标：学生经历探索因数和倍数概念及寻找方法的过程，能运用有序思考的方法，不重复、不遗漏地找出一个数的全部因数或指定范围内的倍数，并初步发展抽象概括和逻辑推理能力。

情感态度与价值观目标：学生在探究活动中体验数学知识之间的内在联系，感受数学思考的条理性与严谨性，在合作交流中乐于分享自己的发现，增强学习数学的信心和兴趣。

科学（学科）思维目标：重点发展学生的抽象思维与有序思维。通过将具体乘法算式抽象为一般化的数学关系，培养抽象能力；通过探寻“怎样找才能不遗漏不重复”，引导形成“成对寻找”、“依次乘以自然数”的有序思考策略。

评价与元认知目标：引导学生依据“列举是否完整有序”的标准，进行自我检查与同伴互评；在课堂小结时，能反思自己是如何从“不会找”到“有方法地找”的，初步形成对学习策略的监控意识。

三、教学重点与难点

教学重点：理解因数和倍数的意义，掌握找一个数的因数和倍数的方法。其确立依据在于：概念意义是后续学习质数、合数、公因数、公倍数等所有相关知识的核心基础，属于必须牢固掌握的“大概念”；同时，寻找方法是体现“有序思考”这一核心数学思想的具体载体，是发展学生数学思维的关键技能，在各类学业评价中均为高频考查点。

教学难点：因数与倍数概念的抽象建构，以及找一个数的因数时如何做到有序、不遗漏。难点成因在于，学生需从“乘数”、“积”等具体运算角色名称，跨越到抽象表述“谁是谁的因数/倍数”的关系性语言，认知跨度较大；且找因数需要逆向思维和配对思想，学生容易无序探索导致遗漏。预设通过“动手拼摆—算式对应—语言表述”的渐进式活动，并结合“从1开始试除，看哪两个数相乘等于它”的方法指导来突破难点。

四、教学准备清单

1.教师准备

1.1媒体与教具：交互式课件（含动画演示）、12个完全相同的小正方形磁贴、课堂学习任务单（分层设计）、实物投影仪。

1.2学习材料：概念卡片（因数、倍数）、供学生拼摆的学具袋（内含不同数量的小正方形）。

2.学生准备

2.1课前预热：复习乘法口诀表，思考“在乘法算式中，各部分的名称是什么？”

2.2学具：铅笔、直尺。

3.环境布置

3.1座位安排：4-6人小组合作式座位，便于讨论与学具操作。

3.2板书规划：左侧预留概念区，中部为探究过程区，右侧为方法总结区。

五、教学过程

第一、导入环节

1.情境激趣，激活旧知：“同学们，我们都知道孙悟空有七十二般变化。今天，数字‘12’也想在我们面前变一变魔术。看，老师手上有12个同样大的小正方形，你能用它们拼出几种不同的长方形呢？动手在任务单上画一画，并写出对应的乘法算式。”

1.1提出核心问题：学生操作后，教师选取“3×4=12”、“2×6=12”、“1×12=12”等典型算式投影展示。“大家看，同样是12个小正方形，因为每行摆的个数不同，摆的行数也不同，就拼出了形状不同的长方形。这里面啊，藏着数字之间一种非常有趣的关系。今天我们就来研究这种隐藏在乘法算式里的‘亲密关系’——因数与倍数。”

第二、新授环节

本环节将围绕核心概念的理解与探究方法的形成，设计层层递进的探究任务，引导学生主动建构。

任务一：从“形”到“式”，初识关系

教师活动：首先，引导学生聚焦算式“3×4=12”。我会指着算式说：“在数学上，当我们说‘3×4=12’时，我们可以这样描述：3和4是12的因数，反过来，12是3的倍数，也是4的倍数。”接着，我会板书规范的表述语言，并请学生模仿着说一说“2×6=12”和“1×12=12”中因数与倍数的关系。然后，我会抛出关键问题：“孩子们，如果我只说‘3是因数’，‘12是倍数’，这样对吗？为什么？”引导学生初步感知概念的相互依存性。

学生活动：观察教师演示，倾听规范表述。模仿教师语言，与同桌互相说说其他算式中因数与倍数的关系。思考并讨论教师提出的问题，尝试表达“不能单独说，必须说清楚谁是谁的因数/倍数”。

即时评价标准：1.能否准确使用“（）是（）的因数，（）是（）的倍数”的句式进行表述。2.能否在讨论中初步意识到因数与倍数不能孤立存在。

形成知识、思维、方法清单：

★概念表述规范：因数和倍数是表示两个非零自然数之间在整数除法（或乘法）中的一种关系。表述时必须完整，例如“3是12的因数，12是3的倍数”。（教学提示：强调“相互依存”，可比喻为“父子关系”，不能单独说“我是爸爸”。）

▲概念适用范围：我们研究因数和倍数时，一般指不是0的自然数。（简要说明，避免后续出现0作为因数的争议。）

任务二：自主迁移，深化理解

教师活动：出示算式“20÷4=5”，提问：“根据乘除法的关系，这个算式可以改写成哪个乘法算式？你能根据这个算式，说说谁是谁的因数，谁是谁的倍数吗？”进而引导学生发现，不仅可以从乘法算式，也可以从整除的除法算式中找到因数和倍数的关系。随后，组织小组讨论：“你能举出不同的例子来说明因数和倍数的关系吗？看哪个小组举的例子又多又准。”

学生活动：独立改写算式并说出因数倍数关系。在小组内积极举例，互相判断举例是否正确，并推选代表准备分享。

即时评价标准：1.能否顺利实现乘除法算式的转换，并正确表述关系。2.举例是否恰当，能否涵盖不同类型（如大数是大数的因数等）。

形成知识、思维、方法清单：

★概念本质联系：如果a×b=c（a、b、c均为非零自然数），那么a和b是c的因数，c是a和b的倍数。相应地，如果c÷a=b（正好整除），那么a和b也是c的因数，c是a和b的倍数。（教学提示：打通乘除法之间的联系，深化对概念本质的理解。）

任务三：探究“找因数”的奥秘

教师活动：提出挑战性问题：“刚才我们知道12的因数有1,2,3,4,6,12。那如果给你一个数18，你能找出它的所有因数吗？先自己试试看，把你的找法记录在任务单上。”巡视收集典型方法：无序列举、遗漏、有序找到一部分。请有遗漏的学生展示，引发思考：“怎样才能保证一个不漏呢？”再请有序找到的学生分享方法，如“从1开始试，1×18=18，2×9=18，3×6=18…”。教师用课件动态演示“成对寻找”的过程，并引导总结：“看，找到一个乘数，就同时找到了另一个，像好朋友一样成对出现。这样有序地找，就能既不重复也不遗漏。”

学生活动：尝试独立找出18的所有因数，并记录过程。对比同伴的不同找法，参与讨论“怎样找更好”。观察课件演示，理解“成对寻找”的策略。

即时评价标准：1.寻找过程是否有一定的顺序（如从1开始试除）。2.最终结果是否完整、无重复。3.能否说出“成对找”的策略。

形成知识、思维、方法清单：

★找一个数的因数的方法：用这个数依次除以1,2,3…，如果能整除，除数和商都是它的因数。通常“成对”地找，直到两个因数接近或重复为止。（教学提示：这是本节课的核心技能，务必通过练习内化。）

★一个数因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。（教学提示：观察18的因数，引导学生自主归纳此特征。）

任务四：探究“找倍数”的策略

教师活动：转换视角：“我们会找一个数的因数了，那怎么找2的倍数呢？你有什么好办法？”鼓励学生说出“用2去乘1、乘2、乘3……”教师肯定：“对，就用2依次乘非零自然数！”随后，让学生在数轴上标出2的倍数（如2,4,6,8,10）。提问：“2的倍数有多少个？最小的倍数是几？”引导学生发现倍数的无限性和最小倍数的特征。然后对比练习：“找出3的倍数（5个以内）和5的倍数（用集合圈表示）”，感受方法的通用性。

学生活动：积极思考并说出找倍数的方法（用乘法）。在数轴上标点，直观感受倍数的排列与无限延伸。完成对比练习，巩固方法。

即时评价标准：1.能否准确说出找一个数的倍数的方法（依次乘以自然数）。2.能否理解并表达“一个数的倍数的个数是无限的”。3.在集合圈表示时是否规范。

形成知识、思维、方法清单：

★找一个数的倍数的方法：用这个数依次乘以1、2、3、4…，所得的积就是这个数的倍数。（教学提示：强调“依次乘”，体现有序。）

★一个数倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。（教学提示：结合数轴的直观，帮助学生理解“无限”。）

任务五：对比辨析，构建网络

教师活动：组织学生以小组为单位，对比“因数”和“倍数”的特点，从“找的方法”、“个数”、“最大/最小”等方面进行梳理，并填写在任务单的对比表格中。然后，教师引导全班交流，形成结构化板书。

学生活动：小组合作，回顾探究过程，对比、梳理并填写表格。参与全班交流，完善自己的认知结构。

即时评价标准：1.对比表格填写是否准确、清晰。2.小组交流时是否能相互补充、修正。

形成知识、思维、方法清单：

▲因数与倍数的对比：从意义、寻找方法、个数特征、最大最小等方面进行系统对比，形成清晰的知识结构图。（教学提示：此环节旨在培养学生归纳整理、对比联系的能力，将零散知识系统化。）

第三、当堂巩固训练

设计分层、变式的训练体系，提供及时反馈。

1.基础层（全体必做）：

1.2.“说一说”：根据算式，说出因数和倍数关系。如8×7=56。

2.3.“找一找”：找出24的所有因数和5个6的倍数。（反馈：同桌互换检查，重点看因数的完整性与有序性，倍数的准确性。）

4.综合层（多数学生挑战）：

1.5.“判一判”：判断题，如“因为15÷5=3，所以15是倍数，5和3是因数。”（辨析概念表述的严谨性）

2.6.“想一想”：一个长方形的面积是24平方厘米，它的长和宽（整厘米数）可能是多少？这实际上是找哪两个数？（情境化应用）

7.挑战层（学有余力选做）：

1.8.“探一探”：数字“1”很特别，它只有1个因数（它本身）。你能再找出一个这样的数吗？它有什么特点？（为下节课“质数与合数”埋下伏笔）

（反馈机制：基础层通过同伴互评快速解决；综合层和挑战层通过投影展示学生不同解法，教师聚焦典型错误或巧妙思路进行精讲点拨。）

第四、课堂小结

引导学生进行结构化总结与元认知反思。

1.知识整合：“同学们，这节课我们一起走进了因数与倍数的世界。如果用一棵‘知识树’来总结，树干是‘因数和倍数的意义’，那么它的两个主要枝干是什么？”（引导学生说出“找因数”和“找倍数”，并回顾各自的方法与特点。）可以请学生尝试画简易的思维导图。

2.方法提炼：“回顾我们探索的过程，你觉得最重要的思考方法是什么？”（引导学生总结“有序思考”——成对找因数、依次找倍数。）

3.作业布置与延伸：

1.4.必做作业：完成教材练习二第1、2、4题。

2.5.选做作业（二选一）：（1）研究数字“36”，尽可能多地找出它的因数，看看你能发现什么规律？（2）设计一个包含“因数和倍数”知识的小谜语或小游戏。

“今天我们学会了研究一个数的‘因数’和‘倍数’。那如果一个数只有两个因数，会是什么数？如果一个数有很多因数呢？下节课我们将继续有趣的探索。”

六、作业设计

基础性作业（必做）：

1.背诵并默写因数和倍数的概念。

2.完成课本练习二第1题（根据算式说关系）、第2题（找出指定数的所有因数）。

3.写出30以内4的全部倍数。

设计意图：巩固最核心的概念表述与基本技能，确保全体学生达成基础目标。

拓展性作业（建议完成）：

4.生活链接：老师要将28本课外书平均分给几个学习小组，要求每组得到的本数大于1且小于28，可以怎样分？共有几种分法？（请列出所有可能）

5.数学探究：观察6的因数（1,2,3,6），把除了它本身以外的因数加起来（1+2+3），你发现了什么？再试试28的因数。这样的数在数学上有一个有趣的名字，你能查到吗？

设计意图：将知识置于真实或跨学科情境中应用，激发兴趣，培养综合运用与信息检索能力。

探究性/创造性作业（选做）：

“完美数探秘”微报告：像6、28这样的数，被称为“完美数”。请你查阅资料（书籍、网络，在家长指导下），了解什么是完美数，并制作一份简单的图文并茂的微报告，介绍一个你感兴趣的完美数及其特性。

设计意图：满足学有余力学生的深度学习需求，培养其主动探究、整理与创造的能力，感受数学文化的魅力。

七、本节知识清单、考点及拓展

★1.因数与倍数的定义：在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。也可表述为：若a×b=c（a,b,c均为非零自然数），则a、b是c的因数，c是a、b的倍数。（考点提示：判断题、选择题常考“单独说某个数是因数或倍数”的错误表述。）

★2.找一个数的因数的方法：列乘法或除法算式，有序、成对寻找。例如找18的因数：18=1×18=2×9=3×6，所以18的因数有：1,2,3,6,9,18。（考点提示：填空题、解答题直接考查，要求有序、不重不漏。）

★3.一个数因数的特征：个数有限；最小是1；最大是它本身。（考点提示：常与找因数结合，填空或判断。）

★4.找一个数的倍数的方法：用这个数依次乘非零自然数（1,2,3…）。例如2的倍数：2×1=2,2×2=4,2×3=6…所以2的倍数有2,4,6…。（考点提示：常要求写出指定个数的倍数。）

★5.一个数倍数的特征：个数无限；最小是它本身；没有最大倍数。（考点提示：判断题高频考点。）

▲6.完美数简介：一个数如果等于除了它自身以外的全部正因数之和，则称该数为“完美数”。最小的完美数是6（1+2+3=6），第二个是28（1+2+4+7+14=28）。（拓展提示：激发兴趣，联系因数概念进行拓展阅读。）

▲7.有序思考策略：无论是找因数还是倍数，“有序”是保证不重复、不遗漏的核心思想。找因数时从1开始试除，找倍数时从乘1开始。（方法提示：这是超越知识本身的核心数学思想方法。）

八、教学反思

本教案的设计力求将概念建构的过程还给学生，通过“操作感知—算式抽象—方法探究—对比内化”的主线推进。在假设的教学实况中，预计导入环节的拼长方形活动能有效激发兴趣，成功将学生的注意力引向乘法算式中数的关系。新授环节的五个任务形成了逻辑闭环，任务一、二侧重概念理解，任务三、四侧重方法探究，任务五侧重系统构建，层层递进。

在目标达成度上，通过巩固训练的分层设计，预计大多数学生能掌握基础知识和技能（会说关系、会找因数倍数）。核心任务三（找因数）是难点突破的关键，设计中通过“试误-对比-优化”的路径，引导学生自主发现“有序成对找”的策略，这比直接告